1、空间向量与立体几何一、选择题（每小题5分，共50分）1. 与向量（-3，-4，5）共线的单位向量是 （ ）（A）（）和（）； （B）（）；（C）（）和（）； （D）（）；2. 在下列命题中：若向量共线，则向量所在的直线平行；若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；若三个向量两两共面，则向量共面；已知是空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x,y,z使得；其中正确的命题的个数是 （ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）33. 已知A、B、C三点不共线，点O为平面ABC外的一点，则下列条件中，能得到M平面ABC的充分条件是 （ ）（A）； （B）；（C）； （D）4. 已知点B
2、是点A（3，7，-4）在xOz平面上的射影，则等于 （ ） （A）（9，0，16） （B）25 （C）5 （D）135. 设平面内两个向量的坐标分别为（1，2，1）、（-1，1，2），则下列向量中是平面的法向量的是（ ）A（-1，-2，5） B（-1,1,-1） C（1, 1,1） D（1，-1，-1）6. 如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB=BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为 （ ）（A）60 （B）90 （C）105 （D）757. 到定点的距离小于或等于1的点集合为（ ） A. B. C. D.8. 已知均为单位向量,它们的夹角为60,那么等于（ ）A B C D49
3、. 在平面直角坐标系中, ,沿x轴把平面直角坐标系折成120的二面角后,则线段AB的长度为（ ） A B C D10. 已知，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题（每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上）11. 若空间三点A（1，5，-2），B（2，4，1），C（p,3,q+2）共线，则p=_,q=_。12. 设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DEAB于E(如图)现将ADE沿DE折起，使二面角ADEB为45，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所
4、成角的大小等于_ 13. 如图，PA平面ABC，ACB=90且PA=AC=BC=a则异面直线PB与AC所成角的余弦值等于_；14.已知，若共同作用于一物体上，使物体从点M（1，-2，1）移动到N（3，1，2），则合力所作的功是 .三、解答题（本大题共四个小题，15题11分，16题11分，17题12分，共24分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）15. 设向量并确定的关系，使轴垂直16. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，P、Q分别是线段AD1和BD上的点，且D1P：PA=DQ：QB=5：12，（1） 求线段PQ的长度；（2） 求证PQAD； （3） 求证：PQ/平面CDD1
5、C1； 17. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD,AP=AB=2,BC=2，E，F分别是AD，PC的中点 （）证明：PC平面BEF；（）求平面BEF与平面BAP夹角的大小。18. 如图,四棱锥S-ABCD的底面是矩形,AB=a,AD=2,SA=1,且SA底面ABCD,若边BC上存在异于B,C的一点P,使得. (1)求a的最大值; (2)当a取最大值时,求异面直线AP与SD所成角的大小; (3)当a取最大值时,求平面SCD的一个单位法向量及点P到平面SCD的距离.参考答案1-5 AABBB 6-10 BACBB11. 3，2 12. 13. 14. 14 15.
6、 解：（9,15,-12）-(4,2,16)=(5,13,-28)(3,5,-4)(2,1,8)=6+5-32=-21由即当满足0即使与z轴垂直.16. 解：以D为坐标原点。DA、DC、DD1分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系。由于正方体的棱长为1，所以D（0，0，0），D1（0，0，1），B（1，1，0），A（1，0，0），P、Q分别是线段AD1和BD上的点，且D1P：PA=DQ：QB=5：12，P，Q（），所以（1）；（2），PQAD；（3），又平面CDD1C1，PQ平面CDD1C1，PQ/平面CDD1C1；17. 解法一 （）如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP算在直线分别
7、为x，y，z轴建立空间直角坐标系。AP=AB=2,BC=AD=22,四边形ABCD是矩形。A，B，C，D的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, 22,0)，D(0，22，0)，P(0,0,2)又E，F分别是AD，PC的中点，E(0，2，0),F(1，2，1)。=（2，22，-2）=（-1，2，1）=（1,0, 1），=-2+4-2=0，=2+0-2=0，PCBF,PCEF,BFEF=F,PC平面BEF（II）由（I）知平面BEF的法向量平面BAP 的法向量 设平面BEF与平面BAP的夹角为，则=45， 平面BEF与平面BAP的夹角为45解法二 （I）连接PE，EC在 PA=AB=CD, AE=DE, PE= CE, 即PEC 是等腰三角形，又F是PC 的中点，EFPC,又，F是PC 的中点，BFPC.又18. 解：建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为: A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),S(0,0,1),设P(a,x,0). (0x2) (1) 由得: 即: 当且仅当x=1时,a有最大值为1.此时P为BC中点;(2) 由(1)知: 异面直线AP与SD所成角的大小为 (3) 设是平面SCD的一个法向量,由得平面SCD的一个单位法向量又在方向上的投影为点P到平面SCD的距离为