1、关于互为反函数的两个函数图象公共点的结论及其应用定理1 (1)若函数是增函数，则方程与同解；方程表示函数的反函数，下同)与同解；(2)增函数与其反函数图象的公共点在直线上证明 (1)只需证明：方程的解是方程的解若方程有解，得假设，由函数是增函数，得，再得，得假设，同理可得均与矛盾！所以即欲证成立因为函数是增函数，所以方程即方程也即方程，由中时的结论知也即方程，所以欲证成立(2)由(1)可得用定理1可方便地解决求增函数与其反函数图象的公共点问题：若是增函数，则方程组与同解例如，求与其反函数图象的公共点坐标由定理1-3可得答案：注 减函数与其反函数的图象的公共点不一定在直线上反例1 函数与其反函数
2、图象的公共点均不在直线上反例2 函数与其反函数图象的公共点均不在直线上但我们有较定理1更普遍的结论成立：定理2 若互为反函数的两个函数图象有公共点，则它们也有公共点证明 若曲线与有公共点，得，所以即函数与也有公共点下面用定理1,2来解答三道高考题题1 (2013年高考四川卷文科第10题)设函数R,e为自然对数的底数)若存在使得，则的取值范围是( ) A.1,e B. C. D.0,1答案 A解 因为函数在定义域内是增函数，所以由定理1(1)知题设即方程也即有解设函数，得(因为用导数易证R)，所以函数是增函数，得函数的值域是即1,e得所求的取值范围是1,e题2 (2013年高考四川卷理科第10题)设函数R,e为自然对数的底数)若曲线上存在点使得,则的取值范围是( )A.1,e B. C. D.答案 A解 可得题设即“存在使得”，接下来的解答就全同题1的解答了题3 (2007年高考重庆卷文科第10题)设为二次函数的图象与其反函数的图象的一个交点，则( )A. B. C. D. 答案 C解 由定理2可得且，解得
