1、平面向量与“四心”在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系应用向量相关知识，可以巧妙地解决三角形四心所具备的一些特定的性质重心问题已知O是ABC所在平面上的一点，若()(其中P为平面上任意一点), 则点O是ABC的()A外心B内心C重心D垂心C解析：由已知得3，所以33，即0，所以点O是ABC的重心. 如图，ABC的重心为G，O为坐标原点，a，b，c，试用a，b，c表示.解：设AG交BC于点M，则M是BC的中点因为所以
2、abc3.而0，所以abc30，所以.垂心问题已知点O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，0，), 则动点P的轨迹一定通过ABC的()A重心B垂心C外心D内心B解析：由已知得，所以(|)0，所以，即APBC，所以动点P的轨迹通过ABC的垂心已知点O为ABC所在平面内一点，且222222，则点O一定为ABC的()A外心B内心C重心D垂心D解析：因为2222，所以2222，所以()()()()，所以()()，所以()0，所以()0，所以0，所以.同理可得，.所以O为ABC的垂心故选D外心问题已知点O是ABC所在平面上的一点若()()()0，则点O是ABC的()A外心B内
3、心C重心D垂心A解析：由已知得()()()()()()02222220|. 所以点O是ABC的外心在ABC中，ABAC，点D是AB的中点，E为ACD的重心，点F为ABC的外心求证：EFCD证明：建立如图所示的坐标系，设A(0，b)，B(a,0)，C(a,0)，则D，易知ABC的外心F在y轴上，设为F(0，y)由|可得(yb)2(a)2y2，所以y，即F.连接AE，CE，DE，又由重心公式，得0，则E，所以，所以0，所以，即EFCD内心问题已知点O是ABC所在平面上的一点，若(其中P是ABC所在平面内任意一点)，则点O是ABC的()A外心B内心C重心D垂心B解析：因为，所以(abc)abc，即abPOcabc，移项并整理可得a()b()c()0，则abc0，所以点O是ABC的内心已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，满足，0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的_. 内心解析：如图所示，由已知，.所以，0，)设，所以D，E在射线AB和AC上，所以，所以AP是平行四边形ADPE的对角线又|，所以四边形ADPE是菱形，所以点P在EAD即CAB的平分线上故点P的轨迹一定通过ABC的内心
