1、2.2等差数列2.2.1等差数列的概念2.2.2等差数列的通项公式第1课时等差数列的概念及通项公式学习目标：1.理解等差数列的概念，能在具体问题情境中，发现数列的等差关系(重点)2.会推导等差数列的通项公式，并能应用该公式解决简单的等差数列问题(重点)3.等差数列的证明及其应用(难点)自 主 预 习探 新 知1等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示思考1：等差数列定义中，为什么要注明“从第二项起”？提示第1项前面没有项，无法与前一项作差思考2：等差数列定义中的“同一个”三个字可
2、以去掉吗？提示不可以如果差是常数，而这些常数不相等，则不是等差数列2等差数列的通项公式对于等差数列an的第n项an，有ana1(n1)dam(nm)d.思考3已知等差数列an的首项a1和公差d能表示出通项公式ana1(n1)d，如果已知第m项am和公差d，又如何表示通项公式an?提示设等差数列的首项为a1，则ama1(m1)d，变形得a1am(m1)d，则ana1(n1)dam(m1)d(n1)dam(nm)d.基础自测1思考辨析(1)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于常数，这个数列就叫等差数列()(2)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列()(3)一个数
3、列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于常数，这个数列就叫等差数列()(4)一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列()答案(1)(2)(3)(4)2若an是等差数列，且a11，公差d3，则an_.解析a11，d3，an1(n1)33n2.答案3n23若an是等差数列，且a12，d1，若an7，则n_.解析a12，d1，an2(n1)1n1.由an7，即n17，得n6.答案6合 作 探 究攻 重 难等差数列的判定与证明判断下列数列是否为等差数列(1)在数列an中，an3n2；(2)在数列an中，ann2n.思路探究解(1)an1an3(n1)2(3n2
4、)3(nN*)由n的任意性知，这个数列为等差数列(2)an1an(n1)2(n1)(n2n)2n2，不是常数，所以这个数列不是等差数列规律方法1定义法是判定(或证明)数列an是等差数列的基本方法，其步骤为：(1)作差an1an；(2)对差式进行变形；(3)当an1an是一个与n无关的常数时，数列an是等差数列；当an1an不是常数，是与n有关的代数式时，数列an不是等差数列2应注意等差数列的公差d是一个定值，它不随n的改变而改变提醒：当n2时，an1and(d为常数)，无法说明数列an是等差数列，因为a2a1不一定等于d.跟踪训练1已知函数f(x)，数列xn的通项由xnf(xn1)(n2且xN
5、*)确定(1)求证：数列是等差数列；(2)当x1时，求x2 017.解(1)因为f(x)，数列xn的通项xnf(xn1)，所以xn，所以，所以，所以是等差数列(2)x1时，2，所以2(n1)，所以xn，所以x2 017.等差数列的通项公式已知数列an是等差数列，且a510，a1231. 【导学号：57452034】(1)求an的通项公式；(2)若an13，求n的值思路探究建立首项a1和d的方程组求an；由an13解方程得n.解(1)设an的首项为a1，公差为d，则由题意可知解得an2(n1)33n5.(2)由an13，得3n513，解得n6.规律方法1从方程的观点看等差数列的通项公式，ana1
6、(n1)d中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求得另一个量，即“知三求一”2已知数列的其中两项，求公差d，或已知一项、公差和其中一项的序号，求序号的对应项时，通常应用变形anam(nm)d.跟踪训练2已知递减等差数列an前三项的和为18，前三项的积为66.求该数列的通项公式，并判断34是该数列的项吗？解依题意得解得或数列an是递减等差数列，d0.故取a111，d5.an11(n1)(5)5n16，即等差数列an的通项公式为an5n16.令an34，即5n1634，得n10.34是数列an的第10项.等差数列的应用探究问题1若数列an满足1且a11，则a5如何求解？提示由1可知1.是首项1，公
7、差d1的等差数列1(n1)1n，ann2，a55225.2某剧场有20排座位，第一排有20个座位，从第2排起，后一排都比前一排多2个座位，则第15排有多少个座位？提示设第n排有an个座位，由题意可知anan12(n2)又a120，an20(n1)22n18.a152151848.即第15排有48个座位某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？思路探究分析题意，明确题中每年获利构成等差数列，把实际问题转化为等差数列问题，利用等差数列
8、的知识解决即可解由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，每年获利构成等差数列an，且当an0时，该公司会出现亏损设从第1年起，第n年的利润为an，则anan120，n2，nN*.所以每年的利润可构成一个等差数列an，且首项a1200，公差d20.所以ana1(n1)d22020n.若an0，则该公司经销这一产品将亏损，所以由an22020n11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损规律方法1在实际问题中，若涉及到一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决2在利用数列方法解决实际问题时，一定要
9、分清首项、项数等关键问题跟踪训练3甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：时间t(s)123？60距离s(cm)9.819.629.449？(1)你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？(2)利用建立的模型计算，甲虫1 min能爬多远？它爬行49 cm需要多长时间？解(1)由题目表中数据可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8，所以是一个等差数列模型因为a19.8，d9.8，所以甲虫的爬行距离s与时间t的关系是s9.8t.(2)当t1 min60 s时，s9.8t9.860588 cm.当s49 cm时，t5 s当 堂 达 标固
10、双 基1下列数列中是等差数列的为_(填序号)6,6,6,6,6；2，1,0,1,2；5,8,11,14；0,1,3,6,10.解析是等差数列，不是等差数列答案2若数列1，a,9是等差数列，则a的值为_解析由1，a,9成等差数列可知，a19a，2a19，a5.答案53若数列an满足a11，an1an2，则an_.解析由an1an2，得an1an2，an是首项a11，d2的等差数列，an1(n1)22n1.答案2n14设数列an的公差为d，则数列a3，a6，a9，a3n是_数列，其公差为_. 【导学号：57452035】解析a3na3(n1)3d.答案等差3d5已知数列an中，a11，a34.(1)若数列an是等差数列，求a11的值；(2)若数列是等差数列，求数列an的通项公式解(1)设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d，由题设，2d413，所以d.所以an1(n1)，所以a1116.(2)设bn，则数列bn是等差数列，b1，b3，bn(n1)，即，所以an.