1、13.1二项式定理 预习课本P2931，思考并完成以下问题1二项式定理是什么？ 2通项公式又是什么？ 3二项式定理有何结构特征，二项展开式中某项的二项式系数与某项的系数有区别吗？ 二项式定理二项式定理(ab)nCanCan1bCankbkCbn二项展开式公式右边的式子二项式系数C(k0,1,2，n)二项展开式的通项Tk1Cankbk点睛应用通项公式要注意四点(1)Tk1是展开式中的第k1项，而不是第k项；(2)公式中a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置；(3)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题；(4)对二项式(ab)n展开式的通项公式要特别注意符号问题1判断下列命题是否正确(
2、正确的打“”，错误的打“”)(1)(ab)n展开式中共有n项()(2)二项式(ab)n与(ba)n展开式中第r1项相同()(3)Cankbk是(ab)n展开式中的第k项()答案：(1)(2)(3)2.5的展开式中含x3项的二项式系数为()A10B10C5 D5答案：D3.5展开式中的常数项为()A80 B80C40 D40答案：C4(12x)5的展开式的第3项的系数为_，第三项的二项式系数为_答案：4010二项式定理的应用典例(1)求4的展开式；(2)化简：(x1)55(x1)410(x1)310(x1)25(x1)解(1)法一：4C(3)4C(3)3C(3)22C33C481x2108x54
3、.法二：4(81x4108x354x212x1)81x2108x54.(2)原式C(x1)5C(x1)4C(x1)3C(x1)2C(x1)C(x1)01(x1)151x51.运用二项式定理的解题策略(1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂形如(ab)n的展开式中会出现正负间隔的情况对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数活学活用1化简(x1)44(x1)36(x1)24(x1)1的结果为()Ax4B
4、(x1)4C(x1)4 Dx41解析：选A(x1)44(x1)36(x1)24(x1)1C(x1)4C(x1)3(1)1C(x1)2(1)2C(x1)(1)3C(x1)0(1)4(x1)14x4，故选A2设n为自然数，化简C2nC2n1(1)kC2nk(1)nC_.解：原式C2n(1)0C2n1(1)1(1)kC2nk(1)nC20(21)n1.答案：1二项式系数与项的系数问题典例(1)求二项式6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)求9的展开式中x3的系数解(1)由已知得二项展开式的通项为Tr1C(2)6rr26rC(1)rx3，T612x.第6项的二项式系数为C6，第6项的系数
5、为C(1)5212.(2)设展开式中的第r1项为含x3的项，则Tr1Cx9rr(1)rCx92r，令92r3，得r3，即展开式中第四项含x3，其系数为(1)3C84.一题多变1变设问本例问题(1)条件不变，问题改为“求第四项的二项式系数和第四项的系数”解：由通项Tr1(1)rC26rx3r，知第四项的二项式系数为C20，第四项的系数为C(1)323160.2变设问本例问题(2)条件不变，问题改为“求展开式中x5的系数”，该如何求解解：设展开式中第r1项为含x5的项，则Tr1(1)rCx92r，令92r5，得r2.即展开式中的第3项含x5，且系数为C36.求某项的二项式系数或展开式中含xr的项的
6、系数，主要是利用通项公式求出相应的项，特别要注意某项二项式系数与系数两者的区别 与展开式中的特定项有关的问题题点一：求展开式中的特定项1(四川高考)设i为虚数单位，则(xi)6的展开式中含x4的项为()A15x4 B15x4C20ix4 D20ix4解析：选A二项式的通项为Tr1Cx6rir，由6r4得r2.故T3Cx4i215x4.故选A2(12)3(1)5的展开式中x的系数是_解析：(12)3(1)5的展开式的通项为2rC(1)sCx(其中r0,1,2,3；s0,1,2,3,4,5)，令1，得3r2s6，所以或所以x的系数是C4C2.答案：2题点二：由二项展开式某项的系数求参数问题3(山东
7、高考)若5的展开式中x5的系数是80，则实数a_.解析：Tr1C(ax2)5rrCa5rx10r.令10r5，解得r2.又展开式中x5的系数为80，则有Ca380，解得a2.答案：2求展开式中特定项的方法求展开式特定项的关键是抓住其通项公式， 求解时先准确写出通项， 再把系数和字母分离， 根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征， 列出方程或不等式即可求解有理项问题的解法，要保证字母的指数一定为整数 层级一学业水平达标1(x2)n的展开式共有12项，则n等于()A9B10C11 D8解析：选C(ab)n的展开式共有n1项，而(x2)n的展开式共有12项，n11.故选C2设n为正整数，2n展开式
8、中存在常数项，则n的一个可能取值为()A16 B10C4 D2解析：选B2n展开式的通项公式为Tr1Cx2nrrC(1)rx，令0，得r，n可取10.3已知7的展开式的第4项等于5，则x等于()A BC7 D7解析：选BT4Cx435，x.4若二项式n的展开式中第5项是常数项，则自然数n的值可能为()A6 B10C12 D15解析：选CT5C()n4424Cx是常数项，0，n12.5在4的二项展开式中，如果x3的系数为20，那么ab3()A20 B15C10 D5解析：选DTr1Ca4rbrx247r，令247r3，得r3，则4ab320，ab35.6(全国卷)(2x)5的展开式中，x3的系数
9、是_(用数字填写答案)解析：(2x)5展开式的通项为Tr1C(2x)5r()r25rCx5.令53，得r4.故x3的系数为254C2C10.答案：107若(12x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是_解析：由得解得x.答案：8若(xa)10的展开式中，x7的系数为15，则a_.(用数字填写答案)解析：二项展开式的通项公式为Tr1Cx10rar，当10r7时，r3，T4Ca3x7，则Ca315，故a.答案：9若二项式6(a0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，且B4A，求a的值解：Tr1Cx6rr(a)rCx6，令63，则r2，得ACa215a2；令60，则r4，得BCa
10、415a4.由B4A可得a24，又a0，所以a2.10已知m，nN*，f(x)(1x)m(1x)n展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数解：由题设mn19，m，nN*.，x2的系数CC(m2m)(n2n)m219m1712.当m9或10时，x2的系数取最小值81，此时x7的系数为CC156.层级二应试能力达标1在(1x3)(1x)10的展开式中x5的系数是()A297B252C297 D207解析：选Dx5应是(1x)10中含x5项与含x2项其系数为CC(1)207.2使n(nN*)的展开式中含有常数项的最小的n为()A4 B5C6 D7解析：选B由二项式定理得，
11、Tr1C(3x)nrrC3nrxnr，令nr0，当r2时，n5，此时n最小3在二项式n(nN*)的展开式中，常数项为28，则n的值为()A12 B8C6 D4解析：选B展开式中第r1项是C(x3)nrrC(1)rx3n4r，令(1)rCx3n4r28，则，n8.4在n的展开式中，常数项为15，则n的一个值可以是()A3 B4C5 D6解析：选D通项Tr1C(x2)nrr(1)rCx2n3r，常数项是15，则2n3r，且C15，验证n6时，r4合题意，故选D5x7的展开式中，x4的系数是_(用数字作答)解析：x4的系数，即7展开式中x3的系数，Tr1Cx7rr(2)rCx72r，令72r3得，r
12、2，所求系数为(2)2C84.答案：846在(1x)5(1x)6(1x)7(1x)8的展开式中，含x3的项的系数是_解析：展开式中含x3项的系数为C(1)3C(1)3C(1)3C(1)3121.答案：1217记n的展开式中第m项的系数为bm.(1)求bm的表达式；(2)若n6，求展开式中的常数项；(3)若b32b4，求n.解：(1)n的展开式中第m项为C(2x)nm1m12n1mCxn22m，所以bm2n1mC.(2)当n6时，n的展开式的通项为Tr1C(2x)6rr26rCx62r.依题意，62r0，得r3，故展开式中的常数项为T423C160.(3)由(1)及已知b32b4，得2n2C22n3C，从而CC，即n5.8求证：122225n1(nN*)能被31整除证明：122225n125n132n1(311)n1C31nC31n1C31C131(C31n1C31n2C)，显然C31n1C31n2C为整数，原式能被31整除