1、G 立体几何G1 空间几何体的结构9G1 设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围为()A(0，) B(0，)C(1，) D(1，)图129A 如图12所示，设ABa，CD，BCBDACAD1，则ACDBCD45，要构造一个四面体，则ACD与共面BCD不能重合，当BCD与ACD重合时，a0；当A、B、C、D四点共面，且A、B两点在DC的两侧时，在ABC中，ACBACDBCD454590，AB，所以a的取值范围是(0，)8G1、G2 将正方体(如图13所示)截去两个三棱锥，得到图所示的几何体，则该几何体的左视图为()图13图148B 分析题目中截
2、几何体所得的新的几何体的形状，结合三视图实线和虚线的不同表示可知对应的左视图应该为B.15G1、G12 若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即ABCD，ACBD，ADBC，则_(写出所有正确结论的编号)四面体ABCD每组对棱相互垂直；四面体ABCD每个面的面积相等；从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90而小于180；连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分；从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长15 如图，把四面体ABCD放入长方体中，由长方体中相对面中相互异面的两条面对角线不一定相互垂直可知错误；由长方体中ABCABDDCBDCA，可知四面
3、体ABCD每个面的面积相等，同时四面体ABCD中过同一顶点的三个角之和为一个三角形的三个内角之和，即为180，故正确，错误；长方体中相对面中相互异面的两条面对角线中点的连线相互垂直，故正确；从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱可以移到一个三角形中，作为一个三角形的三条边，故正确答案为.5G1 一个高为2的圆柱，底面周长为2，该圆柱的表面积为_56 考查圆柱的表面积，利用圆的周长求得圆柱的底面半径由圆柱的底面周长可得底面圆的半径，2r2，r1，得圆柱的表面积S2r22h246.19G1、G11 如图11，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，D是PC的中点，已知BAC，AB2，AC2，PA2，求：
4、图11(1)三棱锥PABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)19解：(1)SABC222，图12三棱锥PABC的体积为VSABCPA22.(2)取PB的中点E，连接DE、AE，则EDBC，所以ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角在ADE中，DE2，AE，AD2，cosADE，所以ADEarccos.因此，异面直线BC与AD所成的角的大小是arccos.G2 空间几何体的三视图和直观图10G2 一个几何体的三视图如图12所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.图121030 由三视图可得该几何体为两个直四棱柱的组合体，其体积V342(12)14
5、30.13G2 一个几何体的三视图如图13所示，则该几何体的体积为_图131312 本小题主要考查三视图和体积公式解题的突破口为通过观察分析三视图，得出几何体的形状，是解决问题的根本由三视图可知， 几何体是一个长方体与一个圆柱构成的组合体，所以该几何体的体积为VV长方体V圆柱43112112.7G2 如图12，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()图13A6 B9 C12 D187B 根据三视图可知该几何体是三棱锥，其底面是斜边长为6的等腰直角三角形(斜边上的高为3)，有一条长为3的侧棱垂直于底面，所以该几何体的体积是V6339，故选B.3. G2、G
6、7 已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图11所示，则该三棱锥的体积是()A1 cm3 B2 cm3C3 cm3 D6 cm3图113A 本题考查三棱锥的三视图与体积计算公式，考查学生对数据的运算能力和空间想象能力由三视图可知，该几何体为一个正三棱锥，则VSh1231.8G1、G2 将正方体(如图13所示)截去两个三棱锥，得到图所示的几何体，则该几何体的左视图为()图13图148B 分析题目中截几何体所得的新的几何体的形状，结合三视图实线和虚线的不同表示可知对应的左视图应该为B.15.G2 已知某几何体的三视图如图14所示，则该几何体的体积为_图14图1515 12 由三视图可知，该几何体是由
7、左右两个相同的圆柱(底面圆半径为2，高为1)与中间一个圆柱(底面圆半径为1，高为4)组合而成，故该几何体的体积是V221212412.7G2 某几何体的三视图如图11所示，它的体积为()图11A72 B48C30 D247C 根据三观图知该几何体是由半球与圆锥构成，球的半径R3，圆锥半径R3，高为4，所以V组合体V半球V圆锥3332430，所以选择C.4G2 一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()A球 B三棱锥 C正方体 D圆柱4D 球的三视图大小、形状相同，三棱锥的三视图也可能相同，正方体三种视图也相同，只有D不同12G2、G7 某几何体的三视图如图12所示，则
8、该几何体的体积等于_图121256 如图，根据三视图还原的实物图为底面是直角梯形的直四棱柱，其体积为VSh4456.7G2、G7 某三棱锥的三视图如图14所示，该三棱锥的表面积是()图14A286 B306C5612 D60127B 本题考查三棱锥的三视图与表面积公式由三视图可知，几何体为一个侧面和底面垂直的三棱锥，如图所示，可知S底面5410，S后5410，S左626，S右4510，所以S表1036306.4G2 某几何体的正视图和侧视图均如图11所示，则该几何体的俯视图不可能是()图114C 本题考查三视图，意在考查考生三视图的辨析，以及对三视图的理解和掌握选项A, B, D，都有可能，选
9、项C的正视图应该有看不见的虚线，故C是不可能的 本题由于对三视图的不了解，易错选D，三视图中看不见的棱应该用虚线标出7G2 若一个几何体的三视图如图12所示，则此几何体的体积为()A. B5C. D4图127D 该几何体是直六棱柱，由左视图知其高为1，由主视图和俯视图知其底面面积S(13)14，因此其体积为4，故选D.G3 平面的基本性质、空间两条直线G4 空间中的平行关系19G4、G5 如图16，几何体EABCD是四棱锥，ABD为正三角形，CBCD，ECBD.图16(1)求证：BEDE；(2)若BCD120，M为线段AE的中点，求证：DM平面BEC.19证明：(1)取BD的中点O，连接CO，
10、EO.由于CBCD，所以COBD，又ECBD，ECCOC，CO，EC平面EOC，所以BD平面EOC，因此BDEO，又O为BD的中点，所以BEDE.(2)证法一：取AB的中点N，连接DM，DN，MN，因为M是AE的中点，所以MNBE.又MN平面BEC，BE平面BEC，所以MN平面BEC，又因为ABD为正三角形，所以BDN30，又CBCD，BCD120，因此CBD30，所以DNBC，又DN平面BEC，BC平面BEC，所以DN平面BEC，又MNDNN，故平面DMN平面BEC，又DM平面DMN，所以DM平面BEC.证法二：延长AD，BC交于点F，连接EF.因为CBCD，BCD120.所以CBD30.因
11、为ABD为正三角形所以BAD60，ABC90，因此AFB30，所以ABAF.又ABAD，所以D为线段AF的中点连接DM，由点M是线段AE的中点，因此DMEF.又DM平面BEC，EF平面BEC，所以DM平面BEC.18G4、G7 如图15，直三棱柱ABCABC，BAC90，ABAC，AA1，点M，N分别为AB和BC的中点(1)证明：MN平面AACC；(2)求三棱锥AMNC的体积(锥体体积公式VSh，其中S为底面面积，h为高)图1518解：(1)(证法一)连结AB，AC，由已知BAC90，ABAC，三棱柱ABCABC为直三棱柱，所以M为AB中点，又因为N为BC的中点，所以MNAC.又MN平面AAC
12、C，AC平面AACC，因此MN平面AACC.(证法二)取AB中点P，连结MP，NP，M、N分别为AB与BC的中点，所以MPAA，PNAC，所以MP平面AACC，PN平面AACC，又MPNPP，因此平面MPN平面AACC，而MN平面MPN.因此MN平面AACC.(2)(解法一)连结BN，由题意ANBC，平面ABC平面BBCCBC，所以AN平面NBC.又ANBC1，故VAMNCVNAMCVNABCVANBC.(解法二)VAMNCVANBCVMNBCVANBC.16G4、G5、G7 如图19(1)，在RtABC中，C90，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1
13、DE的位置，使A1FCD，如图19(2)(1)求证：DE平面A1CB；(2)求证：A1FBE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由图1916解：(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DEBC.又因为DE平面A1CB，所以DE平面A1CB.(2)证明：由已知得ACBC且DEBC，所以DEAC.所以DEA1D，DECD，所以DE平面A1DC.而A1F平面A1DC，所以DEA1F.又因为A1FCD，所以A1F平面BCDE，所以A1FBE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ.理由如下：如下图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQBC.又因为DEBC，
14、所以DEPQ.所以平面DEQ即为平面DEP，由(2)知，DE平面A1DC，所以DEA1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1CDP.所以A1C平面DEP.从而A1C平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C平面DEQ.16G4、G5 如图14，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且ADDE，F为B1C1的中点求证：(1)平面ADE平面BCC1B1；(2)直线A1F平面ADE.图1416证明：(1)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC，又AD平面ABC，所以CC1AD.又因为ADDE，CC
15、1，DE平面BCC1B1，CC1DEE，所以AD平面BCC1B1.又AD平面ADE，所以平面ADE平面BCC1B1.(2)因为A1B1A1C1，F为B1C1的中点，所以A1FB1C1.因为CC1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1A1F.又因为CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1C1，所以A1F平面BCC1B1.由(1)知AD平面BCC1B1，所以A1FAD.又AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F平面ADE.5G4、G5 设l是直线，是两个不同的平面()A若l，l，则 B若l，l，则C若，l，则l D若，l，则l5B 本题考查了线面、面面平行，线面、面面垂
16、直等简单的立体几何知识，考查学生对书本知识的掌握情况以及空间想象、推理能力对于选项A，若l，l，则或平面与相交；对于选项B，若l，l，则；对于选项C，若，l，则l或l在平面内；对于选项D，若，l，则l与平行、相交或l在平面内G5 空间中的垂直关系19G5 如图17，在梯形ABCD中，ABCD，E，F是线段AB上的两点，且DEAB，CFAB，AB12，AD5，BC4，DE4，现将ADE，CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合于点G，得到多面体CDEFG.(1)求证：平面DEG平面CFG；(2)求多面体CDEFG的体积图1719解：(1)证明：因为DEEF，CFEF，所以四边形CDEF为矩形
17、，由GD5，DE4，得GE3.由GC4，CF4，得FG4，所以EF5.在EFG中，有EF2GE2FG2，所以EGGF，又因为CFEF，CFFG，得，CF平面EFG，所以CFEG，所以EG平面CFG，即平面DEG平面CFG.(2)如图，在平面EGF中，过点G作GHEF于点H，则GH.因为平面CDEF平面EFG，得GH平面CDEF，VCDEFGSCDEFGH16.14G5 如图14，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是_.图141490 因为ABCDA1B1C1D1为正方体，故A1在平面CDD1C1上的射影为D1，即A1M在平
18、面CDD1C1上的射影为D1M，而在正方形CDD1C1中，由tanDD1MtanCDN，可知D1MDN，由三垂线定理可知，A1MDN.20G5、G6、G10、G11 已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB4，ACBC3，D为AB的中点(1)求异面直线CC1和AB的距离；(2)若AB1A1C，求二面角A1CDB1的平面角的余弦值图1320解：(1)因ACBC，D为AB的中点，故CDAB.又直三棱柱中，CC1面ABC，故CC1CD，所以异面直线CC1和AB的距离为CD.(2)解法一：由CDAB，CDBB1，故CD面A1ABB1，从而CDDA1，CDDB1，故A1DB1为所求的二面角A1CDB1的
19、平面角因A1D是A1C在面A1ABB1上的射影，又已知AB1A1C，由三垂线定理的逆定理得AB1A1D，从而A1AB1，A1DA都与B1AB互余，因此A1AB1A1DA，所以RtA1ADRtB1A1A，因此，得AAADA1B18.从而A1D2，B1DA1D2，所以在A1DB1中，由余弦定理得cosA1DB1.解法二：如下图，过D作DD1AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，由(1)知DB，DC，DD1两两垂直，以D为原点，射线DB，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.设直三棱柱的高为h，则A(2,0,0)，A1(2,0，h)，B1(2,0，h)，C(0，0)，
20、从而(4,0，h)，(2，h)由得0，即8h20，因此h2.图14故(2,0,2)，(2,0,2)，(0，0)设平面A1CD的法向量为m(x1，y1，z1)，则m，m，即取z11，得m(，0,1)设平面B1CD的法向量为n(x2，y2，z2)，则n，n，即取z21，得n(，0，1)，所以cosm，n.所以二面角A1CDB1的平面角的余弦值为.5G4、G5 设l是直线，是两个不同的平面()A若l，l，则 B若l，l，则C若，l，则l D若，l，则l5B 本题考查了线面、面面平行，线面、面面垂直等简单的立体几何知识，考查学生对书本知识的掌握情况以及空间想象、推理能力对于选项A，若l，l，则或平面与
21、相交；对于选项B，若l，l，则；对于选项C，若，l，则l或l在平面内；对于选项D，若，l，则l与平行、相交或l在平面内20G4、G5、G11 如图15，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，ADAB，AB，AD2，BC4，AA12，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点(1)证明：(i)EFA1D1；(ii)BA1平面B1C1EF；(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值图1520解：(1)证明：()因为C1B1A1D1，C1B1平面A1D1DA，所以C1B1平面A1D1DA，又因为平面B1C1EF平面A1D1DAEF，所以C1B1EF，所以A1D
22、1EF.()因为BB1平面A1B1C1D1，所以BB1B1C1.又因为B1C1B1A1，所以B1C1平面ABB1A1，所以B1C1BA1.在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，tanA1B1FtanAA1B，即A1B1FAA1B，故BA1B1F，所以BA1平面B1C1EF.(2)设BA1与B1F交点为H，连结C1H.由(1)知BA1平面B1C1EF，所以BC1H是BC1与面B1C1EF所成的角在矩形AA1B1B中，AB，AA12，得BH.在直角BHC1中，BC12，BH，得sinBC1H，所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是.17G5、G11 如图14，在四棱锥PABCD中，底面AB
23、CD是矩形，ADPD，BC1，PC2，PDCD2.(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值；(2)证明平面PDC平面ABCD；(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值图1417解：(1)如图所示，在四棱锥PABCD中，因为底面ABCD是矩形，所以ADBC且ADBC，又因为ADPD，故PAD为异面直线PA与BC所成的角在RtPDA中，tanPAD2.所以，异面直线PA与BC所成角的正切值为2. (2)证明：由于底面ABCD是矩形，故ADCD，又由于ADPD，CDPDD，因此AD平面PDC，而AD平面ABCD，所以平面PDC平面ABCD.(3)在平面PDC内，过点P作PECD交直线CD于点E，
24、连接EB.由于平面PDC平面ABCD，而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线，故PE平面ABCD.由此得PBE为直线PB与平面ABCD所成的角在PDC中，由于PDCD2，PC2，可得PCD30.在RtPEC中，PEPCsin30.由ADBC，AD平面PDC，得BC平面PDC，因此BCPC.在RtPCB中，PB.在RtPEB中，sinPBE.所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为.18G5、G7 直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA1，CAB.(1)证明：CB1BA1；(2)已知AB2，BC，求三棱锥C1ABA1的体积图1718解：(1)证明：如图，连结AB1，ABCA1B1C1是直三
25、棱柱，CAB，AC平面ABB1A1，故ACBA1.又ABAA1，四边形ABB1A1是正方形，BA1AB1，又CAAB1A.BA1平面CAB1，故CB1BA1.(2)ABAA12，BC，ACA1C11，由(1)知，A1C1平面ABA1，VC1ABA1SABA1A1C121.19G5、G7 如图14，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB90，ACBCAA1，D是棱AA1的中点(1)证明：平面BDC1平面BDC；(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比图1419解：(1)证明：由题设知BCCC1，BCAC，CC1ACC，所以BC平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1，所
26、以DC1BC.由题设知A1DC1ADC45，所以CDC190，即DC1DC.又DCBCC，所以DC1平面BDC.又DC1平面BDC1，故平面BDC1平面BDC.(2)设棱锥BDACC1的体积为V1，AC1.由题意得V111.又三棱柱ABCA1B1C1的体积V1，所以(VV1)V111.故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为11.19G4、G5 如图16，几何体EABCD是四棱锥，ABD为正三角形，CBCD，ECBD.图16(1)求证：BEDE；(2)若BCD120，M为线段AE的中点，求证：DM平面BEC.19证明：(1)取BD的中点O，连接CO，EO.由于CBCD，所以COBD，又ECB
27、D，ECCOC，CO，EC平面EOC，所以BD平面EOC，因此BDEO，又O为BD的中点，所以BEDE.(2)证法一：取AB的中点N，连接DM，DN，MN，因为M是AE的中点，所以MNBE.又MN平面BEC，BE平面BEC，所以MN平面BEC，又因为ABD为正三角形，所以BDN30，又CBCD，BCD120，因此CBD30，所以DNBC，又DN平面BEC，BC平面BEC，所以DN平面BEC，又MNDNN，故平面DMN平面BEC，又DM平面DMN，所以DM平面BEC.证法二：延长AD，BC交于点F，连接EF.因为CBCD，BCD120.所以CBD30.因为ABD为正三角形所以BAD60，ABC9
28、0，因此AFB30，所以ABAF.又ABAD，所以D为线段AF的中点连接DM，由点M是线段AE的中点，因此DMEF.又DM平面BEC，EF平面BEC，所以DM平面BEC.19G5、G7 如图17，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，ADBC，ACBD.(1)证明：BDPC；(2)若AD4，BC2，直线PD与平面PAC所成的角为30，求四棱锥PABCD的体积19解：(1)证明：因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD.图18又ACBD，PA，AC是平面PAC内的两条相交直线，所以BD平面PAC.而PC平面PAC，所以BDPC.(2)设AC和BD相交于点O，
29、连结PO，由(1)知，BD平面PAC，所以DPO是直线PD和平面PAC所成的角从而DPO30.由BD平面PAC，PO平面PAC知，BDPO.在RtPOD中，由DPO30得PD2OD.因为四边形ABCD为等腰梯形，ACBD，所以AOD，BOC均为等腰直角三角形从而梯形ABCD的高为ADBC(42)3，于是梯形ABCD的面积S(42)39.在等腰直角三角形AOD中，ODAD2，所以PD2OD4，PA4.故四棱锥PABCD的体积为VSPA9412.19G5、G7 某个实心零部件的形状是如图17所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1ABCD，上部是一个底面与
30、四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCDA2B2C2D2.图17(1)证明：直线B1D1平面ACC2A2；(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理已知AB10，A1B120，AA230，AA113(单位：cm)，每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？19解：(1)因为四棱柱ABCDA2B2C2D2的侧面是全等的矩形，所以AA2AB，AA2AD，又因为ABADA，所以AA2平面ABCD.连接BD，因为BD平面ABCD，所以AA2BD.因为底面ABCD是正方形，所以ACBD.根据棱台的定义可知，BD与B1D1共面又已知平面ABCD平面A1B1C1D1，且平面BB1D1D
31、平面ABCDBD，平面BB1D1D平面A1B1C1D1B1D1，所以B1D1BD.于是由AA2BD，ACBD，B1D1BD，可得AA2B1D1，ACB1D1，又因为AA2ACA，所以B1D1平面ACC2A2.(2)因为四棱柱ABCDA2B2C2D2的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以S1S四棱柱上底面S四棱柱侧面(A2B2)24ABAA2102410301 300(cm2)又因为四棱台A1B1C1D1ABCD的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形所以S2S四棱台下底面S四棱台侧面(A1B1)24(ABA1B1)h等腰梯形的高2024(1020)1 120(cm2)于是该实心零部件的表面
32、积为SS1S21 3001 1202 420(cm2)，故所需加工处理费为0.2S0.22 420484(元)18G5、G12 如图15所示，在四棱锥PABCD中，AB平面PAD，ABCD，PDAD，E是PB的中点，F是DC上的点且DFAB，PH为PAD中AD边上的高(1)证明：PH平面ABCD；(2)若PH1，AD，FC1，求三棱锥EBCF的体积；(3)证明：EF平面PAB.图1518解：(1)由于AB平面PAD，PH平面PAD，故ABPH.又因为PH为PAD中AD边上的高，故ADPH.ABADA，AB平面ABCD，AD平面ABCD，PH平面ABCD.(2)由于PH平面ABCD，E为PB的中
33、点，PH1，故E到平面ABCD的距离hPH.又因为ABCD，ABAD，所以ADCD，故SBCFFCAD1.因此VEBCFSBCFh.(3)证明：过E作EGAB交PA于G，连接DG.由于E为PB的中点，所以G为PA的中点因为DADP，故DPA为等腰三角形，所以DGPA.AB平面PAD，DG平面PAD，ABDG.又ABPAA，AB平面PAB，PA平面PAB，DG平面PAB.又GE綊AB，DF綊AB，GE綊DF.所以四边形DFEG为平行四边形，故DGEF.于是EF平面PAB.19G5、G11 如图13，长方体ABCDA1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形，O是BD的中点，E是棱AA1上任意
34、一点(1)证明：BDEC1；(2)如果AB2，AE，OEEC1，求AA1的长图1319解：(1)证明：连接AC，A1C1.由底面是正方形知，BDAC.因为AA1平面ABCD，BD平面ABCD，所以AA1BD.又由AA1ACA，所以BD平面AA1C1C.再由EC1平面AA1C1C知，BDEC1.(2)设AA1的长为h，连接OC1.在RtOAE中，AE，AO，故OE2()2()24.在RtEA1C1中，A1Eh，A1C12.故EC(h)2(2)2.在RtOCC1中，OC，CC1h，OCh2()2.因为OEEC1，所以OE2ECOC，即4(h)2(2)2h2()2，解得h3.所以AA1的长为3.16
35、G4、G5、G7 如图19(1)，在RtABC中，C90，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图19(2)(1)求证：DE平面A1CB；(2)求证：A1FBE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由图1916解：(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DEBC.又因为DE平面A1CB，所以DE平面A1CB.(2)证明：由已知得ACBC且DEBC，所以DEAC.所以DEA1D，DECD，所以DE平面A1DC.而A1F平面A1DC，所以DEA1F.又因为A1FCD，所以A1F平面BCDE，所以A1
36、FBE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ.理由如下：如下图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQBC.又因为DEBC，所以DEPQ.所以平面DEQ即为平面DEP，由(2)知，DE平面A1DC，所以DEA1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1CDP.所以A1C平面DEP.从而A1C平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C平面DEQ.16G4、G5 如图14，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且ADDE，F为B1C1的中点求证：(1)平面ADE平面BCC1B1；(2)直线A1F平面AD
37、E.图1416证明：(1)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC，又AD平面ABC，所以CC1AD.又因为ADDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1DEE，所以AD平面BCC1B1.又AD平面ADE，所以平面ADE平面BCC1B1.(2)因为A1B1A1C1，F为B1C1的中点，所以A1FB1C1.因为CC1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1A1F.又因为CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1C1，所以A1F平面BCC1B1.由(1)知AD平面BCC1B1，所以A1FAD.又AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F平面ADE.19G5、G7
38、、G11 如图11，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，AC2，PA2，E是PC上的一点，PE2EC.(1)证明：PC平面BED；(2)设二面角APBC为90，求PD与平面PBC所成角的大小图1119解：方法一：(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所以BDAC，又PA底面ABCD，所以PCBD.设ACBDF，连结EF.因为AC2，PA2，PE2EC，故PC2，EC，FC，从而，.因为，FCEPCA，所以FCEPCA，FECPAC90，由此知PCEF.PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC平面BED.(2)在平面PAB内过点A作AGPB，G为垂足因为二面角
39、APBC为90，所以平面PAB平面PBC.又平面PAB平面PBCPB，故AG平面PBC，AGBC.BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC平面PAB，于是BCAB，所以底面ABCD为正方形，AD2，PD2.设D到平面PBC的距离为d.因为ADBC，且AD平面PBC，BC平面PBC，故AD平面PBC，A、D两点到平面PBC的距离相等，即dAG.设PD与平面PBC所成的角为，则sin.所以PD与平面PBC所成的角为30.方法二：(1)以A为坐标原点，射线AC为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设C(2，0,0)，D(，b,0)，其中b0，则P(0,0,2)，E，B(
40、，b,0)于是(2，0，2)，从而0，0，故PCBE，PCDE.又BEDEE，所以PC平面BDE.(2)(0,0,2)，(，b,0)设m(x，y，z)为平面PAB的法向量，则m0，m0，即2z0且xby0，令xb，则m(b，0)设n(p，q，r)为平面PBC的法向量，则n0，n0，即2p2r0且bqr0，令p1，则r，q，n.因为面PAB面PBC，故mn0，即b0，故b，于是n(1，1，)，(，2)，cosn，n，60.因为PD与平面PBC所成的角和n，互余，故PD与平面PBC所成的角为30.G6 三垂线定理20G5、G6、G10、G11 已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB4，ACBC3
41、，D为AB的中点(1)求异面直线CC1和AB的距离；(2)若AB1A1C，求二面角A1CDB1的平面角的余弦值图1320解：(1)因ACBC，D为AB的中点，故CDAB.又直三棱柱中，CC1面ABC，故CC1CD，所以异面直线CC1和AB的距离为CD.(2)解法一：由CDAB，CDBB1，故CD面A1ABB1，从而CDDA1，CDDB1，故A1DB1为所求的二面角A1CDB1的平面角因A1D是A1C在面A1ABB1上的射影，又已知AB1A1C，由三垂线定理的逆定理得AB1A1D，从而A1AB1，A1DA都与B1AB互余，因此A1AB1A1DA，所以RtA1ADRtB1A1A，因此，得AAADA
42、1B18.从而A1D2，B1DA1D2，所以在A1DB1中，由余弦定理得cosA1DB1.解法二：如下图，过D作DD1AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，由(1)知DB，DC，DD1两两垂直，以D为原点，射线DB，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.设直三棱柱的高为h，则A(2,0,0)，A1(2,0，h)，B1(2,0，h)，C(0，0)，从而(4,0，h)，(2，h)由得0，即8h20，因此h2.图14故(2,0,2)，(2,0,2)，(0，0)设平面A1CD的法向量为m(x1，y1，z1)，则m，m，即取z11，得m(，0,1)设平面B1CD的法向量为
43、n(x2，y2，z2)，则n，n，即取z21，得n(，0，1)，所以cosm，n.所以二面角A1CDB1的平面角的余弦值为.G7 棱柱与棱锥13G7 如图13所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥ADED1的体积为_图1313. 本题考查棱锥的体积公式，考查空间想象力与转化能力，容易题VADED1VEDD1A111.7G7 如图12，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD3 cm，AA12 cm，则四棱锥ABB1D1D的体积为_cm3.图1276 本题考查四棱锥体积的求解以及对长方体性质的运用解题突破口为寻找四棱锥的高连AC交BD于点O，因四边形
44、ABCD为正方形，故AO为四棱锥ABB1D1D的高，从而V236.3. G2、G7 已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图11所示，则该三棱锥的体积是()A1 cm3 B2 cm3C3 cm3 D6 cm3图113A 本题考查三棱锥的三视图与体积计算公式，考查学生对数据的运算能力和空间想象能力由三视图可知，该几何体为一个正三棱锥，则VSh1231.18G5、G7 直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA1，CAB.(1)证明：CB1BA1；(2)已知AB2，BC，求三棱锥C1ABA1的体积图1718解：(1)证明：如图，连结AB1，ABCA1B1C1是直三棱柱，CAB，AC平面ABB1A1，故A
45、CBA1.又ABAA1，四边形ABB1A1是正方形，BA1AB1，又CAAB1A.BA1平面CAB1，故CB1BA1.(2)ABAA12，BC，ACA1C11，由(1)知，A1C1平面ABA1，VC1ABA1SABA1A1C121.19G5、G7 如图17，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，ADBC，ACBD.(1)证明：BDPC；(2)若AD4，BC2，直线PD与平面PAC所成的角为30，求四棱锥PABCD的体积19解：(1)证明：因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD.图18又ACBD，PA，AC是平面PAC内的两条相交直线，所以BD平面PAC.
46、而PC平面PAC，所以BDPC.(2)设AC和BD相交于点O，连结PO，由(1)知，BD平面PAC，所以DPO是直线PD和平面PAC所成的角从而DPO30.由BD平面PAC，PO平面PAC知，BDPO.在RtPOD中，由DPO30得PD2OD.因为四边形ABCD为等腰梯形，ACBD，所以AOD，BOC均为等腰直角三角形从而梯形ABCD的高为ADBC(42)3，于是梯形ABCD的面积S(42)39.在等腰直角三角形AOD中，ODAD2，所以PD2OD4，PA4.故四棱锥PABCD的体积为VSPA9412.19G5、G7 某个实心零部件的形状是如图17所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全
47、等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1ABCD，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCDA2B2C2D2.图17(1)证明：直线B1D1平面ACC2A2；(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理已知AB10，A1B120，AA230，AA113(单位：cm)，每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？19解：(1)因为四棱柱ABCDA2B2C2D2的侧面是全等的矩形，所以AA2AB，AA2AD，又因为ABADA，所以AA2平面ABCD.连接BD，因为BD平面ABCD，所以AA2BD.因为底面ABCD是正方形，所以ACBD.根据棱台的定义可知，BD与B1D1
48、共面又已知平面ABCD平面A1B1C1D1，且平面BB1D1D平面ABCDBD，平面BB1D1D平面A1B1C1D1B1D1，所以B1D1BD.于是由AA2BD，ACBD，B1D1BD，可得AA2B1D1，ACB1D1，又因为AA2ACA，所以B1D1平面ACC2A2.(2)因为四棱柱ABCDA2B2C2D2的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以S1S四棱柱上底面S四棱柱侧面(A2B2)24ABAA2102410301 300(cm2)又因为四棱台A1B1C1D1ABCD的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形所以S2S四棱台下底面S四棱台侧面(A1B1)24(ABA1B1)h等腰梯形的高
49、2024(1020)1 120(cm2)于是该实心零部件的表面积为SS1S21 3001 1202 420(cm2)，故所需加工处理费为0.2S0.22 420484(元)19G7、G12 如图13所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，M为棱DD1上的一点(1)求三棱锥AMCC1的体积；(2)当A1MMC取得最小值时，求证：B1M平面MAC.图1319解：(1)由长方体ABCDA1B1C1D1知，AD平面CDD1C1，点A到平面CDD1C1的距离等于AD1，又SMCC1CC1CD211，VAMCC1ADSMCC1.(2)将侧面CDD1C1绕DD1逆时针转90展开，与侧
50、面ADD1A1共面(如图)，当A1，M，C共线时，A1MMC取得最小值由ADCD1，AA12，得M为DD1中点连接C1M，在C1MC中，MC1，MC，CC12.CCMCMC2，得CMC190，即CMMC1.又由长方体ABCDA1B1C1D1知，B1C1平面CDD1C1，B1C1CM.又B1C1C1MC1，CM平面B1C1M，得CMB1M；同理可证，B1MAM，又AMMCM，B1M平面MAC.16G4、G5、G7 如图19(1)，在RtABC中，C90，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图19(2)(1)求证：DE平面A1C
51、B；(2)求证：A1FBE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由图1916解：(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DEBC.又因为DE平面A1CB，所以DE平面A1CB.(2)证明：由已知得ACBC且DEBC，所以DEAC.所以DEA1D，DECD，所以DE平面A1DC.而A1F平面A1DC，所以DEA1F.又因为A1FCD，所以A1F平面BCDE，所以A1FBE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ.理由如下：如下图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQBC.又因为DEBC，所以DEPQ.所以平面DEQ即为平面DEP，由(2)知，DE平面A
52、1DC，所以DEA1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1CDP.所以A1C平面DEP.从而A1C平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C平面DEQ.7G2、G7 某三棱锥的三视图如图14所示，该三棱锥的表面积是()图14A286 B306C5612 D60127B 本题考查三棱锥的三视图与表面积公式由三视图可知，几何体为一个侧面和底面垂直的三棱锥，如图所示，可知S底面5410，S后5410，S左626，S右4510，所以S表1036306.12G2、G7 某几何体的三视图如图12所示，则该几何体的体积等于_图121256 如图，根据三视图还原的实物图为底面是直角梯形
53、的直四棱柱，其体积为VSh4456.19G5、G7、G11 如图11，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，AC2，PA2，E是PC上的一点，PE2EC.(1)证明：PC平面BED；(2)设二面角APBC为90，求PD与平面PBC所成角的大小图1119解：方法一：(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所以BDAC，又PA底面ABCD，所以PCBD.设ACBDF，连结EF.因为AC2，PA2，PE2EC，故PC2，EC，FC，从而，.因为，FCEPCA，所以FCEPCA，FECPAC90，由此知PCEF.PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC平面BED.(2)
54、在平面PAB内过点A作AGPB，G为垂足因为二面角APBC为90，所以平面PAB平面PBC.又平面PAB平面PBCPB，故AG平面PBC，AGBC.BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC平面PAB，于是BCAB，所以底面ABCD为正方形，AD2，PD2.设D到平面PBC的距离为d.因为ADBC，且AD平面PBC，BC平面PBC，故AD平面PBC，A、D两点到平面PBC的距离相等，即dAG.设PD与平面PBC所成的角为，则sin.所以PD与平面PBC所成的角为30.方法二：(1)以A为坐标原点，射线AC为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设C(2，0,0)，D(
55、，b,0)，其中b0，则P(0,0,2)，E，B(，b,0)于是(2，0，2)，从而0，0，故PCBE，PCDE.又BEDEE，所以PC平面BDE.(2)(0,0,2)，(，b,0)设m(x，y，z)为平面PAB的法向量，则m0，m0，即2z0且xby0，令xb，则m(b，0)设n(p，q，r)为平面PBC的法向量，则n0，n0，即2p2r0且bqr0，令p1，则r，q，n.因为面PAB面PBC，故mn0，即b0，故b，于是n(1，1，)，(，2)，cosn，n，60.因为PD与平面PBC所成的角和n，互余，故PD与平面PBC所成的角为30.19G5、G7 如图14，三棱柱ABCA1B1C1中
56、，侧棱垂直底面，ACB90，ACBCAA1，D是棱AA1的中点(1)证明：平面BDC1平面BDC；(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比图1419解：(1)证明：由题设知BCCC1，BCAC，CC1ACC，所以BC平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1，所以DC1BC.由题设知A1DC1ADC45，所以CDC190，即DC1DC.又DCBCC，所以DC1平面BDC.又DC1平面BDC1，故平面BDC1平面BDC.(2)设棱锥BDACC1的体积为V1，AC1.由题意得V111.又三棱柱ABCA1B1C1的体积V1，所以(VV1)V111.故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的
57、比为11.18G4、G7 如图15，直三棱柱ABCABC，BAC90，ABAC，AA1，点M，N分别为AB和BC的中点(1)证明：MN平面AACC；(2)求三棱锥AMNC的体积(锥体体积公式VSh，其中S为底面面积，h为高)图1518解：(1)(证法一)连结AB，AC，由已知BAC90，ABAC，三棱柱ABCABC为直三棱柱，所以M为AB中点，又因为N为BC的中点，所以MNAC.又MN平面AACC，AC平面AACC，因此MN平面AACC.(证法二)取AB中点P，连结MP，NP，M、N分别为AB与BC的中点，所以MPAA，PNAC，所以MP平面AACC，PN平面AACC，又MPNPP，因此平面M
58、PN平面AACC，而MN平面MPN.因此MN平面AACC.(2)(解法一)连结BN，由题意ANBC，平面ABC平面BBCCBC，所以AN平面NBC.又ANBC1，故VAMNCVNAMCVNABCVANBC.(解法二)VAMNCVANBCVMNBCVANBC.G8 多面体与球16G8 已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形，若PA2，则OAB的面积为_图14163 本小题主要考查球的概念与性质解题的突破口为弄清PC为球的直径，问题转换为求长方体的对角线因为四边形ABCD是边长为2的正方形，故而ABAD2，如图14所示，PA，AB，AD两两垂直
59、，可以补充成以PA，AB，AD为棱的球内接长方体，故而2R4，所以R2， 故而OAB为等边三角形，SOAB(2)23.8G8 平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球的体积为()A. B4C4 D68B 由题意，球的半径为R，所以球的体积为VR34.故选B.G9空间向量及运算G10 空间向量解决线面位置关系20G5、G6、G10、G11 已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB4，ACBC3，D为AB的中点(1)求异面直线CC1和AB的距离；(2)若AB1A1C，求二面角A1CDB1的平面角的余弦值图1320解：(1)因ACBC，D为AB的中点，故CDAB.又直三棱柱中，
60、CC1面ABC，故CC1CD，所以异面直线CC1和AB的距离为CD.(2)解法一：由CDAB，CDBB1，故CD面A1ABB1，从而CDDA1，CDDB1，故A1DB1为所求的二面角A1CDB1的平面角因A1D是A1C在面A1ABB1上的射影，又已知AB1A1C，由三垂线定理的逆定理得AB1A1D，从而A1AB1，A1DA都与B1AB互余，因此A1AB1A1DA，所以RtA1ADRtB1A1A，因此，得AAADA1B18.从而A1D2，B1DA1D2，所以在A1DB1中，由余弦定理得cosA1DB1.解法二：如下图，过D作DD1AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，由(1)知DB，DC，DD1
61、两两垂直，以D为原点，射线DB，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.设直三棱柱的高为h，则A(2,0,0)，A1(2,0，h)，B1(2,0，h)，C(0，0)，从而(4,0，h)，(2，h)由得0，即8h20，因此h2.图14故(2,0,2)，(2,0,2)，(0，0)设平面A1CD的法向量为m(x1，y1，z1)，则m，m，即取z11，得m(，0,1)设平面B1CD的法向量为n(x2，y2，z2)，则n，n，即取z21，得n(，0，1)，所以cosm，n.所以二面角A1CDB1的平面角的余弦值为.G11 空间角与距离的求法20G5、G6、G10、G11 已
62、知在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB4，ACBC3，D为AB的中点(1)求异面直线CC1和AB的距离；(2)若AB1A1C，求二面角A1CDB1的平面角的余弦值图1320解：(1)因ACBC，D为AB的中点，故CDAB.又直三棱柱中，CC1面ABC，故CC1CD，所以异面直线CC1和AB的距离为CD.(2)解法一：由CDAB，CDBB1，故CD面A1ABB1，从而CDDA1，CDDB1，故A1DB1为所求的二面角A1CDB1的平面角因A1D是A1C在面A1ABB1上的射影，又已知AB1A1C，由三垂线定理的逆定理得AB1A1D，从而A1AB1，A1DA都与B1AB互余，因此A1AB1A1DA
63、，所以RtA1ADRtB1A1A，因此，得AAADA1B18.从而A1D2，B1DA1D2，所以在A1DB1中，由余弦定理得cosA1DB1.解法二：如下图，过D作DD1AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，由(1)知DB，DC，DD1两两垂直，以D为原点，射线DB，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.设直三棱柱的高为h，则A(2,0,0)，A1(2,0，h)，B1(2,0，h)，C(0，0)，从而(4,0，h)，(2，h)由得0，即8h20，因此h2.图14故(2,0,2)，(2,0,2)，(0，0)设平面A1CD的法向量为m(x1，y1，z1)，则m，m，
64、即取z11，得m(，0,1)设平面B1CD的法向量为n(x2，y2，z2)，则n，n，即取z21，得n(，0，1)，所以cosm，n.所以二面角A1CDB1的平面角的余弦值为.20G4、G5、G11 如图15，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，ADAB，AB，AD2，BC4，AA12，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点(1)证明：(i)EFA1D1；(ii)BA1平面B1C1EF；(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值图1520解：(1)证明：()因为C1B1A1D1，C1B1平面A1D1DA，所以C1B1平面A1D1DA，又因为平面B1
65、C1EF平面A1D1DAEF，所以C1B1EF，所以A1D1EF.()因为BB1平面A1B1C1D1，所以BB1B1C1.又因为B1C1B1A1，所以B1C1平面ABB1A1，所以B1C1BA1.在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，tanA1B1FtanAA1B，即A1B1FAA1B，故BA1B1F，所以BA1平面B1C1EF.(2)设BA1与B1F交点为H，连结C1H.由(1)知BA1平面B1C1EF，所以BC1H是BC1与面B1C1EF所成的角在矩形AA1B1B中，AB，AA12，得BH.在直角BHC1中，BC12，BH，得sinBC1H，所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是.
66、17G5、G11 如图14，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，ADPD，BC1，PC2，PDCD2.(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值；(2)证明平面PDC平面ABCD；(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值图1417解：(1)如图所示，在四棱锥PABCD中，因为底面ABCD是矩形，所以ADBC且ADBC，又因为ADPD，故PAD为异面直线PA与BC所成的角在RtPDA中，tanPAD2.所以，异面直线PA与BC所成角的正切值为2. (2)证明：由于底面ABCD是矩形，故ADCD，又由于ADPD，CDPDD，因此AD平面PDC，而AD平面ABCD，所以平面PDC平面ABCD
67、.(3)在平面PDC内，过点P作PECD交直线CD于点E，连接EB.由于平面PDC平面ABCD，而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线，故PE平面ABCD.由此得PBE为直线PB与平面ABCD所成的角在PDC中，由于PDCD2，PC2，可得PCD30.在RtPEC中，PEPCsin30.由ADBC，AD平面PDC，得BC平面PDC，因此BCPC.在RtPCB中，PB.在RtPEB中，sinPBE.所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为.19G1、G11 如图11，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，D是PC的中点，已知BAC，AB2，AC2，PA2，求：图11(1)三棱锥PABC的体积
68、；(2)异面直线BC与AD所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)19解：(1)SABC222，图12三棱锥PABC的体积为VSABCPA22.(2)取PB的中点E，连接DE、AE，则EDBC，所以ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角在ADE中，DE2，AE，AD2，cosADE，所以ADEarccos.因此，异面直线BC与AD所成的角的大小是arccos.19G5、G11 如图13，长方体ABCDA1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形，O是BD的中点，E是棱AA1上任意一点(1)证明：BDEC1；(2)如果AB2，AE，OEEC1，求AA1的长图1319解：(1)证明：连
69、接AC，A1C1.由底面是正方形知，BDAC.因为AA1平面ABCD，BD平面ABCD，所以AA1BD.又由AA1ACA，所以BD平面AA1C1C.再由EC1平面AA1C1C知，BDEC1.(2)设AA1的长为h，连接OC1.在RtOAE中，AE，AO，故OE2()2()24.在RtEA1C1中，A1Eh，A1C12.故EC(h)2(2)2.在RtOCC1中，OC，CC1h，OCh2()2.因为OEEC1，所以OE2ECOC，即4(h)2(2)2h2()2，解得h3.所以AA1的长为3.8G11 已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，CC12，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BE
70、D的距离为()A2 B. C. D18D 本小题主要考查正四棱柱的性质以及直线到平面的距离的概念解题的突破口为直线到平面的距离的转化由已知可得AC14，取AC与BD的中点O，连OE，显然有AC1OE且平面ACC1A1平面BED，AC1与平面BED的距离即为AC1与OE的距离，又AB2，CC12，AC2，CC1AC，平面AA1C1为正方形，AC1与平面BED的距离为CA11，故选D.16G11 已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为_16. 本小题主要考查正方体中异面直线所成的角的求解，解题的突破口是化异面为共面，即平移直
71、线或找平行线连结DF，显然有DFAE，所以DFD1为所求异面直线所成角或其补角设正方体棱长为1，则DF FD1，由余弦定理可求得DFD1的余弦值为，故填.19G5、G7、G11 如图11，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，AC2，PA2，E是PC上的一点，PE2EC.(1)证明：PC平面BED；(2)设二面角APBC为90，求PD与平面PBC所成角的大小图1119解：方法一：(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所以BDAC，又PA底面ABCD，所以PCBD.设ACBDF，连结EF.因为AC2，PA2，PE2EC，故PC2，EC，FC，从而，.因为，FCEPCA，所以FC
72、EPCA，FECPAC90，由此知PCEF.PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC平面BED.(2)在平面PAB内过点A作AGPB，G为垂足因为二面角APBC为90，所以平面PAB平面PBC.又平面PAB平面PBCPB，故AG平面PBC，AGBC.BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC平面PAB，于是BCAB，所以底面ABCD为正方形，AD2，PD2.设D到平面PBC的距离为d.因为ADBC，且AD平面PBC，BC平面PBC，故AD平面PBC，A、D两点到平面PBC的距离相等，即dAG.设PD与平面PBC所成的角为，则sin.所以PD与平面PBC所成的角为30
73、.方法二：(1)以A为坐标原点，射线AC为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设C(2，0,0)，D(，b,0)，其中b0，则P(0,0,2)，E，B(，b,0)于是(2，0，2)，从而0，0，故PCBE，PCDE.又BEDEE，所以PC平面BDE.(2)(0,0,2)，(，b,0)设m(x，y，z)为平面PAB的法向量，则m0，m0，即2z0且xby0，令xb，则m(b，0)设n(p，q，r)为平面PBC的法向量，则n0，n0，即2p2r0且bqr0，令p1，则r，q，n.因为面PAB面PBC，故mn0，即b0，故b，于是n(1，1，)，(，2)，cosn，n，60.因为PD
74、与平面PBC所成的角和n，互余，故PD与平面PBC所成的角为30.G12 单元综合6G12 下列命题正确的是()A若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行6C 对于A，可以考虑一个圆锥的两条母线与底面所成角都相等，但它们不平行，A错对于B，当三个点在同一条直线上，且该直线平行于一个平面时，不能保证两个平面平行；或者当其中两个点在平面一侧，第三点在平面异侧，且它们到平面距离相等，也不能保证两个平面平行，故B错对于
75、C，记平面外的直线为a，两平面记为、，它们的交线为l.过a作平面与平面相交于b，并使得b不在内，由a，可知ab，又a，故b.过b的平面与相交于l，由线面平行的性质定理可得：bl，再由公理可得：al.C正确对于D，观察一个正方体共顶点的三个面，即可知D错误10G12 如图13，半径为R的半球O的底面圆O在平面内，过点O作平面的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作与平面成45角的平面与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足BOP60，则A、P两点间的球面距离为()ARarccos B.CRarccos D.图1310A 由已知，OACD，又B点到平面的距离最大，即B
76、点在半圆CBD的最高点，即半圆弧CBD的中点，于是BOCD，于是CD平面AOB，进而平面CBD平面AOB，且AOB为二面角ACDB的平面角，该角等于平面BCD与所成二面角的余角，为45，于是由公式cosAOPcosAOBcosBOP，即AOParccos，故A、P两点间的球面距离为Rarccos.18G5、G12 如图15所示，在四棱锥PABCD中，AB平面PAD，ABCD，PDAD，E是PB的中点，F是DC上的点且DFAB，PH为PAD中AD边上的高(1)证明：PH平面ABCD；(2)若PH1，AD，FC1，求三棱锥EBCF的体积；(3)证明：EF平面PAB.图1518解：(1)由于AB平面
77、PAD，PH平面PAD，故ABPH.又因为PH为PAD中AD边上的高，故ADPH.ABADA，AB平面ABCD，AD平面ABCD，PH平面ABCD.(2)由于PH平面ABCD，E为PB的中点，PH1，故E到平面ABCD的距离hPH.又因为ABCD，ABAD，所以ADCD，故SBCFFCAD1.因此VEBCFSBCFh.(3)证明：过E作EGAB交PA于G，连接DG.由于E为PB的中点，所以G为PA的中点因为DADP，故DPA为等腰三角形，所以DGPA.AB平面PAD，DG平面PAD，ABDG.又ABPAA，AB平面PAB，PA平面PAB，DG平面PAB.又GE綊AB，DF綊AB，GE綊DF.所
78、以四边形DFEG为平行四边形，故DGEF.于是EF平面PAB.19G7、G12 如图13所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，M为棱DD1上的一点(1)求三棱锥AMCC1的体积；(2)当A1MMC取得最小值时，求证：B1M平面MAC.图1319解：(1)由长方体ABCDA1B1C1D1知，AD平面CDD1C1，点A到平面CDD1C1的距离等于AD1，又SMCC1CC1CD211，VAMCC1ADSMCC1.(2)将侧面CDD1C1绕DD1逆时针转90展开，与侧面ADD1A1共面(如图)，当A1，M，C共线时，A1MMC取得最小值由ADCD1，AA12，得M为DD1中点
79、连接C1M，在C1MC中，MC1，MC，CC12.CCMCMC2，得CMC190，即CMMC1.又由长方体ABCDA1B1C1D1知，B1C1平面CDD1C1，B1C1CM.又B1C1C1MC1，CM平面B1C1M，得CMB1M；同理可证，B1MAM，又AMMCM，B1M平面MAC.15G1、G12 若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即ABCD，ACBD，ADBC，则_(写出所有正确结论的编号)四面体ABCD每组对棱相互垂直；四面体ABCD每个面的面积相等；从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90而小于180；连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分；从四面体ABCD
80、每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长15 如图，把四面体ABCD放入长方体中，由长方体中相对面中相互异面的两条面对角线不一定相互垂直可知错误；由长方体中ABCABDDCBDCA，可知四面体ABCD每个面的面积相等，同时四面体ABCD中过同一顶点的三个角之和为一个三角形的三个内角之和，即为180，故正确，错误；长方体中相对面中相互异面的两条面对角线中点的连线相互垂直，故正确；从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱可以移到一个三角形中，作为一个三角形的三条边，故正确答案为.19G12 如图15，在三棱锥PABC中，APB90，PAB60，ABBCCA，点P在平面ABC内的射影O在AB上(
81、1)求直线PC与平面ABC所成的角的大小；(2)求二面角BAPC的大小图1519解：解法一：(1)连结OC，由已知，OCP为直线PC与平面ABC所成的角设AB的中点为D，连结PD、CD.因为ABBCCA，所以CDAB.因为APB90，PAB60，所以PAD为等边三角形不妨设PA2，则OD1，OP，AB4.所以CD2，OC.在RtOCP中，tanOCP.故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan.(2)过D作DEAP于E，连结CE.由已知可得，CD平面PAB.根据三垂线定理知，CEPA.所以CED为二面角BAPC的平面角由(1)知，DE.在RtCDE中，tanCED2.故二面角BAPC的
82、大小为arctan2.解法二：(1)设AB的中点为D，连结CD.因为O在AB上，且O为P在平面ABC上的射影，所以PO平面ABC.所以POAB，且POCD.由ABBCCA，知CDAB.设E为AC中点，则EOCD，从而OEPO，OEAB.如图，以O为坐标原点，OB、OE、OP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Oxyz.不妨设PA2，由已知可得，AB4，OAOD1，OP，CD2.所以O(0,0,0)，A(1,0,0)，C(1,2，0)，P(0,0，)所以(1，2，)，而(0,0，)为平面ABC的一个法向量，设为直线PC与平面ABC所成的角，则sin.故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arcsin.(2)由(1)有，(1,0，)，(2,2，0)，设平面APC的一个法向量为n(x1，y1，z1)，则从而取x1，则y11，z11，所以n(，1,1)设二面角BAPC的平面角为，易知为锐角而面ABP的一个法向量为m(0,1,0)，则cos.故二面角BAPC的大小为arccos.