1、3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点学 习 目 标核 心 素 养1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系(易混点)2会求函数的零点(重点)3掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数(难点)1.借助零点的求法培养数学运算和逻辑推理的素养2借助函数的零点同方程根的关系，提升直观想象的数学素养.1函数的零点对于函数yf(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点思考1：函数的零点是函数与x轴的交点吗？提示：不是函数的零点不是个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标2方程、函数、函数图象之间的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf
2、(x)有零点3函数零点的存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根思考2：该定理具备哪些条件？提示：定理要求具备两条：函数在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；f(a)f(b)0.1下列各图象表示的函数中没有零点的是()ABCDD结合函数零点的定义可知选项D没有零点2函数y2x1的零点是()A.B.C.D.2A由2x10得x.3函数f(x)3x4的零点所在区间为()A(0,1)B(1,0) C(2,3)D(1,2)D由f(1)
3、0，f(0)30，f(1)10，f(3)230，得f(x)的零点所在区间为(1,2)4二次函数yax2bxc中，ac0得二次函数yax2bxc有两个零点求函数的零点【例1】(1)求函数f(x)的零点；(2)已知函数f(x)axb(a0)的零点为3，求函数g(x)bx2ax的零点解(1)当x0时，令x22x30，解得x3；当x0时，令2ln x0，解得xe2.所以函数f(x)的零点为3和e2.(2)由已知得f(3)0即3ab0，即b3a.故g(x)3ax2axax(3x1)令g(x)0，即ax(3x1)0，解得x0或x.所以函数g(x)的零点为0和.函数零点的求法(1)代数法：求方程f(x)0的
4、实数根.(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)0，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来.图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.1判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出；否则，请说明理由(1)f(x)x27x6；(2)f(x)1log2(x3)；(3)f(x)2x13；(4)f(x).解(1)解方程f(x)x27x60，得x1或x6，所以函数的零点是1，6.(2)解方程f(x)1log2(x3)0，得x1，所以函数的零点是1.(3)解方程f(x)2x130，得xlog26，所以函数的零点是log26.(4)解方程f(x)0，得x6，所以函数的零点为6.判断函数零点所在的区间【例2
5、】(教材改编题)(1)函数f(x)ln(x1)的零点所在的大致区间是()A(3,4)B(2，e)C(1,2)D(0,1)(2)根据表格内的数据，可以断定方程exx30的一个根所在区间是()x10123ex0.3712.727.3920.08x323456A.(1,0)B(0,1)C(1,2)D(2,3)(1)C(2)C(1)因为f(1)ln 20，且函数f(x)在(0，)上单调递增，所以函数的零点所在区间为(1,2)故选C.(2)构造函数f(x)exx3，由上表可得f(1)0.3721.630，f(0)1320，f(1)2.7241.280，f(3)20.08614.080，f(1)f(2)0
6、，所以方程的一个根所在区间为(1,2)，故选C.判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值.(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断.(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数， 则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点.2若函数f(x)x(aR)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能是()A2B0C1D3Af(x)x(aR)的图象在(1,2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a2时，f(1)1210.故f(x)在区间(1,2)上有零点，同理，其他选项不符合，选A.函数零点的个数探究问题1方程f(x)a的根的个数与函数y
7、f(x)及ya的图象交点个数什么关系？提示：相等2若函数g(x)f(x)a有零点，如何求实数a的范围？提示：法一：g(x)f(x)a有零点可知方程f(x)a0有解，即af(x)有解故a的范围为yf(x)的值域法二：g(x)f(x)a有零点，等价于函数ya与函数yf(x)的图象有交点，故可在同一坐标系中分别画出两函数的图象，观察交点情况即可【例3】已知0a1，则函数ya|x|logax|的零点的个数为()A1B2 C3D4思路点拨：B函数ya|x|logax|(0a1)的零点的个数即方程a|x|logax|(0a1)的根的个数，也就是函数f(x)a|x|(0a1)与g(x)|logax|(0a1
8、)的图象的交点的个数画出函数f(x)a|x|(0a1)与g(x)|logax|(0a1)的图象，如图所示，观察可得函数f(x)a|x|(0a1)与g(x)|logax|(0a1)的图象的交点的个数为2，从而函数ya|x|logax|的零点的个数为2.1把本例函数“ya|x|logax|”改为“y2x|logax|1”，再判断其零点个数解由2x|logax|10得|logax|，作出y及y|logax|(0a1)的图象如图所示由图可知，两函数的图象有两个交点，所以函数y2x|logax|1有两个零点2若把本例条件换成“函数f(x)|2x2|b有两个零点”，求实数b的取值范围解由f(x)|2x2|
9、b0，得|2x2|b.在同一平面直角坐标系中分别画出y|2x2|与yb的图象，如图所示则当0b0，则f(x)在a，b内无零点()(3)若f(x)在a，b上为单调函数，且f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点()(4)若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)f(b)0.()答案(1)(2)(3)(4)2函数f(x)2x3的零点所在的区间是()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)Bf(1)2310，f(1)f(2)0，即f(x)的零点所在的区间为(1,2)3对于函数f(x)，若f(1)f(3)0，则()A方程f(x)0一定有实数解B方程f(x)0一定无实数解C方程f(x)0一定有两实根D方程f(x)0可能无实数解D函数f(x)的图象在(1,3)上未必连续，故尽管f(1)f(3)0，但方程f(x)0在(1,3)上可能无实数解4已知函数f(x)x2x2a.(1)若a1，求函数f(x)的零点；(2)若f(x)有零点，求实数a的取值范围解(1)当a1时，f(x)x2x2.令f(x)x2x20，得x1或x2.即函数f(x)的零点为1和2.(2)要使f(x)有零点，则18a0，解得a，所以a的取值范围是.