1、第二讲命题及其关系、充分条件与必要条件知识梳理双基自测 ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理知识点一命题及四种命题之间的关系1命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题2四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系若两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系知识点二充分条件与必要条件若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件pq且qpp是q的必要不充分条件pq且qpp是q的充要条件pqp是q的既
2、不充分又不必要条件pq且qp重要结论1若Ax|p(x)，Bx|q(x)，则(1)若AB，则p是q的充分条件；(2)若AB，则p是q的必要条件；(3)若AB，则p是q的充要条件；(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；(5)若AB，则p是q的必要不充分条件； (6)若AB且AB，则p是q的既不充分也不必要条件2充分条件与必要条件的两个特征：(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“pq”“qp”(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“pq且qr”“pr”(“pq且qr”“pr”)注意：不能将“若p，则q”与“pq”混为一
3、谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“pq”，即“pq”“若p，则q”为真命题双基自测题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)语句x23x20是命题()(2)命题“三角形的内角和是180”的否命题是“三角形的内角和不是180”()(3)已知集合A，B，则ABAB的充要条件是AB()(4)“”是“tan tan ”的充分不必要条件()(5)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”()解析(4)当时，tan 、tan 都无意义因此不能推出tan tan ，当tan tan 时，k，kZ，不一定，因此是既不充分也不必要条件题组二走进教材2(选修21P8T3
4、改编)下列命题是真命题的是(A)A矩形的对角线相等B若ab，cd，则acbdC若整数a是素数，则a是奇数D命题“若x20，则x1”的逆否命题3(选修21P10T4改编)x23x20是x1的充分不必要条件解析x1是x23x20的充分不必要条件题组三走向高考4(2020天津，2，5分)设aR，则“a1”是“a2a”的(A)A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析易知a1a2a，而a2aa1，所以“a1”是“a2a”的充分不必要条件5(2015山东，5分)设mR，命题“若m0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题是(D)A若方程x2xm0有实根，则m0B若方程x2xm0
5、有实根，则m0C若方程x2xm0没有实根，则m0D若方程x2xm0没有实根，则m0解析由原命题和逆否命题的关系可知D正确6(2018北京，5分)能说明“若f(x)f(0)对任意的x(0，2都成立，则f(x)在0，2上是增函数”为假命题的一个函数是f(x)sin_x(答案不唯一)解析这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足f(x)f(0)对任意的x(0，2都成立，且函数f(x)在0，2上不是增函数即可如f(x)sin x，答案不唯一考点突破互动探究 KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点一 命题及其关系自主练透例1(1)(2021新高考八省联考)关于x的方程x2axb0
6、，有下列四个命题：甲：x1是该方程的根；乙：x3是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号如果只有一个假命题，则该命题是(A)A甲 B乙 C丙 D丁(2)(2021长春模拟)已知命题：如果x3，那么x5，命题：如果x3，那么x5，则命题是命题的(A)A否命题 B逆命题C逆否命题 D否定形式(3)(多选题)下列命题为真命题的是(CD)A“若a2b2，则a1，则ax22axa30的解集为R”的逆否命题D“若x(x0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题(4)命题“若ab0，则a，b中最多有一个大于零”的否定形式为若ab0，则a，b都大于零，否命题为若ab0，则a，b都大于零解析(1)若
7、乙、丙、丁正确，显然x11，x23，两根异号，x1x22，故甲错，因此选A(2)命题：如果x3，那么x1时，12a0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故C正确；对于D，原命题正确，因此该命题的逆否命题也正确，D正确故选C、D(4)否定形式：若ab0，则a，b都大于零否命题：若ab0，则a，b都大于零名师点拨MING SHI DIAN BO(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p，则q”的形式，应先改写成“若p，则q”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变(2)判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反
8、例(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假考点二 充分必要条件考向1充分条件与必要条件的判断师生共研方法1：定义法判断例2( 2020北京，9，4分)已知，R，则“存在kZ使得k(1)k”是“sin sin ”的(C)A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析(1)充分性：已知存在kZ使得k(1)k，()若k为奇数，则k2n1，nZ，此时(2n1)，nZ，sin sin(2n)sin()sin ；()若k为偶数，则k2n，nZ，此时2n，nZ，sin sin(2n)s
9、in .由()()知，充分性成立(2)必要性：若sin sin 成立，则角与的终边重合或角与的终边关于y轴对称，即2m或2m，mZ，即存在kZ使得k(1)k，必要性也成立，故选C方法2：集合法判断例3(2020天津一中高三月考)设xR，则“|x1|0”的(B)A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析解绝对值不等式可得4x14，即3x5，将分式不等式变形可得0，解得2x5，因为(2，5) (3，5)，所以“|x1|0”的必要而不充分条件方法3等价转化法判断例4(1)给定两个条件p，q，若 p是q的必要不充分条件，则p是q的(A)A充分不必要条件 B必要不充
10、分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件(2)“已知命题p：cos，命题q：”，则命题p是命题q的(A)A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析(1)因为 p是q的必要不充分条件，则q p，但pq，其逆否命题为pq，但qp，所以p是q的充分不必要条件(2) p：cos ，q：，显然qp，pq，q是p的充分不必要条件，从而p是q的充分不必要条件，故选A另解：若cos ，则2k(kZ)，则也必然不等于，故pq；若，但时，依然有cos ，故qp.所以p是q的充分不必要条件故选A名师点拨MING SHI DIAN BO有关充要条件的判断常用的方法(1)根据定义判断：弄清
11、条件p和结论q分别是什么；尝试pq，qp.若pq，则p是q的充分条件；若qp，则p是q的必要条件；若pq，qp，则p是q的充分不必要条件；若pq，qp，则p是q的必要不充分条件；若pq，qp，则p是q的充要条件(2)利用集合判断记法Ax|p(x)，Bx|q(x)关系ABBAABAB且BA结论p是q的充分不必要条件p是q的必要不充分条件p是q的充要条件p是q的既不充分也不必要条件(3)利用等价转化法：对于带有否定性词语的命题，常用此法，即要判断p是q的什么条件，只需判断q是p的什么条件变式训练1(1)指出下列各组中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也
12、不必要条件”中选出一种作答)非空集合A，B中，p：x(AB)，q：xB；已知x，yR，p：(x1)2(y2)20，q：(x1)(y2)0；在ABC中，p：AB，q：sin Asin B；对于实数x，y，p：xy8，q：x2或y6.(2)(2020天津部分区期末)设xR，则“x22x0”是“|x1|2”的(A)A充分不必要条件 B充要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解析(1)显然x(AB)不一定有xB，但xB一定有x(AB)，所以p是q的必要不充分条件条件p：x1且y2，条件q：x1或y2，所以pq但qp，故p是q的充分不必要条件在ABC中，ABsin Asin B；反之，若sin
13、Asin B，因为A与B不可能互补(三角形三个内角之和为180)，所以只有AB，故p是q的充要条件易知p：xy8，q：x2且y6，显然qp，但pq，所以q是p的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p是q的充分不必要条件(2)解不等式x22x0得0x2，解不等式|x1|2得1x3，所以“x22x0”是“|x1|B”的充要条件是(ABD)Asin Asin B Bcos Atan B Dcos2Acos2B(2)(角度2)(2021山东省实验中学高三诊断)已知p：xk，q：(x1)(2x)B时，根据“大边对大角”可知，ab，由于，所以sin Asin B，则A是“AB”的充要条件；由于
14、0BA，余弦函数ycos x在区间(0，)内单调递减，所以cos AB”的充要条件；当AB时，若A为钝角，B为锐角，则tan A0B”的充要条件；当cos2Acos2B，即1sin2Asin2B，所以D是“AB”的充要条件；故选A、B、D(2)由q：(x1)(2x)0，可知q：x2.因为p是q的充分不必要条件，所以xkx2，即k，)是(，1)(2，)的真子集，故k2.故选B名师讲坛素养提升 MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG抽象命题间充要条件的判定例7已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：r是q的充要条件；p是q的充分不必要条件；r是q的必要不充分条件；p是s的必要不充分条件；r是s的充分不必要条件，则正确命题的序号是(B)A B C D分析本题涉及命题较多，关系复杂，因此采用“图解法”解析由题意得p，显然qr且rsq，即qr，正确；prsq且qp，正确；rq，错误；由ps知 s p，但sp， p s，正确；rs，错误故选B名师点拨MING SHI DIAN BO命题较多、关系复杂时，画出各命题间关系图求解，简洁直观，一目了然变式训练3若p是r的必要不充分条件，q是r的充分条件，则p是q的必要不充分条件解析由题意可知qrp，p是q的必要不充分条件
