1、第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算1向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的 单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则(1)交换律：abba；(2)结合律：(ab)ca(bc)
2、平行四边形法则减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0( a)()a；()aa a；(ab)ab3共线向量定理向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使得ba小题体验1下列四个命题中，正确的命题是()A若ab，则abB若|a|b|，则abC若|a|b|，则ab D若ab，则|a|b|答案：D2(教材习题改编)化简：(1)( )_(2) _答案：(1)(2)03已知a与b是两个不共线的向量，且向量ab与(b3a)共线，则_答案：1在
3、利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误2在向量共线的重要条件中易忽视“a0”，否则可能不存在，也可能有无数个3要注意向量共线与三点共线的区别与联系小题纠偏1若菱形ABCD的边长为2，则|_解析：|2答案：22已知a，b是非零向量，命题p：ab，命题q：|ab|a|b|，则p是q的_条件解析：若ab，则|ab|2a|2|a|，|a|b|a|a|2|a|，即pq若|ab|a|b|，由加法的运算知a与b同向共线，即ab，且0，故q/ pp是q的充分不必要条件答案：充分不必要 题组练透1设a0为单位向量，下列命题中：若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平
4、行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0假命题的个数是()A0B1C2 D3解析：选D向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是32(易错题)给出下列命题：若ab，bc，则ac；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；ab的充要条件是|a|b|且ab；若ab，bc，则ac其中正确命题的序号是_解析：正确ab，a，b的长度相等且方向相同，又bc，b，c的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且
5、方向相同，故ac正确，|且，又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则且|，因此，不正确当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，故|a|b|且ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条件不正确考虑b0这种特殊情况综上所述，正确命题的序号是答案：谨记通法向量有关概念的5个关键点(1)向量：方向、长度(2)非零共线向量：方向相同或相反(3)单位向量：长度是一个单位长度(4)零向量：方向没有限制，长度是0(5)相等相量：方向相同且长度相等如“题组练透”第2题易混淆有关概念题组练透1(2017武汉调研)设M为平行四边形ABCD对角线的交
6、点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则等于()A B2C3 D4解析：选D因为M是平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，所以2，2，所以42(2017唐山统考)在等腰梯形ABCD中，2，M为BC的中点，则()A BC D解析：选B因为2，所以2又M是BC的中点，所以()()3设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC若12 (1，2为实数)，则12的值为_解析：()，所以1，2，即12答案：谨记通法1平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中
7、位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解2利用平面向量的线性运算求参数的一般思路(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式(3)比较、观察可知所求典例引领设两个非零向量a与b不共线，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb同向解：(1)证明：ab，2a8b，3a3b，2a8b3a3b5(ab)5，共线，又它们有公共点B，A，B，D三点共线(2)kab与akb同向，存在实数(0)，使kab(akb)，即kabakb(k)a(k1)ba，b是不共线的两个非零向量，解
8、得或又0，k1由题悟法共线向量定理的3个应用(1)证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数，使ab，则a与b共线(2)证明三点共线：若存在实数，使，则A，B，C三点共线(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值提醒证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点即时应用如图，在ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，a，b(1)用a，b表示向量，；(2)求证：B，E，F三点共线解：(1)延长AD到G，使，连接BG，CG，得到ABGC，所以ab，(ab)，(ab)，b，(ab)a(b2a)，ba(b2a)(2)证明：由(1)可知，又因为，有公共点B，所以B，E，F三点共线
9、一抓基础，多练小题做到眼疾手快1在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若，则()A1B2C4 D6解析：选B根据向量加法的运算法则可知，2，故22在ABC中，2，a，b，c，则下列等式成立的是()Ac2ba Bc2abCcab Dcba解析：选D依题意得2()，即ba3在四边形ABCD中，a2b，4ab，5a3b，则四边形ABCD的形状是()A矩形 B平行四边形C梯形 D以上都不对解析：选C由已知，得8a2b2(4ab)2，故又因为与不平行，所以四边形ABCD是梯形4(2017扬州模拟)在ABC中，N是AC边上一点且，P是BN上一点，若m，则实数m的值是_解析：如图，因为，P是BN
10、上一点所以，mm，因为B，P，N三点共线，所以m1，则m答案：5已知ABCD的对角线AC和BD相交于O，且a，b，则_，_(用a，b表示)解析：如图，ba，ab答案：baab二保高考，全练题型做到高考达标1如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且a，b, 则等于()Aba BabCab Dba解析：选Cababa，故选C2已知向量a，b不共线，且cab，da(21)b，若c与d共线反向，则实数的值为()A1 BC1或 D1或解析：选B由于c与d共线反向，则存在实数k使ckd(k0)，于是abk整理得abka(2kk)b由于a，b不共线，所以有整理得2210，解得1或又因为k0，所以0
11、，故3下列四个结论：0；0；0；0，其中一定正确的结论个数是()A1 B2C3 D4解析：选C0，正确；，错；0，正确；0，正确故正确4设D，E，F分别是ABC的三边BC，CA，AB上的点，且2，2，2，则与 ()A反向平行 B同向平行C互相垂直 D既不平行也不垂直解析：选A由题意得，因此()，故与反向平行5设O在ABC的内部，D为AB的中点，且20，则ABC的面积与AOC的面积的比值为()A3 B4C5 D6解析：选BD为AB的中点，则()，又20，O为CD的中点，又D为AB中点，SAOCSADCSABC，则46在ABCD中，a，b，3，M为BC的中点，则_(用a，b表示)解析：由3，得(a
12、b)，ab，所以(ab)ab答案：ab7设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，216，|，则|_解析：由|可知，则AM为RtABC斜边BC上的中线，因此，|2答案：28已知D，E，F分别为ABC的边BC，CA，AB的中点，且a，b，给出下列命题：ab；ab；ab；0其中正确命题的个数为_解析：a，b，ab，故错；ab，故正确；()(ab)ab，故正确；baabba0，故正确正确命题为答案：39在ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB2GE，设a，b，试用a，b表示，解：()ab()()ab10设e1，e2是两个不共线的向量，已知2e18e2，e13e2，2e1e
13、2(1)求证：A，B，D三点共线；(2)若3e1ke2，且B，D，F三点共线，求k的值解：(1)证明：由已知得(2e1e2)(e13e2)e14e2，2e18e2，2又与有公共点B，A，B，D三点共线(2)由(1)可知e14e2，3e1ke2，且B，D，F三点共线， (R)，即3e1ke2e14e2，得解得k12三上台阶，自主选做志在冲刺名校1在直角梯形ABCD中，A90，B30，AB2，BC2，点E在线段CD上，若，则的取值范围是_解析：由题意可求得AD1，CD，所以2点E在线段CD上， (01)，又2，1，即01，0即的取值范围是答案：2已知O，A，B是不共线的三点，且mn (m，nR)(
14、1)若mn1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：mn1证明：(1)若mn1，则m(1m)m()，m()，即m，与共线又与有公共点B，A，P，B三点共线(2)若A，P，B三点共线，则存在实数，使，()又mn故有m(n1)，即(m)(n1)0O，A，B不共线，不共线，mn1第二节平面向量的基本定理及坐标表示1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a(x1
15、，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|(2)向量坐标的求法：若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|3平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，则abx1y2x2y10小题体验1已知a(4,2)，b(6，m)，若ab，则m的值为_答案：32(教材习题改编)已知a(2,1)，b(3,4)，则3a4b_答案：(6,19)3设e1，e2是平面内一组基向量，且ae12e2，be1e2，则向量e1e2可以表示为另一组基向量a，b的线
16、性组合，即e1e2_a_b解析：由题意，设e1e2m an b因为ae12e2，be1e2，所以e1e2m(e12e2)n(e1e2)(mn)e1(2mn)e2由平面向量基本定理，得所以答案：1向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的2若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2x2y10小题纠偏1设e1，e2是平面内一组基底，若1e12e20，则12_答案：02(2015江苏高考)已知向量a(2,1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，
17、则mn的值为_解析：manb(2mn，m2n)(9，8)，mn253答案：3题组练透1如图，在三角形ABC中，BE是边AC的中线，O是BE边的中点，若a，b，则()AabBabCab Dab解析：选D在三角形ABC中，BE是AC边上的中线，O是BE边的中点，()ab2(易错题)如图，以向量a，b为邻边作OADB，用a，b表示，解：ab，ab，abab，ab，ababab综上，ab，ab，ab谨记通法用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便另外，要熟练运用平
18、面几何的一些性质定理，如“题组练透”第2题题组练透1向量a，b满足ab(1,5)，ab(5，3)，则b为()A(3,4)B(3,4)C(3，4) D(3，4)解析：选A由ab(1,5)，ab(5，3)，得2b(1,5)(5，3)(6,8)，b(6,8)(3,4)，故选A2已知点M(5，6)和向量a(1，2)，若3a，则点N的坐标为()A(2,0)B(3,6)C(6,2) D(2,0)解析：选A3a3(1，2)(3,6)，设N(x，y)，则(x5，y6)(3,6)，所以即3已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b，(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，
19、n；(3)求M，N的坐标及向量的坐标解：由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得(3)设O为坐标原点，3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)M(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)，(9，18)谨记通法平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解典例引领
20、已知a(1,0)，b(2,1)(1)当k为何值时，kab与a2b共线；(2)若2a3b，amb，且A，B，C三点共线，求m的值解：(1)a(1,0)，b(2,1)，kabk(1,0)(2,1)(k2，1)，a2b(1,0)2(2,1)(5,2)，kab与a2b共线，2(k2)(1)50，k(2)2(1,0)3(2,1)(8,3)，(1,0)m(2,1)(2m1，m)A，B，C三点共线，8m3(2m1)0，m由题悟法向量共线的充要条件(1)abab(b0)；(2)abx1y2x2y10(其中a(x1，y1)，b(x2，y2)当涉及向量或点的坐标问题时一般利用(2)比较方便即时应用1已知向量(k,
21、12)，(4,5)，(k,10)，且A，B，C三点共线，则k的值是()ABCD解析：选A(4k，7)，(2k，2)A，B，C三点共线，共线，2(4k)7(2k)，解得k2(2017贵阳监测)已知向量m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，则_解析：因为mn(23,3)，mn(1，1)，又(mn)(mn)，所以(23)(1)3(1)，解得0答案：0一抓基础，多练小题做到眼疾手快1在平行四边形ABCD中，AC为对角线，若(2,4)，(1,3)，则()A(2，4)B(3，5)C(3,5) D(2,4)解析：选B由题意得()2(1,3)2(2,4)(3，5)2已知A(1，1)，B(m，m2)，
22、C(2,5)三点共线，则m的值为()A1 B2C3 D4解析：选A(m，m2)(1，1)(m1，m3)，(2,5)(1，1)(3,6)，A，B，C三点共线，3(m3)6(m1)0，m1故选A3如图，在OAB中，P为线段AB上的一点，xy，且2，则()Ax，y Bx，yCx，y Dx，y解析：选A由题意知，又2，所以()，所以x，y4已知向量a(1sin ，1)，b，若ab，则锐角_解析：因为ab，所以(1sin )(1sin )10，得cos2，所以cos ，又为锐角，答案：5在ABC中，点P在BC上，且2，点Q是AC的中点，若 (4,3)，(1,5)，则_解析：(3,2)，2(6,4)(2,
23、7)，3(6,21)答案：(6,21)二保高考，全练题型做到高考达标1已知向量a(5,2)，b(4，3)，c(x，y)，若3a2bc0，则c()A(23，12) B(23,12)C(7,0) D(7,0)解析：选A由题意可得3a2bc(23x,12y)(0,0)，所以解得所以c(23，12)2已知向量a，b不共线，ckab(kR)，dab，如果cd，那么()Ak1且c与d同向 Bk1且c与d反向Ck1且c与d同向 Dk1且c与d反向解析：选D由题意可得c与d共线，则存在实数，使得cd，即解得k1cab(ab)d，故c与d反向3在平面直角坐标系中，已知向量a(1,2)，ab(3,1)，c(x,3
24、)，若(2ab)c，则x()A2 B4C3 D1解析：选Dab(3,1)，a(3,1)b，则b(4,2)2ab(2,6)又(2ab)c，66x，x1故选D4已知点A(2,3)，B(4,5)，C(7,10)，若 (R)，且点P在直线x2y0上，则的值为()A BC D解析：选B设P(x，y)，则由，得(x2，y3)(2,2)(5,7)(25，27)，x54，y75又点P在直线x2y0上，故542(75)0，解得故选B5在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F若a，b，则()Aab BabCab Dab解析：选C如图，a，b，abE是OD的中点，|
25、DF|AB|()ab，ababab，故选C6已知向量a(1,3)，b(2,1)，c(3,2)若向量c与向量kab共线，则实数k_解析：kabk(1,3)(2,1)(k2,3k1)，因为向量c与向量kab共线，所以2(k2)3(3k1)0，解得k1答案：17已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是_解析：若点A，B，C能构成三角形，则向量，不共线(2，1)(1，3)(1,2)，(k1，k2)(1，3)(k，k1)，1(k1)2k0，解得k1答案：k18向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若cab(，R)，则_解析：以向量a和b的
26、交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，1)，B(6,2)，C(5，1)，a(1,1)，b(6,2)，c(1，3)cab，(1，3)(1,1)(6,2)，即61，23，解得2，4答案：49平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求满足ambnc的实数m，n；(2)若(akc)(2ba)，求实数k解：(1)由题意得(3,2)m(1,2)n(4,1)，所以解得(2)akc(34k,2k)，2ba(5,2)，由题意得2(34k)(5)(2k)0，解得k10如图，在梯形ABCD中，ADBC，且ADBC，E，F分别为线段AD与BC的中点设a，b
27、，试用a，b为基底表示向量，解：babba，bba，bab三上台阶，自主选做志在冲刺名校1如图，G是OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线设x，y，则_解析：点P，G，Q在一条直线上，()(1)(1)xy，又G是OAB的重心，()而，不共线，由，得解得3答案：32已知三点A(a,0)，B(0，b)，C(2,2)，其中a0，b0(1)若O是坐标原点，且四边形OACB是平行四边形，试求a，b的值；(2)若A，B，C三点共线，试求ab的最小值解：(1)因为四边形OACB是平行四边形，所以，即(a,0)(2,2b)，解得故a2，b2(2)因为(a，b)，(2,2b)，由A
28、，B，C三点共线，得，所以a(2b)2b0，即2(ab)ab，因为a0，b0，所以2(ab)ab2，即(ab)28(ab)0，解得ab8或ab0因为a0，b0，所以ab8，即ab的最小值是8当且仅当ab4时，“”成立第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例1向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB就是a与b的夹角设是a与b的夹角，则的取值范围是01800或180ab，90ab2平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积，记作ab投影|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos 叫做向量b在a方向上的投
29、影几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积3向量数量积的运算律(1)abba(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab)cacbc4平面向量数量积的有关结论已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为结论几何表示坐标表示模|a|a|夹角cos cos ab的充要条件ab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2|小题体验1已知|a|2，|b|6，ab6，则a与b的夹角为()ABCD答案：D2已知|a|5，|b|4，a与b的夹角为120，则ab_答案：103(2016山东高考)已知向量a(1，1)，b(6
30、，4)若a(tab)，则实数t的值为_解析：a(1，1)，b(6，4)，tab(t6，t4)又a(tab)，则a(tab)0，即t6t40，解得t5答案：51数量积运算律要准确理解、应用，例如，abac(a0)不能得出bc，两边不能约去一个向量2两个向量的夹角为锐角，则有ab0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有ab0，则a和b的夹角为锐角，若ab0，则a和b的夹角为钝角；(ab)ca(bc)；若ab0，则a0或b0其中正确的说法有_个答案：02(2016北京高考)已知向量a(1，)，b(，1)，则a与b夹角的大小为_解析：由题意得|a|2，|b|2，ab112设a与b的夹角为，则cos 0
31、，答案：题组练透1(易错题)设a(1，2)，b(3,4)，c(3,2)，则(a2b)c()A(15,12)B0C3 D11解析：选Ca2b(1，2)2(3,4)(5,6)，(a2b)c(5,6)(3,2)32已知(2,1)，点C(1,0)，D(4,5)，则向量在方向上的投影为()A B3C D3解析：选C因为点C(1,0)，D(4,5)，所以(5,5)，又(2,1)，所以向量在方向上的投影为|cos，3已知向量a与b的夹角为60，且a(2，6)，|b|，则ab_解析：因为a(2，6)，所以|a|2，又|b|，向量a与b的夹角为60，所以ab|a|b|cos 60210答案：104如图，在等腰直
32、角三角形ABC中，C90，AC2，D为BC的中点，则_解析：法一：由题意知，ACBC2，AB2，()|cos 45|cos 4522216法二：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得A(0,2)，B(2,0)，D(1,0)，(2,0)(0,2)(2，2)，(1,0)(0,2)(1，2)，2(1)(2)(2)6答案：6谨记通法向量数量积的2种运算方法方法运用提示适用题型定义法当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cos 适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题坐标法当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2适用于已知
33、相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题，如“题组练透”第1题易错锁定考向平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题常见的命题角度有：(1)平面向量的模；(2)平面向量的夹角；(3)平面向量的垂直 题点全练角度一：平面向量的模1已知e1，e2是单位向量，且e1e2若向量b满足be1be21，则|b|_解析：e1e2，|e1|e2|cose1，e2，e1，e260又be1be210，b，e1b，e230由be11，得|b|e1|cos 301，|b|答案：角度二：平面向量的夹角2(2017山西四校联考)已知|a|1，|b|，且a(ab)，则向量a与向量b
34、的夹角为()ABC D解析：选Ba(ab)，a(ab)a2ab1cosa，b0，cosa，b，a，b3(2017江西八校联考)在ABC中，(，)，(1，)，则ABC的面积为_解析：由题意得，(| |)2(|cos，)2(|sin，)2，即(|)2()2(|sin，)2，|sin，2，SABC|sin，1答案：1角度三：平面向量的垂直4(2016山东高考)已知非零向量m，n满足4|m|3|n|，cosm，n，若n(t mn)，则实数t的值为()A4 B4C D解析：选Bn(t mn)，n(t mn)0，即t mn|n|20，t|m|n|cosm，n|n|20又4|m|3|n|，t|n|2|n|2
35、0，解得t4故选B通法在握平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cos ，要注意0，(2)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：a2aa|a|2或|a|ab|若a(x，y)，则|a|(3)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：abab0|ab|ab|演练冲关1(2017合肥质检)已知不共线的两个向量a，b满足|ab|2且a(a2b)，则|b|()A B2C2 D4解析：选B由a(a2b)得，a(a2b)|a|22ab0，则|ab|b|2，故选B2已知单位向量e1与e2的夹角为，且cos ，向量a3e12e2与b3e1e2的夹角为，则cos _解析：ab(3e12e
36、2)(3e1e2)929118|a|2(3e12e2)29412119，|a|3|b|2(3e1e2)2916118，|b|2，cos 答案：3已知向量与的夹角为120，且|3，|2若 ，且，则实数的值为_解析：，由于，所以0，即()()22(1)94(1)320，解得答案：典例引领已知函数f(x)ab，其中a(2cos x，sin 2x)，b(cos x,1)，xR(1)求函数yf(x)的单调递减区间；(2)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)1，a，且向量m(3，sin B)与n(2，sin C)共线，求边长b和c的值解：(1)f(x)ab2cos2xsin 2x1c
37、os 2xsin 2x12cos，令2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，所以f(x)的单调递减区间为(kZ)(2)f(A)12cos1，cos1又0，所以cos B，又B(0，)，所以B(2)因为|，所以|，即b，根据余弦定理及基本不等式得6a2c2ac2acac(2)ac(当且仅当ac时取等号)，即ac3(2)，故ABC的面积Sacsin B，即ABC的面积的最大值为第四节数系的扩充与复数的引入1复数的有关概念(1)复数的概念：形如abi(a，bR)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部若b0，则abi为实数；若b0，则abi为虚数；若a0且b0，则abi为纯虚数(2)复数相等：a
38、bicdiac且bd(a，b，c，dR)(3)共轭复数：abi与cdi共轭ac，bd(a，b，c，dR)(4)复数的模：向量的模r叫做复数zabi(a，bR)的模，记作|z|或|abi|，即|z|abi|2复数的几何意义(1)复数zabi复平面内的点Z(a，b)(a，bR)(2)复数zabi(a，bR) 平面向量 3复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：i(cdi0)
39、(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)小题体验1若复数z满足i，则z_解析：由题意得，z43i答案：43i2(2016江苏高考)复数z(12i)(3i)，其中i为虚数单位，则z的实部是_解析：因为z(12i)(3i)3i6i2i255i，所以z的实部是5答案：53(教材习题改编)四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是13i，i,2i，则点D对应的复数为_答案：35i1判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义2两个虚数不能比较大小3注意不能把实
40、数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来例如，若z1，z2C，zz0，就不能推出z1z20；z20在复数范围内有可能成立小题纠偏1设复数z12i，z2a2i(i是虚数单位，aR)，若z1z2R，则a_解析：依题意，复数z1z2(2i)(a2i)(2a2)(4a)i是实数，因此4a0，a4答案：42设i是虚数单位，若复数(2ai)i的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为_解析：因为(2ai)ia2i，又其实部与虚部互为相反数，所以a20，即a2答案：2题组练透1(2017皖南八校联考)i是虚数单位，若abi(a，bR)，则lg(ab)的值是()A2B1C0 D解析：选Ciabi，lg(ab
41、)lg 102(2016河南六市一联)已知i为虚数单位，aR，若为纯虚数，则复数z2ai的模等于()A BC D解析：选C由题意得，ti(t0)，2ittai，解得z2ai1i，|z|，故选C3(易错题)设复数z1i(i为虚数单位)，z的共轭复数为，则|(1z)|()AB2C D1解析：选A依题意得(1z)(2i)(1i)3i，则|(1z)|3i|4已知复数z1满足(z12)(1i)1i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，则z2_解析：(z12)(1i)1iz12i设z2a2i，aR，则z1z2(2i)(a2i)(2a2)(4a)iz1z2R，a4z242i答案：42i谨记
42、通法求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即abi(a，bR)的形式，再根据题意求解，如“题组练透”第3题题组练透1(2016河南八市重点高中质检)复数z3i在复平面内对应的点所在的象限为()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选Az3i3i3i2i3i22i，故z在复平面内对应的点在第一象限2(2017河北“五校联盟”质检)在复平面内与复数z所对应的点关于实轴对称的点为A，则A对应的复数为()A1i B1iC1i D1i解析：选B因为zi(1i)1i，所以
43、A点坐标为(1，1)，其对应的复数为1i3已知复数z112i，z21i，z334i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若 (，R)，则的值是_解析：由条件得(3，4)，(1,2)，(1，1)，根据得(3，4)(1,2)(1，1)(，2)，解得1答案：1谨记通法对复数几何意义的理解及应用(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即zabi(a，bR)Z(a，b) (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观题组练透1(2016北京高考)复数()AiB1iCi D1i解析：选A法一：i法二：i2(
44、2017重庆第一次适应性测试)已知(1i)z2i，则z的共轭复数()Ai BiCi Di解析：选B依题意得zi，因此i，选B3已知复数z，是z的共轭复数，则z_解析：zi，故i，z答案：4已知i是虚数单位，2 0166_解析：原式1 00861 008i6i1 008i6i4252i421i20答案：0谨记通法复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式提醒在进行复数的代数运算时，记住以下结论
45、，可提高计算速度(1)(1i)22i；i；i；(2)baii(abi)；(3)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，i4ni4n1i4n2i4n30，nN*一抓基础，多练小题做到眼疾手快1i是虚数单位，复数()A2iB2iC12i D12i解析：选B2i2(2017郑州检测)设z1i(i是虚数单位)，则()Ai B2iC1i D0解析：选D因为1i1i1i1i0，故选D3(2016全国丙卷)若z43i，则()A1 B1Ci Di解析：选Dz43i，43i，|z|5，i4复数|1i|2_解析：原式ii答案：i5(2015重庆高考)设复数abi(a，bR)的模为，则(abi)(abi)_解
46、析：|abi|，(abi)(abi)a2b23答案：3二保高考，全练题型做到高考达标1若i是虚数单位，复数z满足(1i)z1，则|2z3|()A BC D解析：选B由(1i)z1得z，则|2z3|2i|2已知实数a，b满足(ai)(1i)3bi，则复数abi的模为()A B2C D5解析：选C依题意，(a1)(1a)i3bi，因此解得a2，b1，所以abi2i，|abi|2i|，选C3(2016福州二检)定义运算adbc，则符合条件0的复数z的共轭复数在复平面内对应的点在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选B由题意得，2zii(1i)0，则zi，i，其在复平面内对应的点在第
47、二象限，故选B4已知复数z1，则1zz2z2 017()A1i B1iCi D0解析：选Az11i，1zz2z2 0171i5设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()A若|z1z2|0，则12B若z12，则1z2C若|z1|z2|，则z11z22D若|z1|z2|，则zz解析：选D对于A，|z1z2|0z1z212，是真命题；对于B，C易判断是真命题；对于D，若z12，z21i，则|z1|z2|，但z4，z22i，是假命题6若复数z12i，其中i是虚数单位，则_解析：z12i，12iz1516答案：67已知复数z满足i(其中i是虚数单位)，则|z|_解析：由i知，z2zi2i，即z，所以
48、|z|2答案：28已知aR，若为实数，则a_解析：i，为实数，0，a答案：9已知复数zxyi，且|z2|，则的最大值为_解析：|z2|，(x2)2y23由图可知max答案：10计算：(1)；(2)；(3)；(4)解：(1)13i(2)i(3)1(4)i三上台阶，自主选做志在冲刺名校1已知tR，i为虚数单位，复数z134i，z2ti，且z1z2是实数，则t等于()ABCD解析：选D因为z134i，z2ti，所以z1z2(3t4)(4t3)i，又z1z2是实数，所以4t30，所以t，故选D2已知复数z1cos 15sin 15i和复数z2cos 45sin 45i，则z1z2_解析：z1z2(co
49、s 15sin 15i)(cos 45sin 45i)(cos 15cos 45sin 15sin 45)(sin 15cos 45cos 15sin 45)icos 60sin 60ii答案：i3复数z1(10a2)i，z2(2a5)i，若1z2是实数，求实数a的值解：1z2(a210)i(2a5)i(a210)(2a5)i(a22a15)i1z2是实数，a22a150，解得a5或a3a50，a5，故a3命题点一平面向量基本定理命题指数：难度：低题型：选择题、填空题1(2015全国卷)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，则向量()A(7，4)B(7,4)C(1,4) D(1,4
50、)解析：选A法一：设C(x，y)，则(x，y1)(4，3)，所以从而(4，2)(3,2)(7，4)故选A法二：(3,2)(0,1)(3,1)，(4，3)(3,1)(7，4)故选A2(2014全国卷)设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则()ABC D解析：选A()()()，故选A3(2015全国卷)设D为ABC所在平面内一点，3，则()ABCD解析：选A()，故选A4(2015全国卷)设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_解析：ab与a2b平行，abt(a2b)，即abta2tb，解得答案：命题点二平面向量数量积命题指数：难度：中、低题型：选择题、填空题、解答题1
51、(2016全国甲卷)已知向量a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，则m()A8 B6C6 D8解析：选D法一：因为a(1，m)，b(3，2)，所以ab(4，m2)因为(ab)b，所以(ab)b0，所以122(m2)0，解得m8法二：因为(ab)b，所以(ab)b0，即abb232m32(2)2162m0，解得m82(2016全国丙卷)已知向量，则ABC()A30 B45C60 D120解析：选A因为，所以又因为|cosABC11cosABC，所以cosABC又0ABC180，所以ABC303(2015全国卷)向量a(1，1)，b(1,2)，则(2ab)a()A1 B0C1 D2解析：选C法
52、一：a(1，1)，b(1,2)，a22，ab3，从而(2ab)a2a2ab431法二：a(1，1)，b(1,2)，2ab(2，2)(1,2)(1,0)，从而(2ab)a(1,0)(1，1)1，故选C4(2014全国卷)设向量a，b 满足|ab|，|ab|，则ab()A1 B2 C3 D5解析：选A因为|ab|，所以|ab|210，即a22abb210又因为|ab|，所以|ab|26，所以a22abb26由得4ab4，则ab15(2016天津高考)已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则AF的值为()A BC D解析：选B如图，
53、由条件可知BCABADABDEABACAFAB)ABAC AC2ABAB|ABAF6(2016全国乙卷)设向量a(m,1)，b(1,2)，且|ab|2|a|2|b|2，则m_解析：|ab|2|a|2|b|22ab|a|2|b|2，ab0又a(m,1)，b(1,2)，m20，m2答案：27(2013全国卷)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则_解析：选向量的基底为，则，那么()22222答案：28(2013全国卷)已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b，若bc0，则t_解析：因为向量a，b为单位向量，所以b21，又向量a，b的夹角为60，所以ab，由bc0得bta(1t
54、)b0，即tab(1t)b20，所以t(1t)0，所以t2答案：29(2014湖北高考)若向量(1，3)，| |， 0，则 | _解析：法一：设(x，y)，由|知，又 x3y0，所以x3，y1或x3，y1当x3，y1时，| 2；当x3，y1时，| 2则| 2法二：由几何意义知，|就是以，为邻边的正方形的对角线长，所以|2答案：210(2015广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m，n(sin x，cos x)，x(1)若mn，求tan x的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值解：(1)若mn，则mn0由向量数量积的坐标公式得sin xcos x0，tan x1(2)m与n的夹角为，mn
55、|m|n|cos，即sin xcos x，sin又x，x，x，即x命题点三复数命题指数：难度：低题型：选择题、填空题1(2015全国卷)若a为实数，且(2ai)(a2i)4i，则a()A1 B0C1 D2解析：选B(2ai)(a2i)4i，4a(a24)i4i解得a0故选B2(2016全国甲卷)已知z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A(3,1) B(1,3)C(1，) D(，3)解析：选A由题意知即3m1故实数m的取值范围为(3,1)3(2016全国乙卷)设(1i)x1yi，其中x，y是实数，则|xyi|()A1 BC D2解析：选B(1i)x1yi，xxi1yi又x，yR，x1，y1|xyi|1i|，故选B4(2015全国卷)若a为实数，且3i，则a()A4B3C3 D4解析：选D3i，2ai(3i)(1i)24i，a4，故选D5(2016全国丙卷)若z12i，则()A1 B1Ci Di解析：选C因为z12i，则12i，所以z (12i)(12i)5，则i故选C6(2015全国卷)设复数z满足i，则|z|()A1BC D2解析：选A由i，得zi，所以|z|i|1，故选A
