1、1导数与导函数的概念(1)当x1趋于x0，即x趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数yf(x)在x0点的瞬时变化率在数学中，称瞬时变化率为函数yf(x)在x0点的导数，通常用符号f(x0)表示，记作f(x0) .(2)如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f(x)：f(x) ，则f(x)是关于x的函数，称f(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数2导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)3基本初等函数的导数公式基本初
2、等函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(实数)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)exf(x)exf(x)ax(a0，a1)f(x)axln af(x)ln xf(x)f(x)logax(a0，a1)f(x)4.导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)【知识拓展】1奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数2(f(x)0)3af(x)bg(x)af(x)bg(x)4函数yf(x
3、)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x0)是函数yf(x)在xx0附近的平均变化率()(2)f(x0)与f(x0)表示的意义相同()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点()(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线()(5)函数f(x)sin(x)的导数是f(x)cos x()1(2017西安一中联考)设f(x)xln x，若f(x0)2，则x0等于()Ae2 Be C. Dln 2答案B解析f(
4、x)ln x1，f(x0)ln x012，ln x01，x0e.2如图所示为函数yf(x)，yg(x)的导函数的图像，那么yf(x)，yg(x)的图像可能是()答案D解析由yf(x)的图像知yf(x)在(0，)上单调递减，说明函数yf(x)的切线的斜率在(0，)上也单调递减，故可排除A，C.又由图像知yf(x)与yg(x)的图像在xx0处相交，说明yf(x)与yg(x)的图像在xx0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.3(2016襄阳模拟)函数f(x)excos x的图像在点(0，f(0)处的切线的倾斜角为()A0 B. C1 D.答案B解析由f(x)excos x，得f(x)excos
5、xexsin x所以f(0)e0cos 0e0sin 01，即倾斜角满足tan 1.根据0，)，得.4设函数f(x)在(0，)内可导，且f(ex)xex，则f(1) .答案2解析f(ex)xex，令tex，则xln t(t0)，f(t)ln tt(t0)，得f(x)ln xx(x0)则f(x)1(x0)，故f(1)2.5曲线y5ex3在点(0，2)处的切线方程是 答案5xy20解析因为y|x05e05，所以曲线在点(0，2)处的切线方程为y(2)5(x0)，即5xy20.题型一导数的计算例1求下列函数的导数(1)yx2sin x；(2)yln x；(3)y；解(1)y(x2)sin xx2(s
6、in x)2xsin xx2cos x.(2)y(ln x)(ln x)().(3)y().思维升华求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量(1)f(x)x(2 016ln x)，若f(x0)2 017，则x0等于()Ae2 B1 Cln 2 De(2)若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，则f(1)等于()A1 B2 C2 D0答案(1)B(2)B解析(1)f(x)2 016ln xx2 017ln x，故由f(x0)2 017，得2 017l
7、n x02 017，则ln x00，解得x01.(2)f(x)4ax32bx，f(x)为奇函数且f(1)2，f(1)2.题型二导数的几何意义命题点1求切线方程例2(1)(2016全国丙卷)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ln(x)3x，则曲线yf(x)在点(1，3)处的切线方程是 (2)已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10答案(1)2xy10(2)B解析(1)设x0，则x0，f(x)ln x3x，又f(x)为偶函数，f(x)ln x3x，f(x)3，f(1)2，切线方程为y2x1，
8、即2xy10.(2)点(0，1)不在曲线f(x)xln x上，设切点为(x0，y0)又f(x)1ln x，解得x01，y00，切点为(1,0)，f(1)1ln 11，直线l的方程为yx1，即xy10.故选B.命题点2求参数的值例3(1)(2016泉州模拟)函数yex的切线方程为ymx，则m .(2)已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图像都相切，与f(x)图像的切点为(1，f(1)，则m等于()A1 B3 C4 D2答案(1)e(2)D解析(1)设切点坐标为P(x0，y0)，由yex，得从而切线方程为又切线过定点(0,0)，从而解得x01，则me.(
9、2)f(x)，直线l的斜率kf(1)1.又f(1)0，切线l的方程为yx1.g(x)xm，设直线l与g(x)的图像的切点为(x0，y0)，则有x0m1，y0x01，y0xmx0，m0，于是解得m2.故选D.命题点3导数与函数图像的关系例4如图，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x0)，过点E作OB的垂线l.记AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数Sf(x)的图像为下图中的()答案D解析函数的定义域为0，)，当x0,2时，在单位长度改变量x内面积改变量S大于0且越来越大，即斜率f(x)在0,2内大于0且越来越大，因此，函数Sf(x)的图像是上升的且图像是下凸的；当x(2,3)时，在单
10、位长度改变量x内面积改变量S大于0且越来越小，即斜率f(x)在(2,3)内大于0且越来越小，因此，函数Sf(x)的图像是上升的且图像是上凸的；当x3，)时，在单位长度改变量x内面积改变量S为0，即斜率f(x)在3，)内为常数0，此时，函数图像为平行于x轴的射线思维升华导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A(x0，f(x0)求斜率k，即求该点处的导数值：kf(x0)(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k.(3)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由求解即可(4)函数图像在每一点处的切线斜率的变化情况反
11、映函数图像在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图像升降的快慢(1)(2016郑州模拟)已知曲线y3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为()A3 B2 C1 D.(2)(2016昆明模拟)设曲线y在点(，1)处的切线与直线xay10平行，则实数a等于()A1 B. C2 D2答案(1)A(2)A解析(1)设切点的横坐标为x0，曲线y3ln x的一条切线的斜率为，y，即，解得x03或x02(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为3.(2)y，1.由条件知1，a1.3求曲线的切线方程典例若存在过点O(0,0)的直线l与曲线yx33x22x和yx2a都相切，求a的值错解展示现场纠
12、错解易知点O(0,0)在曲线yx33x22x上(1)当O(0,0)是切点时，由y3x26x2，得y|x02，即直线l的斜率为2，故直线l的方程为y2x.由得x22xa0，依题意44a0，得a1.(2)当O(0,0)不是切点时，设直线l与曲线yx33x22x相切于点P(x0，y0)，则y0x3x2x0，3x6x02，又kx3x02，联立，得x0(x00舍去)，所以k，故直线l的方程为yx.由得x2xa0，依题意，4a0，得a.综上，a1或a.纠错心得求曲线过一点的切线方程，要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况1若f(x)2xf(1)x2，则f(0)等于()A2 B0 C2 D4答案D解析f
13、(x)2f(1)2x，令x1，则f(1)2f(1)2，得f(1)2，所以f(0)2f(1)04.2(2016长沙模拟)若曲线f(x)x4x在点P处的切线平行于直线3xy0，则点P的坐标为()A(1,2) B(1，3)C(1,0) D(1,5)答案C解析设点P的坐标为(x0，y0)，因为f(x)4x31，所以f(x0)4x13，即x01.把x01代入函数f(x)x4x，得y00，所以点P的坐标为(1,0)3若直线yx是曲线yx33x2px的切线，则实数p的值为()A1 B2 C. D1或答案D解析y3x26xp，设切点为P(x0，y0)，解得或4已知曲线yln x的切线过原点，则此切线的斜率为(
14、)Ae Be C. D答案C解析yln x的定义域为(0，)，且y，设切点为(x0，ln x0)，则切线方程为yln x0(xx0)，因为切线过点(0,0)，所以ln x01，解得x0e，故此切线的斜率为.5.(2016郑州质检)已知yf(x)是可导函数，如图，直线ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3)等于()A1 B0 C2 D4答案B解析由题图可知曲线yf(x)在x3处切线的斜率等于，f(3).g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，又由题图可知f(3)1，g(3)13()0.6已知函数f(x
15、)1，g(x)aln x，若在x处函数f(x)与g(x)的图像的切线平行，则实数a的值为()A. B. C1 D4答案A解析由题意可知g(x)，由f()g()，得可得a，经检验，a满足题意7已知函数f(x)满足f(x)f(1)ex1f(0)xx2，那么f(x)的解析式为 答案f(x)exxx2解析由已知得f(x)f(1)ex1f(0)x，所以f(1)f(1)f(0)1，即f(0)1.又f(0)f(1)e1，所以f(1)e.从而f(x)exxx2.8(2016邯郸模拟)曲线ylog2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于 答案解析y，k，切线方程为y(x1)，三角形面积S1.9若
16、函数f(x)x2axln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是 答案2，)解析f(x)x2axln x，定义域为(0，)，f(x)xa.f(x)存在垂直于y轴的切线，f(x)存在零点，即xa0有解，ax2. 10.(2016哈122中学期末)已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是 答案，)解析y，y1(当且仅当ex，即x0时取等号)，1tan 0.又0，0)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在x1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线解根据题意有曲线yf(x)在x1处的切线斜率为f(1)3，曲线yg(x)在x1处的切线斜率为g(1)a.所以f
17、(1)g(1)，即a3.曲线yf(x)在x1处的切线方程为yf(1)3(x1)，又f(1)1，得y13(x1)，即切线方程为3xy40.曲线yg(x)在x1处的切线方程为yg(1)3(x1)，又g(1)6，得y63(x1)，即切线方程为3xy90，所以两条切线不是同一条直线 13.设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形的面积为定值，并求此定值(1)解方程7x4y120可化为yx3.当x2时，y.又f(x)a，于是解得故f(x)x.(2)证明设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y1，知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，即y(xx0)令x0，得y，从而得切线与直线x0的交点坐标为.令yx，得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为S|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为定值且此定值为6.