1、函数064、和都是定义在集合上的函数,对于任意的，都有成立，称函数与在上互为“函数” （1）若函数，与互为“函数”,证明： （2）若集合，函数，判断函数与在上是否互为“ 函数”，并说明理由 （3）函数(，在集合上互为“函数”,求的取值范围及集合 【答案】（1）证明：函数与互为“函数“,则对于, 恒成立 即在上恒成立2分化简得2分所以当时，即1分（2）假设函数与互为“函数”，则对于任意的 恒成立 即，对于任意恒成立2分 当时， 不妨取，则，所以2分 所以假设不成立，在集合上，函数与不是互为“函数”1分 （3）由题意得，（且）2分 变形得，由于且 ，因为，所以，即2分 此时，集合2分5、“活水围网
2、”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数当不超过4（尾/立方米）时，的值为（千克/年）；当时，是的一次函数；当达到（尾/立方米）时，因缺氧等原因，的值为（千克/年）（1）当时，求函数的表达式；（2）当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大，并求出最大值【答案】（1）由题意：当时，； 2分当时，设，显然在是减函数，由已知得，解得 4分故函数= 6分（2）依题意并由（1）可得 8分当时，为增函数，故； 10分当时， 12分所以，当时，的最大值为
3、当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为千克/立方米14分6、世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形的空地上修建一个占地面积为的矩形健身场地，如图点M在上，点N在上，且P点在斜边上，已知且米， （1）试用表示，并求的取值范围；（2）设矩形健身场地每平方米的造价为，再把矩形以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为（为正常数），求总造价关于的函数；试问如何选取的长使总造价最低（不要求求出最低造价） 【答案】（1）在中，显然，2分矩形的面积，4分于是为所求 6分（2） 矩形健身场地造价 7分又的面积为，即草坪造价，8分由总造价， 10
4、分，11分当且仅当即时等号成立，12分此时，解得或，所以选取的长为12米或18米时总造价最低 14分7、某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施该设施的下部ABCD是正方形，其中AB=2米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆 （1）设MN与AB之间的距离为米，试将EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数； （2）求EMN的面积S（平方米）的最大值GEABNDMC（文21题）【答案】解：（1）如图1所示，当MN在正方形区域滑动，即0x2时， EMN的面积S=；2分如图2所示，当MN在三角形区域滑动，即2x时，如图，连接EG，交CD于点F，交MN于点H， E为AB中点，EABGNDMC图2HF F为CD中点，GFCD，且FG 又 MNCD， MNGDCG ，即5分故EMN的面积S； 7分综合可得： 8分说明：讨论的分段点x=2写在下半段也可（2）当MN在正方形区域滑动时，所以有；10分当MN在三角形区域滑动时，S= 因而，当（米），S在上递减，无最大值，所以当时，S有最大值，最大值为2平方米 14分ENGDMABC图1
