1、课时规范训练 A级 基础演练1.如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PA底面 ABCD，AC2 2，PA2，E 是 PC 上的一点，PE2EC.(1)证明：PC平面 BED；(2)设二面角 A-PB-C 为 90，求 PD 与平面 PBC 所成角的大小解：(1)证明：以 A 为坐标原点，射线 AC 为 x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz，则 C(2 2，0,0)，P(0,0,2)，E4 23，0，23，设 D(2，b,0)，其中 b0，则 B(2，b,0)于是PC(2 2，0，2)，BE23，b，23，DE 23，b，23.从而PCBE0，PCDE 0
2、，故 PCBE，PCDE.又 BEDEE，所以 PC平面 BED.(2)AP(0,0,2)，AB(2，b,0)设 m(x，y，z)为平面 PAB 的法向量，则mAP0，mAB0，即 2z0 且 2xby0，令 xb，则 m(b，2，0)设 n(p，q，r)为平面 PBC 的法向量，则nPC0，nBE0，即 2 2p2r0 且 2p3 bq23r0，令 p1，则 r 2，q 2b，n1，2b，2.因为二面角 A-PB-C 为 90，所以面 PAB面 PBC，故 mn0，即 b2b0，故 b 2，于是 n(1，1，2)，DP(2，2，2)，所以 cosn，DP nDP|n|DP|12，所以n，DP
3、 60.因为 PD 与平面 PBC 所成角和n，DP 互余，故 PD 与平面 PBC 所成的角为 30.2如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，已知 AB侧面 BB1C1C，ABBC1，BB12，BCC13.(1)求证：C1B平面 ABC；(2)设CECC1(01)，且平面 AB1E 与 BB1E 所成的锐二面角的大小为30，试求 的值解：(1)证明：因为 AB侧面 BB1C1C，BC1侧面 BB1C1C，故 ABBC1.在BCC1 中，BC1，CC1BB12，BCC13，BC21BC2CC212BCCC1cosBCC11222212cos33.所以 BC1 3，故 BC2BC21CC21
4、，所以 BCBC1，而 BCABB，所以C1B平面 ABC.(2)由(1)可知，AB，BC，BC1 两两垂直以 B 为原点，BC，BA，BC1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 则 B(0,0,0)，A(0,1,0)，B1(1,0，3)，C(1,0,0)，C1(0,0，3)所以CC1(1,0，3)，所以CE(，0，3)，则 E(1，0，3)则AE(1，1，3)，AB1(1，1，3)设平面 AB1E 的法向量为 n(x，y，z)，则nAE，nAB1，即1xy 3z0，xy 3z0.令 z 3，则 x332，y 32，故 n332，32，3 是平面 AB1E 的一个法向量
5、因为 AB平面 BB1C1C，所以BA(0,1,0)是平面 BB1E 的一个法向量，所以|cosn，BA|nBA|n|BA|3213322322 32 32.两边平方并化简得 22530，所以 1 或 32(舍去)3(2017山东青岛一模)如图所示，四边形 ABCD 中，ABAD，ADBC，AD6，BC4，AB2，点 E，F 分别在 BC，AD 上，且 E 为 BC 的中点，EFAB.现将四边形 ABEF 沿 EF 折起，使二面角 A-EF-D 等于 60.(1)设 P 为 AD 的中点，求证：CP平面 ABEF；(2)求直线 AF 与平面 ACD 所成角的正弦值解：(1)证明：取 AF 的中
6、点 Q，连接 QE，QP.则 QPDE，QP12DF.又 DF4，EC2，且 DFEC，所以 QPEC，且 QPEC，即四边形 PQEC 为平行四边形 所以 CPQE.又因为 QE平面 ABEF，CP平面 ABEF，所以 CP平面 ABEF.(2)由题意知，折叠后仍有 EFAF，EFFD，则 EF平面 AFD.AFD 为二面角 A-EF-D 的平面角，即AFD60.过 A 作 AOFD 于 O.又AOEF，AO平面 CDFE.作 OGEF 交 EC 于 G，则 OGFD，AOOG.分别以 OG，OD，OA 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 O-xyz，在 RtAOF 中，AF2，A
7、FO60，则 FO1，OA 3.F(0，1,0)，A(0,0，3)，D(0,3,0)，C(2,1,0)AF(0，1，3)，AD(0,3，3)，CD(2,2,0)设平面 ACD 的一个法向量为 n(x，y，z)则 nAD 0，nCD 0，即3y 3z0，2x2y0.令 z 3，得 y1，x1，n(1,1，3)则 cosn，AF|13|2 5 2 55.直线 AF 与平面 ACD 所成角的正弦值为2 55.4.如图，平面 ABCD平面 ADEF，其中 ABCD 为矩形，ADEF 为梯形，AFDE，AFFE，AFAD2DE2.(1)求异面直线 EF 与 BC 所成角的大小；(2)若二面角 A-BF-
8、D 的余弦值为13，求 AB 的长解：(1)延长 AD，FE 交于点 Q，因为 ABCD 是矩形，所以 BCAD，所以AQF 是异面直线 EF 与 BC 所成的角 在梯形 ADEF 中，因为 DEAF，AFFE，AFAD2，DE1，所以 DE为AFQ 的中位线，AQ2AD4，所以AQF30，即异面直线 EF 与 BC 所成的角为 30.(2)法一：设 ABx，取 AF 的中点 G，由题意得 DGAF.因为平面 ABCD平面 ADEF，ABAD，所以 AB平面 ADEF，所以 ABDG.又 ABAFA，所以 DG平面 ABF.过 G 作 GHBF，垂足为 H，连接 DH，则 DHBF，所以DHG
9、 为二面角 A-BF-D 的平面角 在 RtAGD 中，由 AD2，AG1，得 DG 3.在 RtBAF 中，由ABBFsinAFBGHFG，得GHx 1x24，所以 GHxx24.在 RtDGH 中，DG 3，GHxx24，则 DH2x23x24.因为 cosDHCGHDH13，得 x2 155，所以 AB2 155.法二：设 ABx，以 F 为原点，AF，FE 所在的直线分别为 x 轴，y 轴，过点 F 且平行于 CD 的直线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 F-xyz，则 F(0,0,0)，A(2,0,0)，E(0，3，0)，D(1，3，0)，B(2,0，x)，所以DF(1，3，0
10、)，BF(2,0，x)因为平面ABCD平面ADEF，ABAD，所以AB平面ADEF，所以ABEF，又 EFAF，AFABA，所以 EF平面 ABF，所以平面 ABF 的一个法向量为n1(0,1,0)设 n2(x1，y1，z1)为平面 BFD 的法向量，则 2x1z1x0，x1 3y10，取 x1 3，则 y11，z12 3x，所以 n23，1，2 3x为平面 BFD 的一个法向量 因为|cosn1，n2|n1n2|n1|n2|13，所以 x2 155，所以 AB2 155.B级 能力突破1.如图，在五棱锥 S-ABCDE 中，SA平面 ABCDE，SAABAE2，BCDE 3，BAEBCDCD
11、E120.(1)求证：SBBC；(2)求点 E 到平面 SCD 的距离(3)求平面 SCB 与平面 SCA 的夹角的余弦值解：(1)证明：由题意可知 CDBE，CBEDEB60，ABAE，ABEAEB30，ABCAED90，BCBA.又 SA平面 ABCDE，SABC，又 SABAA，BC平面 SAB，SBBC.(2)延长 BC、ED 交于点 F，分别以直线 AF，AS 为 x 轴和 z 轴，以过点 A 且平行于 CD 的直线为 y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz，则 C52，32，0，D52，32，0，E(1，3，0)，S(0,0,2)，SC52，32，2，SD52，32，2.
12、设平面 SCD 的法向量为 n(x，y，z)，则 52x 32 y2z0，52x 32 y2z0，令 x4，则 y0，z5，n(4,0,5)是平面 SCD 的一个法向量，又SE(1，3，2)，点 E 到平面 SCD 的距离为|SEn|n|410|41 6 4141.(3)分别过点 B 作 BHAC 于 H，作 BMSC 于 M，连 MH，则BMH 即为平面 SCB 与平面 SCA 的夹角的平面角 利用面积相等法，在SBC 中易得 BM2 6611，在ABC 中易得 BH2 217，平面 SCB 与平面 SCA 的夹角的正弦值为2 2172 66111114，平面 SCB 与平面 SCA 的夹角
13、的余弦值为314 4214.2如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AA1C1C 是边长为 4 的正方形平面 ABC平面 AA1C1C，AB3，BC5.(1)求证：AA1平面 ABC；(2)求二面角 A1-BC1-B1 的余弦值；(3)证明：在线段 BC1 上存在点 D，使得 ADA1B，并求BDBC1的值解：(1)证明：在正方形 AA1C1C 中，A1AAC.又平面 ABC平面 AA1C1C，且平面 ABC平面 AA1C1CAC，AA1平面 ABC.(2)在ABC 中，AC4，AB3，BC5，BC2AC2AB2，ABAC 以 A 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系 A-xyz.A1(
14、0,0,4)，B(0,3,0)，C1(4,0,4)，B1(0,3,4)，A1C1(4,0,0)，A1B(0,3，4)，B1C1(4，3,0)，BB1(0,0,4)设平面 A1BC1 的法向量 n1(x1，y1，z1)，平面 B1BC1 的法向量 n2(x2，y2，z2)A1C1 n10，A1B n104x103y14z10 取向量 n1(0,4,3)由B1C1 n20，BB1 n204x23y20，4z20.取向量 n2(3,4,0)cosn1，n2 n1n2|n1|n2|16551625.由题意知二面角 A1-BC1-B1 为锐角，所以二面角 A1-BC1-B1 的余弦值为1625.(3)证明：设 D(x，y，z)是直线 BC1 上一点，且BD BC1.(x，y3，z)(4，3,4)，解得 x4，y33，z4.AD(4，33，4)又 ADA1B，03(33)160 则 925，因此BDBC1 925.
