1、安徽省泗县第一中学2019届高三数学最后一模试题 文（含解析）第卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据交集的定义，找出集合M,N的公共元素即可。【详解】因为集合 ，所以 ，故选C.【点睛】本题考查集合的表示方法，交集的定义与运算，属于基础题。2.复数（为虚数单位），则复数的共轭复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算，把复数化简为的形式，再求其共轭复数即可。【详解】 故选B.【点睛】
2、对于复数的四则运算，要熟悉复数的相关基本概念，如复数 的实部为a,虚部为b，模为 ，对应点为(a,b),共轭复数为。3.如图，在边长为的正方形内有不规则图形，由电脑随机从正方形中抽取个点，若落在图形内和图形外的点分别为，则图形面积的估计值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据几何概型的概率公式进行估计即可得到结论【详解】解：设图形 的面积为S，由电脑随机从正方形中抽取个点，落在图形内和图形外的点分别为 , 故选A.【点睛】本题主要考查几何概型的应用，利用面积比之间的关系是解决本题的关键，比较基础4.已知向量，且，则实数（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分
3、析】先求出向量 的坐标，由 得 ，代入坐标求出k的值【详解】 由 得，。 故选A.【点睛】本题考查了平面向量的数量积的坐标运算，向量垂直的坐标表示，是基础题5.等差数列的公差为，若成等比数列，则的前项和（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由成等比数列，所以 ，又 ，解得： ，再利用求和公式即可得出【详解】解： 成等比数列，可得 ，又 ，化简得： ，则an的前10项和 故选：C【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6.执行如图的程序框图，则输出的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】模拟执行程序框图
4、，依次写出每次循环得到的x，y的值，当 时，不满足条件退出循环，输出x的值即可得解【详解】解：模拟执行程序框图，可得.满足条件，执行循环体，；满足条件，执行循环体， ；满足条件，执行循环体，；满足条件，执行循环体， ；观察规律可知，x的取值周期为3，由于，可得：满足条件，执行循环体，当 ,不满足条件，退出循环，输出x的值为2故选：D【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，根据循环的周期，得到跳出循环时x的值是解题的关键7.新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根
5、据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为、五个等级.某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是（ ）A. 获得A等级的人数减少了B. 获得B等级的人数增加了1.5倍C. 获得D等级的人数减少了一半D. 获得E等级的人数相同【答案】B【解析】【分析】设出两年参加考试人数，然后根据图表计算两年等级为A,B,C,D,E的人数，由此判断出正确选项.【详解】设年参加考试人，则
6、年参加考试人，根据图表得出两年各个等级的人数如下图所示：年份ABCDE20162018由图可知A,C,D选项错误，B选项正确，故本小题选B.【点睛】本小题主要考查图表分析，考查数据分析与处理能力，属于基础题.8.已知命题：，命题：，则下列命题正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用导数和函数零点分别判断命题p,q的真假，从而判断出复合命题的真假即可。【详解】解：令 ，时， ，所以f(x)在 单调递增， ，p真；令 ， ， ，所以 在 恒成立，q假；故选C.【点睛】本题考查利用导数研究函数最值，复合命题真假的判断，属于中档题。9.一个几何体的三视图如图所示，那么这个几
7、何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以侧视图为底面的柱体，分别求出柱体的底面面积和高，代入柱体体积公式，可得答案【详解】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以侧视图为底面的柱体，柱体的底面由一个边长为4的正方形和一个底边长为4，高为2的三角形组成，故柱体的底面面积S44+2420，由三视图可知h6故柱体的体积VSh120，故选：B【点睛】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积10.已知函数，给出下
8、列四个结论：函数的最小正周期是函数在区间上是减函数函数的图像关于点对称函数的图像可由函数的图像向左平移个单位得到其中正确结论的个数是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先利用两角和与差的三角函数公式对函数 化一，求解函数的周期判断的正误；利用函数的单调性判断的正误；利用函数ysinx的对称中心判断的正误；利用函数的图象的变换判断的正误；【详解】解： 因为2，则f（x）的最小正周期T，结论正确当时， ，y=sinx在上不是单调函数，结论错误因为f（）0，则函数f（x）图象的一个对称中心为 结论正确函数f（x）的图象可由函数ysin2x的图象向左平移个单位得到结论错误故正确结论
9、有，故选B.【点睛】本题考查了辅助角公式在三角函数化简中的应用，正弦函数的周期性、对称性、单调性以及图象平移问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力，属于中档题。11.已知抛物线与双曲线的一条渐近线的交点为为抛物线的焦点，若，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设出M坐标，利用抛物线的定义以及双曲线方程，转化推出a，c关系，即可得到双曲线的离心率【详解】解：设M（m，n），则由抛物线的定义可得|MF|m+12，m1，n24， ，将点 代入双曲线的渐近线方程 ， ， ，故选：D【点睛】本题考查抛物线与双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算
10、能力12.如图，已知正方体的棱长为2，为棱的中点，为棱上的点，且满足，点、为过三点、的面与正方体的棱的交点，则下列说法错误的是（ ）A. B. 三棱锥的体积C. 直线与面的夹角是D. 【答案】C【解析】【分析】根据面面平行的性质定理，判断A选项是否正确，计算出三棱锥的体积判断B选项是否正确，计算直线与平面所成角的正切值，判断C选项是否正确，计算的值判断D选项是否正确.【详解】对于A选项，由于平面平面，而平面与这两个平面分别交于和，根据面面平行的性质定理可知，故A选项判断正确.由于，而是中点，故.对于B选项，故B选项判断正确.对于C选项，由于平面，所以直线与平面所成角为，且，故C选项判断错误.对
11、于D选项，根据前面计算的结果可知，故D选项判断正确.综上所述，本小题选C.【点睛】本小题主要考查面面平行的性质定理，考查三棱锥体积计算，考查线面角的概念，考查平行与比例等知识，综合性较强，属于中档题.第卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卷上）13.曲线在点处的切线方程为_【答案】【解析】【分析】先对原函数求导，再令x=1解出切线的斜率，利用点斜式求出切线方程。【详解】解：令 ， ，切线方程为 。故填： 。【点睛】本题主要考查导数的几何意义，应用导数求切线方程。14.若，满足约束条件，则的最大值为_.【答案】4【解析】【分析】画出可行域，通过向上平移
12、基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值，且最大值为.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.15.设直线，与圆交于，且，则的值是_【答案】10或-30【解析】【分析】首先利用垂径定理求出圆心到直线的距离，再利用点到直线距离公式求出a即可。【详解】解：因为 ，圆心为，半径为r=5， ，由垂径定理得 ，
13、所以圆心到直线的距离为4。 故填：10或-30.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆相交的垂径定理以及点到直线距离公式的应用。16.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章中有己知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式就是，共中，是的内角，的对边为.若，且，1，成等差数列，则面积的最大值为_.【答案】【解析】【分析】先根据正弦定理得,再根据余弦定理化简得【详解】因为，所以,因此,因为，1，成等差数列，所以+=2,因此，即面积的最大值为.【点睛】本题考查正余弦定理
14、以及二次函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分.17.等差数列的前项和为，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为的形式，列方程组，解方程组求得，由此求得数列的通项公式.（2）先求得等差数列前项和，然后利用裂项求和法求得数列的前项和.【详解】解：（1）设等差数列的首项为，公差为，则，即，.（2）由（1）得，.【点睛】本小
15、题主要考查利用基本元的思想求等差数列的基本量、通项公式和前项和.基本元的思想是在等差数列中有个基本量，利用等差数列的通项公式或前项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列，进而求得数列其它的一些量的值.还考查了裂项求和法求数列的前项和.18.如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面平面，且，为的中点，（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接，交于点，连接，根据三角形中位线的性质可得，再根据线面平行的判定可得结论成立（2）在中由余弦定理得，于是在平面内，作，交的延长线于，由条件可得平面，即为点到平面的距离，然后再结合求解可得所求
16、【详解】（1）证明：连接，交于点，连接为的中点，为的中点，为的中位线， ，且又平面，平面，平面 （2）中，由余弦定理得，且为的中点，在中，在平面内，作，交的延长线于平面平面，平面平面,平面即为点到平面的距离点为的中点，点到平面的距离是长度的一半在中，【点睛】在求空间几何体的体积时，要注意分清几何体的形状，对于形状规则的几何体可直接根据公式求其体积；对于形状不规则的几何体，可根据“分割”或“补形”的方法转化为形状规则的几何体再求其体积19.本市摄影协会准备在2019年10月举办主题为“庆祖国70华诞我们都是追梦人”摄影图片展.通过平常人的镜头记录国强民富的幸福生活，向祖国母亲的生日献礼.摄影协会
17、收到了来自社会各界的大量作品，打算从众多照片中选取100张照片展出，其参赛者年龄集中在之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如图：（1）根据频率分布直方图，求这100位摄影者年龄的样本平均数和中位数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）为了展示不同年龄作者眼中的祖国形象，摄影协会按照分层抽样的方法，计划从这100件照片中评出20个最佳作品，并邀请作者参加“讲述照片背后的故事”座谈会.在答题卡上的统计表中填出每组应抽取的人数；年龄人数若从较年轻的前三组作者中选出2人把这些图片和故事整理成册，求这2人至少有一人的年龄在的概率.【答案】（1）平均数60，中位数（2）详见解析；.【解析】【分析】
18、（1）利用每组中点值作为代表，分别乘以频率然后相加，求得样本的平均数.根据面积之和为列方程，解方程求得的值.（2）根据比例求得分层抽样每组应抽取的人数.利用列举法和古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.【详解】解：（1）在频率分布直方图中，这100位参赛者年龄的样本平均数.设中位数为，由，解得（或答55.57）.（2）每组应各抽取人数如下表：年龄抽取人数123743根据分层抽样的原理，年龄在前三组内分别有1人、2人、3人，设在第一组的是，在第二组的是，在第三组的是，列举选出2人的所有可能如下：，.共15种情况.设“这2人至少有一人的年龄在区间”为事件，所有可能如下：， ，共9种情况.则.【点
19、睛】本小题主要考查频率分布直方图估计平均数和中位数，考查分层抽样，考查列举法求古典概型，属于基础题.20.已知椭圆：的离心率为，且椭圆上一点的坐标为.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于，两点，且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线恒过轴上一定点.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）将点的坐标代入椭圆方程，结合椭圆离心率列方程，解方程求得的值，由此求得椭圆方程.（2）当直线斜率不为零时，设直线方程为，联立直线的方程和椭圆方程，消去得到关于的一元二次方程，写出韦达定理，根据圆的几何性质得到，将坐标代入上式列方程，解方程求得的值，由此判断直线恒过点.当直线斜率为时，也
20、过.由此证得直线恒过轴上一定点.详解】解：（1）由已知，又，则.椭圆方程为，将代入方程得，故椭圆的方程为；（2）不妨设直线方程，联立消去得.设，则有，又以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，由，得，将，代入上式得，将代入上式求得或（舍），则直线恒过点.若直线斜率为0也符合条件，故直线恒过定点.【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查圆的几何性质，考查向量数量积的坐标运算，考查直线过定点的问题.属于中档题.21.已知函数.（1）若函数在处取得极值，求的值；（2）讨论函数的单调性.【答案】(1);(2)详见解析.【解析】【分析】先求得函数的定义域和导数.（1）利用列方程，解方
21、程求得的值.然后根据函数的单调区间验证在处取得极值，由此求得的值.（2）对分成三种情况，利用导数求得函数的单调区间.【详解】函数的定义域为，.（1）由于函数下处取得极值，故，解得.此时，函数在上递增，在上递减，故在处取得极小值.所以.（2）由于函数的定义域为，.令，解得故当时，此时函数在上递增，在上递减.当时，函数在上递增.当时，此时函数在上递增，在上递减.【点睛】本小题主要考查已知极值点求参数，考查利用导数求函数的单调区间，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22.在平面直角坐
22、标系中，已知曲线（为参数），.以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（I）写出曲线与圆的极坐标方程；（II）在极坐标系中，已知射线分别与曲线及圆相交于，当时，求的最大值.【答案】（I）,；（II）.【解析】【分析】（I）将曲线的参数消去转化为普通方程，然后转化为极坐标方程.利用普通方程与极坐标方程的互化公式将圆的普通方程转化为直角坐标方程.（II）由于两个三角形的高相同，故将面积的比转化为，将代入曲线和圆的极坐标方程，求得，由此求得的表达式，利用辅助角公式进行化简，并根据三角函数的值域，求得的最大值.【详解】()曲线普通方程为，由普通方程与极坐标方程的互化公式的的极坐标方程为：，即.
23、曲线的极坐标方程为： . ()因为与以点为顶点时，它们的高相同，即 ,由()知，所以 ,由得，所以当即时，有最大值为,因此 的最大值为.【点睛】本小题主要考查参数方程转化为普通方程，考查普通方程转化为极坐标方程，考查三角形面积的比，考查极坐标系下长度的计算，属于中档题.23.已知函数，.()当，求不等式的解集；()若函数满足，且恒成立，求的取值范围.【答案】()；().【解析】【分析】（I）当时，利用零点分段法去绝对值，将所求不等式转化为不等式组来求解出来.（II）根据求得图像关于对称，由此求得的值，将不等式恒成立问题，转化为恒成立.利用分离常数法，结合基本不等式，求得的取值范围.【详解】()当 ， ， 等价于 或 ，解得 ，所以原不等式的解集为 ； ()因为 ，所以函数 的图像关于直线 对称， , 因为 恒成立，等价于 恒成立，令 ，当时， ，可知 ；原不等式等价于 ；当时， ； 综上，的取值范围为 .【点睛】本小题主要考查利用零点分段法解绝对值不等式，考查利用分离常数法求解不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
