1、3.1.2用二分法求方程的近似解学 习 目 标核 心 素 养1通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件(重点)2了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解(难点)3会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解(易混点)借助二分法的操作步骤与思想，培养数学建模及逻辑推理素养.1二分法的定义对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法思考：若函数yf(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？提示：二分法只适用于
2、函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f(x)(x1)2的零点就不能用二分法求解2二分法求函数零点近似值的步骤1用二分法求函数f(x)x35的零点可以取的初始区间是()A2,1B1,0C0,1D1,2Af(2)30，f(2)f(1)0，故可取2,1作为初始区间，用二分法逐次计算2用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是()A|ab|0.1B|ab|0.001D|ab|0.001B据二分法的步骤知当区间长度|ba|小于精确度时，便可结束计算3已知函数yf(x)的图象如图所示，则不能利用二分法求解
3、的零点是_.x3x3左右两侧的函数值同号，故其不能用二分法求解4用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时，第一次经过计算得f(0)0，f(0.5)0，可得其中一个零点x0_，第二次应计算_(0,0.5)f(0.25)f(0)0，x0(0,0.5)，故第二次应计算f(0.25)二分法的概念【例1】(1)已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A4,4B3,4C5,4D4,3(2)用二分法求方程2x3x70在区间1,3内的根，取区间的中点为x02，那么下一个有根的区间是_(1)D(2)(1,2)(1)图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号
4、的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D.(2)设f(x)2x3x7，则f(1)20，f(2)30，f(3)100.由f(1)f(2)0知，下一个有根的区间为(1,2)运用二分法求函数的零点应具备的条件(1)函数图象在零点附近连续不断.(2)在该零点左右函数值异号.,只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点.1下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()ABCDB二分法的理论依据是零点存在性定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解而选项B图中零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点另外，选项A，C，D零点两侧函数值异号，称这样的零点
5、为变号零点用二分法求函数零点的近似值探究问题1用二分法求方程的近似解，如何决定步骤的结束？提示：当零点所在区间的两个端点值之差的绝对值小于精确度时，二分法步骤结束2用二分法求方程的近似解时，精确度不同对零点有影响吗？提示：精确度决定步骤的始终，故精确度不同，零点可能会不同【例2】求函数f(x)x33x29x1的一个负零点(精确度0.01)思路点拨：解确定一个包含负数零点的区间(m，n)，且f(m)f(n)0，f(2)0，f(2)0(2，1.5)x11.75f(x1)2.2030(2，1.75)x21.875f(x2)0.7360(2，1.875)x31.937 5f(x3)0.097 40(1
6、.937 5，1.906 25)x51.921 875f(x5)0.117 40(1.937 5，1.921 875)x61.929 687 5f(x6)0.010 540(1.937 5，1.929 687 5)由于|1.929 687 51.937 5|0.007 812 50，f(2)0，f(2)0(2，1.5)x11.75f(x1)2.2030(2，1.75)x21.875f(x2)0.7360(2，1.875)x31.937 5f(x3)0.097 40(1.937 5，1.875)由于|1.8751.937 5|0.062 50.1，所以函数在区间2，1内的一个近似零点可取为1.9
7、37 5.2若将本例函数改为“f(x)x32x23x6”，如何求该函数的正数零点？(精确度0.1)解确定一个包含正数零点的区间(m，n)，且f(m)f(n)0.因为f(0)60，f(1)60，所以可以取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：端点(中点)端点或中点的函数值取值区间f(1)60(1,2)x11.5f(1.5)2.6250(1.5,1.75)x31.625f(1.625)1.302 70(1.625,1.75)x41.687 5f(1.687 5)0.561 80(1.687 5,1.75)由于|1.751.687 5|0.062 50.1，所以函数的正数零点
8、的近似值可取为1.687 5.利用二分法求方程近似解的过程图示用二分法求方程的近似解【例3】(教材改编题)用二分法求方程2x33x30的一个正实数近似解(精确度0.1)解令f(x)2x33x3，则f(0)30，f(1)20，f(0)f(1)0，所以可确定区间(0,1)作为计算的初始区间，用二分法逐步计算列表如下：(a，b)中点Cf(a)f(b)f(0,1)0.5f(0)0f(1)0f(0.5)0(0.5,1)0.75f(0.5)0f(1)0f(0.75)0(0.5,0.75)0.625f(0.5)0f(0.75)0f(0.625)0(0.625,0.75)0.6875f(0.625)0f(0.
9、75)0f(0.6875)0(0.6875,0.75)|0.68750.75|0.06250.1由于|0.68750.75|0.06250.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解用二分法求方程的近似解应明确两点(1)根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的求方程f(x)0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解(2)对于求形如f(x)g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)f(x)g(x)0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解2为了求函数f(x)2x3x7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)
10、的部分对应值，如表所示：x1.251.312 51.3751.437 51.5f(x)0.673 40.287 40.123 10.559 91.024 6则方程2x3x7的近似解(精确度0.1)可取为()A1.32B1.39C1.4D1.3A由题意知f(1.3125)f(1.375)0，且|1.31251.375|0.06251，则函数f(x)的零点在区间(1.3125，1.375)内，从而方程2x3x7的近似解也在区间(1.3125,1.375)内，故选A.1核心要点：二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用
11、此区间的某个数值近似地表示真正的零点2数学思想：方程的近似解问题可转化为求函数的零点的近似值问题，这体现了转化与化归思想1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)二分法所求出的方程的解都是近似解()(2)函数f(x)|x|可以用二分法求零点()(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内()答案(1)(2)(3)2关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是()A“二分法”求方程的近似解一定可将yf(x)在a，b内的所有零点得到B“二分法”求方程的近似解有可能得不到yf(x)在a，b内的零点C应用“二分法”求方程的近似解，yf(x)在a，b内有可能无零点D“二分法
12、”求方程的近似解可能得到f(x)0在a，b内的精确解D二分法求零点，则一定有且能求出，故B，C不正确；零点左侧与右侧的函数值符号相同的零点不能用二分法得到，故A不正确，故选D.3用二分法求函数yf(x)在区间2,4上零点的近似值，经验证有f(2)f(4)0.取区间的中点x13，计算得f(2)f(x1)0，则此时零点x0_(填区间)(2,3)因为f(2)f(3)0，所以零点在区间(2,3)内4用二分法求方程ln(2x6)23x的根的近似值时，令f(x)ln(2x6)23x，并用计算器得到下表：x1.001.251.3751.50f(x)1.079 40.191 80.360 40.998 9由表中的数据，求方程ln(2x6)23x的一个近似解(精确度为0.1)解因为f(1.25)f(1.375)0.1，因此需要取(1.25,1.375)的中点1.312 5，两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.062 50.1，因此1.312 5是一个近似解