1、高考资源网（） 您身边的高考专家直线与圆的位置关系（第1课时）【教学目标】1.理解直线与圆的位置关系,明确直线与圆的三种位置关系的判定方法,培养学生数形结合的数学思想.2.会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系及会利用直线与圆的位置关系解决相关的问题，让学生通过观察图形,明确数与形的统一性和联系性.【重点难点】教学重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法.教学难点:用坐标法判断直线与圆的位置关系.【课时安排】2课时【教学过程】导入新课(1)直线方程Ax+By+C=0(A,B不同时为零).(2)圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心为(a,b),半径为r.(3)圆的一般方程
2、x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F0)，圆心为(-,-),半径为.推进新课新知探究提出问题初中学过的平面几何中,直线与圆的位置关系有几类？在初中,我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？讨论结果：初中学过的平面几何中,直线与圆的位置关系有直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交三种.直线与圆的三种位置关系的含义是:直线与圆的位置关系公共点个数圆心到直线的距离d与半径r的关系图形相交两个dr相切只有一个d=r相离没有dr方法一,判断直线l与圆的位置关系,就是看由它们的方程组成的方程组有无
3、实数解；方法二,可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系.直线与圆的位置关系的判断方法：几何方法步骤：1把直线方程化为一般式,求出圆心和半径.2利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离.3作判断：当dr时,直线与圆相离；当d=r时,直线与圆相切;当dr时,直线与圆相交.代数方法步骤：1将直线方程与圆的方程联立成方程组.2利用消元法,得到关于另一个元的一元二次方程.3求出其判别式的值.4比较与0的大小关系,若0,则直线与圆相离；若=0,则直线与圆相切;若0,则直线与圆相交.反之也成立.应用示例例1 已知直线l：3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0,判断直线l
4、与圆的位置关系.如果相交,求出它们的交点坐标.活动:学生思考或交流,回顾判断的方法与步骤,教师引导学生考虑问题的思路,必要时提示,对学生的思维作出评价;方法一,判断直线l与圆的位置关系,就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二,可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系.解法一:由直线l与圆的方程,得消去y,得x2-3x+2=0,因为=(-3)2-412=10,所以直线l与圆相交,有两个公共点.解法二：圆x2+y2-2y-4=0可化为x2+(y-1)2=5,其圆心C的坐标为(0,1),半径长为,圆心C到直线l的距离d=.所以直线l与圆相交,有两个公共点.由x2-3x+
5、2=0,得x1=2,x2=1.把x1=2代入方程,得y1=0;把x2=1代入方程,得y2=3.所以直线l与圆相交有两个公共点,它们的坐标分别是(2,0)和(1,3).点评:比较两种解法,我们可以看出,几何法判断要比代数法判断快得多,但是若要求交点,仍需联立方程组求解.例2 已知圆的方程是x2+y2=2,直线y=x+b,当b为何值时,圆与直线有两个公共点,只有一个公共点没有公共点.活动:学生思考或交流,教师引导学生考虑问题的思路,必要时提示,对学生的思维作出评价.我们知道,判断直线l与圆的位置关系,就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解,或依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关
6、系.反过来,当已知圆与直线的位置关系时,也可求字母的取值范围,所求曲线公共点问题可转化为b为何值时,方程组有两组不同实数根、有两组相同实根、无实根的问题.圆与直线有两个公共点、只有一个公共点、没有公共点的问题,可转化为b为何值时圆心到直线的距离小于半径、等于半径、大于半径的问题.解法一:若直线l：y=x+b和圆x2+y2=2有两个公共点、只有一个公共点、没有公共点,则方程组有两个不同解、有两个相同解、没有实数解,消去y,得2x2+2bx+b2-2=0,所以=(2b)2-42(b2-2)=16-4b2.所以,当=16-4b20,即-2b2时,圆与直线有两个公共点；当=16-4b2=0,即b=2时
7、,圆与直线只有一个公共点；当=16-4b20,即b2或b-2时,圆与直线没有公共点.解法二：圆x2+y2=2的圆心C的坐标为(0,0),半径长为2,圆心C到直线l:y=x+b的距离d=.当dr时,即,即|b|2,即b2或b-2时,圆与直线没有公共点;当d=r时,即=,即|b|=2,即b=2时,圆与直线只有一个公共点；当dr时,即,即|b|2,即-2b2时,圆与直线有两个公共点.点评：由于圆的特殊性,判断圆与直线的位置关系,多采用圆心到直线的距离与半径的大小进行比较的方法,而以后我们将要学习的圆锥曲线与直线位置关系的判断,则需要利用方程组解的个数来判断.变式训练 已知直线l过点P(4,0),且与
8、圆O：x2+y2=8相交,求直线l的倾斜角的取值范围.解法一：设直线l的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0,因为直线l与圆O相交,所以圆心O到直线l的距离小于半径,即2,化简得k21,所以-1k1,即-1tan1.当0tan1时,0；当-1tan0时,.所以的取值范围是0,)(,).解法二：设直线l的方程为y=k(x-4),由,消去y得(k2+1)x2-8k2x+16k2-8=0.因为直线l与圆O相交,所以=(-8k2)2-4(k2+1)(16k2-8)0,化简得k21.(以下同解法一)点评:涉及直线与圆的位置关系的问题,常可运用以上两种方法.本题若改为选择题或填空题,也可利用图形直
9、接得到答案.拓展提升圆x2+y2=8内有一点P0(-1,2),AB为过点P0且倾斜角为的弦.(1)当=时,求AB的长；(2)当AB的长最短时,求直线AB的方程.解:(1)当=时,直线AB的斜率为k=tan=-1,所以直线AB的方程为y-2=-(x+1),即y=-x+1.解法一：(用弦长公式)由消去y,得2x2-2x-7=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=1,x1x2=-,所以|AB|=|x1-x2|=.解法二：(几何法)弦心距d=,半径r=2,弦长|AB|=2.(2)当AB的长最短时,OP0AB,因为kOP0=-2,kAB=,直线AB的方程为y-2=(x+1),即x-2y+5=0.课堂小结(1)判断直线与圆的位置关系的方法:几何法和代数法.(2)求切线方程.作业习题4.2 A组1、2、3. 版权所有高考资源网诚招驻站老师，联系QQ2355394696
