1、第五讲椭圆知识梳理双基自测知识点一椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的_距离的和等于常数(大于|F1F2|)_的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的_焦点_，两焦点间的距离叫做椭圆的_焦距_注：若集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a、c为常数，则有如下结论：(1)若ac，则集合P为_椭圆_；(2)若ac，则集合P为_线段F1F2_；(3)若ac，则集合P为_空集_知识点二椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b
2、)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为_2a_；短轴B1B2的长为_2b_焦距|F1F2|_2c_离心率e_(0,1)a、b、c的关系_c2a2b2_1ac与ac分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值2过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦|AB|，称为通径3若过焦点F1的弦为AB，则ABF2的周长为4a4e5椭圆的焦点在x轴上标准方程中x2项的分母较大，椭圆的焦点在y轴上标准方程中y2项的分母较大6AB为椭圆1(ab0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则(1)弦长l|x1x2|y1y2|；(2)直线AB的斜率kAB7若M
3、、N为椭圆1长轴端点，P是椭圆上不与M、N重合的点，则KPMKPN题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆()(3)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆()(4)1(ab0)与1(ab0)的焦距相同()题组二走进教材2(必修2P42T4)椭圆1的焦距为4，则m等于(C)A4B8C4或8D12解析当焦点在x轴上时，10mm20，10m(m2)4，m4当焦点在y轴上时，m210m0，m2(10m)4，m8m4或83(必修2P68A组T3)过点A(3，2)
4、且与椭圆1有相同焦点的椭圆的方程为(A)A1B1C1D1题组三走向高考4(2018课标全国)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1PF2，且PF2F160，则C的离心率为(D)A1B2CD1解析设|PF2|x，则|PF1|x，|F1F2|2x，故2a|PF1|PF2|(1)x,2c|F1F2|2x，于是离心率e15(2019课标，10)已知椭圆C的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则C的方程为(B)Ay21B1C1D1解析设|F2B|x(x0)，则|AF2|2x，|AB|3x，|BF1|3x，|A
5、F1|4a(|AB|BF1|)4a6x，由椭圆的定义知|BF1|BF2|2a4x，所以|AF1|2x在BF1F2中，由余弦定理得|BF1|2|BF2|2|F1F2|22|F2B|F1F2|cosBF2F1，即9x2x2224xcosBF2F1，在AF1F2中，由余弦定理可得|AF1|2|AF2|2|F1F2|22|AF2|F1F2|cosAF2F1，即4x2 4x2228xcosBF2F1，由得x，所以2a4x2，a，所以b2a2c22所以椭圆的方程为1故选B考点突破互动探究考点一椭圆的定义及应用自主练透例1(1)(2021泉州模拟)已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果M是线
6、段F1P的中点，那么动点M的轨迹是(B)A圆B椭圆C双曲线的一支D抛物线(2)已知F是椭圆5x29y245的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点则|PA|PF|的最大值和最小值分别为_6，6_(3)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且F1PF260若PF1F2的面积为3，则b_3_解析(1)如图所示，由题知|PF1|PF2|2a，设椭圆方程：1(其中ab0)连接MO，由三角形的中位线可得：|F1M|MO|a(a|F1O|)，则M的轨迹为以F1、O为焦点的椭圆(2)如下图所示，设椭圆右焦点为F1，则|PF|PF1|6|PA|PF|PA|PF1|6由椭
7、圆方程1知c2，F1(2,0)，|AF1|利用|AF1|PA|PF1|AF1|(当P、A、F1共线时等号成立)|PA|PF|6，|PA|PF|6故|PA|PF|的最大值为6，最小值为6(3)|PF1|PF2|2a，又F1PF260，所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60|F1F2|2，即(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|4c2，所以3|PF1|PF2|4a24c24b2，所以|PF1|PF2|b2，又因为SPF1F2|PF1|PF2|sin 60b2b23，所以b3故填3引申本例(2)中，若将“A(1,1)”改为“A(2,2)”，则|PF|PA|的最大值为_4_
8、，|PF|PA|的最大值为_8_解析设椭圆的右焦点为F1，则|PF1|PA|AF1|2(P在线段AF1上时取等号)，|PF|PA|6(|PF1|PA|)4，|PA|PF1|AF1|2，(当P在AF1延长线上时取等号)，|PF|PA|6|PA|PF1|8名师点拨(1)椭圆定义的应用范围：确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆解决与焦点有关的距离问题(2)焦点三角形的应用：椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|PF2|；通过整体代入可求其面积等变式训练1(1)(2021大庆模拟)已知点M(，0)，椭圆y21与直线yk(x)
9、交于点A、B，则ABM的周长为_8_(2)(2019课标，15)设F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限若MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为_(3，)_(3)(2021河北衡水调研)设F1、F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|PF1|的最小值为_5_解析(1)直线yk(x)过定点N(，0)而M、N恰为椭圆y21的两个焦点，由椭圆定义知ABM的周长为4a428(2)因为F1，F2分别是椭圆C的左，右焦点，由M点在第一象限，MF1F2是等腰三角形，知|F1M|F1F2|，又由椭圆方程1，知|F1F2|8，|F1M|F2M|261
10、2，所以|F1M|F1F2|8，所以|F2M|4设M(x0，y0) (x00，y00)，则解得x03，y0，即M(3，)(3)由题意可知F2(3,0)，由椭圆定义可知|PF1|2a|PF2|PM|PF1|PM|(2a|PF2|)|PM|PF2|2a|MF2|2a，当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，又|MF2|5,2a10，|PM|PF2|5105，即|PM|PF1|的最小值为5考点二求椭圆的标准方程师生共研例2求满足下列各条件的椭圆的标准方程：(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为；(3)经过点P(2，1)，Q(，
11、2)两点；(4)与椭圆1有相同离心率，且经过点(2，)解析(1)若焦点在x轴上，设方程为1(ab0)椭圆过点A(3,0)，1，a32a32b，b1方程为y21若焦点在y轴上，设方程为1(ab0)椭圆过点A(3,0)，1，b3又2a32b，a9方程为1综上所述，椭圆方程为y21或1(2)由已知，有解得从而b2a2c29所求椭圆方程为1或1(3)设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0，mn)，点P(2，1)，Q(，2)在椭圆上，解得m，n故椭圆方程为1(4)若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为t(t0)，将点(2，)代入，得t2故所求方程为1若焦点在y轴上，设方程为(0)代入点(2，)，得，所求方程为
12、1综上可知椭圆方程为1或1名师点拨(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a|F1F2|这一条件(2)用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤：作判断：根据条件判断焦点的位置；设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为mx2ny21(m0，n0，m0)；找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组；求解，得方程(3)椭圆的标准方程的两个应用方程1(ab0)与(0)有相同的离心率与椭圆1(ab0)共焦点的椭圆系方程为1(ab0，kb20)，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便变式训练2(1)“2m6”是“方程1表示椭圆”的(B)A充分不必要条
13、件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(2)(2021广东深圳二模)已知椭圆C：1(a0)的右焦点为F，O为坐标原点，C上有且只有一个点P满足|OF|FP|，则C的方程为(D)A1B1C1D1解析(1)1表示椭圆2m6且m4，“2m6”是方程“1表示椭圆”的必要不充分条件，故选B(2)根据对称性知P在x轴上，|OF|FP|，故a2c，a23c2，解得a2，c1，故椭圆方程为：1故选D考点三椭圆的几何性质师生共研例3(1)(2017全国)椭圆C的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，点P在C上，F2P2，F1F2P，则C的长轴长为(D)A2B2C2D22(2)(2021河北省衡水中学
14、调研)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(B)ABCD(3)(2021广东省期末联考)设F1，F2分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点，若在直线x上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是(D)ABCD解析(1)椭圆C的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，则c1，|PF2|2，|PF1|2a|PF2|2a2，由余弦定理可得|PF1|2|F1F2|2|PF2|22|F1F2|PF2|cos ，即(2a2)244222，解得a1，a1(舍去)，2a22，故选D(2)不妨设直线l：1，即bxcybc0椭圆中心到l的距离e，
15、故选B(3)如图F2HPF1，|F1F2|PF2|，由题意可知c2c，e2，即e，又0e1，e1故选D名师点拨椭圆离心率的求解方法求椭圆的离心率，常见的有三种方法：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率椭圆离心率的范围问题一般借助几何量的取值范围求解，遇直线与椭圆位置关系通常由直线与椭圆方程联立所得方程判别式的符号求解求椭圆离心率的取值范围的方法方法解读适合题型几何法利用椭圆的几何性质，如|x|a，|y|b,0e1，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系
16、题设条件有明显的几何关系直接法根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式题设条件直接有不等关系变式训练3(1)(2017全国卷)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为(A)ABCD(2)(2021内蒙古呼和浩特市质检)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，点P是椭圆上的动点，若A1PA2的最大可以取到120，则椭圆C的离心率为(D)ABCD(3)已知F1，F2是椭圆1(ab0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使F1PF290，则椭圆的离心率的取值范围是_解析(1)由题意知以A
17、1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a又直线bxay2ab0与圆相切，圆心到直线的距离da，解得ab，e故选A(2)当P为短轴端点时A1PA2最大，由题意可知tan 60，e，故选D(3)由题意可知当P为椭圆短轴端点时OPF1OPF245，即cb，c2a2c2，即e，又0e1，e1考点四直线与椭圆多维探究角度1直线与椭圆的位置关系例4(多选题)若直线ykx1与椭圆1总有公共点，则m的值可能是(BCD)AB1CD4解析解法一：由于直线ykx1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则01且m5，故m1且m5故选B、C、D解法二：由消去y整理得(5k2m)x210kx5(1m)
18、0由题意知100k220(1m)(5k2m)0对一切kR恒成立，即5mk2m2m0对一切kR恒成立，由于m0且m5，m1且m5故选B、C、D角度2中点弦问题例5(1)(2021湖北省宜昌市调研)过点P(3,1)且倾斜角为的直线与椭圆1(ab0)相交于A，B两点，若，则该椭圆的离心率为(C)ABCD(2)已知椭圆y21，点P，则以P为中点的椭圆的弦所在直线的方程为_2x4y30_解析(1)由题意可知P为AB的中点，且kAB1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1，两式相减得，kAB1，即，e，故选C(2)设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为M(x0，y0)，则有y1
19、，y1两式作差，得(y2y1)(y2y1)0x1x22x0，y1y22y0，kAB，代入后求得kAB，其方程为y，即2x4y30角度3弦长问题例6已知椭圆E：1(ab0)经过点P，椭圆E的一个焦点为(，0)(1)求椭圆E的方程；(2)若直线l过点M(0，)且与椭圆E交于A，B两点，求|AB|的最大值解析(1)依题意，设椭圆E的左、右焦点分别为F1(，0)，F2(，0)由椭圆E经过点P，得|PF1|PF2|42a，a2，c，b2a2c21椭圆E的方程为y21(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykx，A(x1，y1)，B(x2，y2)由得(14k2)x28kx40由0得(8k)24(14
20、k2)40，4k21由x1x2，x1x2得|AB|2设t，则0t，|AB|22，当且仅当t时等号成立当直线l的斜率不存在时，|AB|2综上，|AB|的最大值为名师点拨直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略(1)直线与椭圆位置关系的判断方法联立方程，借助一元二次方程的判别式来判断；借助几何性质来判断(2)求椭圆方程或有关几何性质可依据条件寻找满足条件的关于a，b，c的等式，解方程即可求得椭圆方程或椭圆有关几何性质(3)关于弦长问题一般是利用根与系数的关系、弦长公式求解设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|(其中k为直线斜率)提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是
21、在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式(4)对于中点弦或弦的中点问题，一般利用点差法求解若直线l与圆锥曲线C有两个交点A，B，一般地，首先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x1x2，y1y2，x1x2，y1y2，从而建立中点坐标和斜率的关系注意答题时不要忽视对判别式的讨论变式训练4(1)(角度1)直线ykxk1与椭圆1的位置关系是_相交_(2)(角度2)(2021广东珠海期末)已知椭圆1(ab0)的右焦点为F，离心率，过点F的直线l交椭圆于A，B两点，若AB中点为(1,1)，则直线l的斜率为(D)A2B2CD(3)(角度3)斜率为1的直线l与椭圆y21相交
22、于A，B两点，则|AB|的最大值为(C)A2BCD解析(1)由于直线ykxk1k(x1)1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交(2)因为，4c22a2，4(a2b2)2a2，a22b2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x22，y1y22，相减得b2(x1x2)(x1x2)a2(y1y2)(y1y2)0，所以2b2(x1x2)2a2(y1y2)0，所以2b24b20，所以12k0，k，选D(3)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0，则x1x2t，x1x2|AB|x1x2|，当t0时，
23、|AB|max故选C名师讲坛素养提升利用换元法求解与椭圆相关的最值问题例7如图，焦点在x轴上的椭圆1的离心率e，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则的最大值为_4_解析e211，b23，椭圆方程为1，且F(1,0)，A(2,0)，设P(2sin ，cos )，则(12sin ，cos )(22sin ，cos )sin22sin 1(sin 1)24当且仅当sin 1时取等号，故的最大值为4另解：设P(x，y)，由上述解法知(1x，y)(2x，y)x2y2x2(x2)2(2x2)，显然当x2时，最大且最大值为4名师点拨遇椭圆1(ab0)上的点到定点或定直线距离相关的最值问题，一般用三角换元法求解，即令xasin ，ybcos ，将其化为三角最值问题变式训练5椭圆1上的点到直线x2y0的最大距离是(D)A3BC2D解析设椭圆1上的点P(4cos ，2sin )，则点P到直线x2y0的距离为d，dmax