1、高考资源网（） 您身边的高考专家3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型学 习 目 标核 心 素 养1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义(重点)2区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异(易混点)3会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题(难点)借助三个函数模型的增长特征培养数学运算、数学建模的素养.三种函数模型的性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化趋势随x增大逐渐近似与y轴平行随x增大逐渐近似与x轴平行随n值而不同增长速度yax(a1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于yxn(n0)的增长
2、速度，ylogax(a1)的增长速度越来越慢；存在一个x0，当xx0时，有axxnlogax1已知变量y12x，当x减少1个单位时，y的变化情况是()Ay减少1个单位By增加1个单位Cy减少2个单位Dy增加2个单位C结合函数y12x的变化特征可知C正确2下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是()AyexByln x Cyx2DyexA结合指数函数、对数函数及幂函数的图象变化趋势可知A正确3某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示以下四种说法：前三年产量增长的速度越来越快；前三年产量增长的速度越来越慢；第三年后这种产品停止生产；第三年后产量保持不变其中说法正确的序号是_结合
3、图象可知正确，故填.几类函数模型的增长差异【例1】(教材改编题)(1)下列函数中，增长速度最快的是()Ay2 019xByx2 019Cylog2 019xDy2 019x(2)下面对函数f(x)logx，g(x)与h(x)x在区间(0，)上的递减情况说法正确的是()Af(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢Bf(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快Cf(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越慢Df(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快(1)A(2)C(1
4、)指数函数yax，在a1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，应选A.(2)观察函数f(x)logx，g(x)与h(x)x在区间(0，)上的图象(如图)可知：函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，)上，递减较慢，且越来越慢，同样，函数g(x)的图象在区间(0，)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，)上，递减较慢，且越来越慢常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型,线性函数模型ykxb(k0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变.(2)指数函数模型,指数函数模型yax(
5、a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.(3)对数函数模型,对数函数模型ylogax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.(4)幂函数模型,幂函数yxn(n0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间.1四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：x151015202530y1226101226401626901y22321 02437 7681.051063.361071.07109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907关于x
6、呈指数函数变化的变量是_y2以爆炸式增长的变量呈指数函数变化从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化故填y2.指数函数、对数函数与幂函数模型的比较【例2】函数f(x)2x和g(x)x3的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 019)，g(2 019)的大小解(1)C1对应的函数为g(x)x3，C2对应的函数为f
7、(x)2x.(2)f(1)g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(9)，f(10)g(10)，1x12，9x210，x16x2，2 019x2.从图象上可以看出，当x1xx2时，f(x)g(x)，f(6)g(6)；当xx2时，f(x)g(x)，f(2 019)g(2 019)又g(2 019)g(6)，f(2 019)g(2 019)g(6)f(6)由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数.2函数f(x)lg x，g(x)0.3x1的图
8、象如图所示(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)解(1)C1对应的函数为g(x)0.3x1，C2对应的函数为f(x)lg x.(2)当xf(x)；当x1xg(x)；当xx2时，g(x)f(x)；当xx1或xx2时，f(x)g(x)需选择函数模型的实际问题探究问题1一次函数模型、指数函数模型、对数函数模型的增长速度各有什么特点？提示：一次函数模型的增长速度不变，是均匀的；指数函数模型的增长速度最快，呈爆炸式；对数函数模型的增长速度先快后慢2在选择函数模型时，若随着自变量的变大，函数值增加得
9、速度急剧变化，应选择哪个函数模型？若变化的速度很平缓，应选择哪个函数模型？提示：前者应选择指数函数模型，后者选择对数函数模型【例3】(1)某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用()A一次函数B二次函数C指数型函数D对数型函数(2)某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双由于产品质量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量厂里分析，产量的增加是由于工人生产
10、熟练和理顺了生产流程厂里也暂时不准备增加设备和工人假如你是厂长，就月份为x，产量为y给出三种函数模型：yaxb，yax2bxc，yabxc，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？思路点拨：结合函数模型的增长速度选择合适的模型求解(1)D结合“直线上升，对数增长，指数爆炸”可知，对数型函数符合题设条件，故选D.(2)解：由题意知，将产量随时间变化的离散量分别抽象为A(1,1)，B(2,1.2)，C(3,1.3)，D(4,1.37)这4个数据设模拟函数为yaxb时，将B，C两点的坐标代入函数式，得解得所以有关系式y0.1x1.由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下，产量会每月上升1 000
11、双，这是不太可能的设模拟函数为yax2bxc时，将A，B，C三点的坐标代入函数式，得解得所以有关系式y0.05x20.35x0.7.结论为：由此法计算4月份的产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且由二次函数性质可知，产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下，对称轴为x3.5)，不合实际设模拟函数为yabxc时，将A，B，C三点的坐标代入函数式，得由，得ab1c，代入，得则解得则a0.8.所以有关系式y0.80.5x1.4.结论为：当把x4代入得y0.80.541.41.35.比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性经过筛选，以指数函数模拟
12、为最佳，一是误差小，二是由于厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数型函数模型恰好反映了这种趋势因此选用指数型函数y0.80.5x1.4模拟比较接近客观实际不同函数模型的选取标准,不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律：(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律.,因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的
13、函数模型来解决实际问题.3某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.58千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减(1)下列几个模拟函数中：yax2bx；ykxb；ylogaxb；yaxb(x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L)用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由；(2)若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2 L，人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5 L，把(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人均A饮料的销
14、售量最多是多少？解(1)用来模拟比较合适因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减而，表示的函数在区间上是单调函数，所以，都不合适，故用来模拟比较合适(2)因为人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销量为2升；人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销量为5升，把x1，y2；x4，y5代入到yax2bx，得解得a，b，所以函数解析式为yx2x.(x0.5,8)yx2x，当x时，年人均A饮料的销售量最多是 L.1核心要点：对于直线ykxb(k0)、指数函数yax(a1)、对数函数ylogbx(b1)，当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，并
15、且直线上升，其增长量固定不变2数学思想：根据散点图判断或选择函数模型也是常用的方法，这体现了数形结合的思想1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yx2比y2x增长的速度更快些()(2)当a1，n0时，在区间(0，)上，对任意的x，总有logaxxnax成立()(3)函数ylogx衰减的速度越来越慢()答案(1)(2)(3)2下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是()Ay1ByxCy3xDylog3xC结合函数y1，yx，y3x及ylog3x的图象可知(图略)，随着x的增大，增长速度最快的是y3x.3某人投资x元，获利y元，有以下三种方案甲：y0.2x，乙：ylog2x100，丙：y1.005x，则投资500元，1 000元，1 500元时，应分别选择_方案乙、甲、丙将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较y值的大小即可求出4画出函数f(x)与函数g(x)x22的图象，并比较两者在0，)上的大小关系解函数f(x)与g(x)的图象如图所示根据图象易得：当0xg(x)；当x4时，f(x)g(x)；当x4时，f(x)g(x)- 9 - 版权所有高考资源网