1、椭圆中仿射变换仿射变换，就是将空间内的图形按照一定的法则变换，就会在另一个空间内得到与之对应的图形，在高考数学解析几何的一些题目中，我们可以利用仿射变换将部分椭圆问题转化成圆的问题来解决，这样计算过程会大大简化。在椭圆中，我们运用坐标变换，则可以得到圆，这种操作叫做仿射变换，运用仿射变换，可以将某些椭圆问题转化到圆中来解决，从而使得问题简化，上述变换过程有如下对应关系：项目变换前变换后点的坐标直线的斜率图形的面积点与点的位置关系中点为M中点为线与线的位置关系直线m和直线n相交直线和直线相交直线m和直线n平行直线和直线平行点与线的位置关系点A在直线l上点在直线上点A不在直线l上点不在直线上等倾斜
2、程度线段长的关系我们还可以换一种变换方式；椭圆，坐标变换，则可以得到圆。项目变换前变换后点的坐标直线的斜率图形的面积点与点的位置关系中点为M中点为线与线的位置关系直线m和直线n相交直线和直线相交直线m和直线n平行直线和直线平行点与线的位置关系点A在直线l上点在直线上点A不在直线l上点不在直线上等倾斜程度线段长的关系由上述性质可以看出，仿射变换对斜率、长度、面积等重要的几何度量由很好的传承关系，但是无法很好的表达角度关系，所以许多有关角度的问题不宜使用仿射变换解决，但是如果可以将角度转化成斜率关系，仿射变换或许可以派上用场直径所对角为直角圆上的半径与切线垂直垂直平分弦的直线过圆心以上垂直关系可以
3、等价为两直线斜率乘积为,通过仿射变换，可以得到一系列与有关的结论，即 。总之，经过仿射变换，绝对量（如坐标、面积、斜率、线段的长等）都发生了变化，相对量（如点、线、面的位置关系，直线与椭圆的位置关系，共线线段长度之比等）却没有发生变化.提醒：仿射变换常用于解决面积问题（尤其是一个顶点为原点的三角形面积）、斜率问题、共线线段比例问题等；需要注意的是，仿射变换的方法一般不推荐在解答题中使用，下面通过一些实例来分析在具体问题中如何操作.【例1】设直线与椭圆相交于A、B两点，则的面积的最大值为_.【解析】解法1：当直线的斜率不存在时，设其方程为联立解得：，所以，当且仅当，即时取等号，所以当直线l斜率存
4、在时，设其方程为，设，联立消去y整理得：，判别式，所以，原点O到直线l的距离，从而当且仅当时取等号，此时，代入知，故，综上所述，的面积的最大值为.解法2：作变换，则椭圆C变成圆，如图，因为，所以当时，取得最大值，因为，所以，从而的最大值为.解法3：作变换，则椭圆C变成圆，如图，因为，所以当时，取得最大值，因为，所以，从而的最大值为.【答案】【例2】已知椭圆的左右顶点为A、B，P为椭圆C上不与A、B重合的动点，则直线、的斜率之积为_.【解析】本题当然可以利用椭圆的第三定义，快速得出结果为，其推导方法是设点P的坐标，运用点P的坐标满足椭圆的方程来化简、的斜率之积，得出斜率之积为定值，其实也可以用仿
5、射变换来证明这一结果，作变换，则椭圆C变换成圆，如图，在圆中，显然是直径，所以，从而，又，所以，故.【答案】【例3】已知过点的直线l与椭圆交于A、B两点，若M恰好为的中点，则直线l的方程为_.【解析】解法1：如图1，由中点弦结论，而，所以，从而直线l的方程为，即解法2：作变换，则椭圆C变换成圆，如图2，在圆中，仍为中点，所以，且，所以直线的斜率为，从而直线的斜率为，故直线的方程为，即，将代入可得，即，所以直线的方程为【答案】 【例4】已知椭圆的A、B两点满足直线、的斜率之积为，其中O为原点，点P在射线上，且，若与椭圆交于另一点Q，则_.【解析】作变换，则椭圆C变成圆，如图，则，由题意，所以，从
6、而，显然，所以，作于G，则，因为，所以G为的中点，从而，故，所以在变换前的图形中，.【答案】 【反思】在椭圆中，若涉及到了两直线的斜率之积为，则可以考虑利用仿射变换转化为圆，因为变换后两直线的斜率之积为，从而产生了两直线垂直这一良好的几何特征，往往可以使得问题简化.例5.已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，直线与椭圆C交于M、N两点，则四边形的面积的最大值是_.【解析】解法1：如图1，所以A、B两点到直线的距离分别为，将代入化简得：，解得：，所以，从而四边形的面积，当日仅当，即时取等号，所以四边形的面积的最大值是.解法2：作变换，则椭圆C变成圆，如图2，显然，由图可知和到直线的距离之和在时取得最大值，且最大值为，所以四边形的面积的最大值为因为，所以四边形的面积的最大值是.【答案】例6.已知椭圆上有点，过P作两条倾斜角互补的直线交椭圆C于另外两点M、N，则直线的斜率为_.【解析】作变换，则椭圆C变成圆，如图1中，作轴交椭圆C于Q，则在图2中，轴，由题意，在图1中，所以在图2中，所以，故是的中点，从而，在图1中，由对称性可得，所以在图2中，从而，所以，又，所以.【答案】
