1、第五节指数与指数函数学习要求:1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点.4.知道指数函数是一类重要的函数模型.1.指数幂的概念(1)根式的概念:根式的概念符号表示备注如果xn=a(aR,n1,nN*),那么x叫做a的n次方根n1且nN*当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数na0的n次方根是0当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数na负数没有偶次方根(2)两个重要公式:nan=a,n为奇数,|a|=a(a0),-a(a0,m,nN
2、*,n1);(ii)正数的负分数指数幂:a-mn=1amn=1nam(a0,m,nN*,n1);(iii)0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义.(2)有理数指数幂的运算性质:(i)aras=ar+s(a0,r,sQ);(ii)(ar)s=ars(a0,r,sQ);(iii)(ab)r=arbr(a0,b0,rQ).3.指数函数的图象与性质a10a0时,y1;当x0时,0y0时,0y1;当x1在(-,+)上是单调增函数在(-,+)上是单调减函数知识拓展指数函数的图象与底数大小的关系.下图是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图象,底数a,b,c,d与1
3、之间的大小关系为cd1ab0.由此我们可以得到以下规律:在第一象限内,指数函数y=ax(a0,且a1)的图象越高,底数越大.1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)nan与(na)n都等于a(nN*).()(2)函数y=23x与y=2x+1都不是指数函数.()(3)若am0,且a1),则mn.()(4)当a0,且a1)的图象必经过点()A.(0,1)B.(1,1)C.(2,0)D.(2,2)答案D令x-2=0得x=2,则f(2)=a0+1=2,所以f(x)的图象必过点(2,2).3.某种产品的年产量原来是a件,在今后m年内,计划使每年的产量比上一年增加p%,则该产品的年产量y随年数x
4、变化的函数解析式为()A.y=a(1+p%)x(0xm,xN)B.y=a(1+p%)x(0xm,xN)C.y=a(1+xp%)(0xm,xN)D.y=a(1+xp%)(0xm,xN)答案B设年产量经过x年增加到y件,则第一年为y=a(1+p%),第二年为y=a(1+p%)(1+p%)=a(1+p%)2,第三年为y=a(1+p%)(1+p%)(1+p%)=a(1+p%)3,则y=a(1+p%)x(0xm且xN).4.32,54,88三个数从小到大的排列顺序是.答案328854解析32=213,54=225,88=238,所以32880时,f(x)0时,(a-1)x1恒成立,所以0a-11,所以1
5、a0)的值是()A.1B.aC.a15D.a1710(2)3-22+3(1-2)3+4(1-2)4+5-26=.答案(1)D(2)3-1角度二化简求值典例2化简下列各式:(1)2350+2-2214-12-(0.01)0.5;(2)56a13b-2(-3a-12b-1)(4a23b-3)12.解析(1)原式=1+144912-110012=1+1423-110=1+16-110=1615.(2)原式=-52a-16b-3(4a23b-3)12=-54a-16b-3(a13b-32)=-54a-12b-32=-541ab3=-5ab4ab2.规律总结指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的
6、,无括号的先进行指数运算.(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数的,先确定符号;底数是小数的,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.(4)若是根式,则化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.提醒运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又有负指数,形式力求统一.1.(a23b-1)-12a-12b136ab5=.答案1a解析原式=a-13b12a-12b13a16b56=a-13-12-16b12+13-56=1a.2.32-13-760+81442-2323=.答案2解析原式=23131+234214-2313=2.指数函数的
7、图象及应用典例3(1)函数f(x)=-3|x|+1的大致图象是()(2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是.答案(1)A(2)-1,1解析(1)因为函数f(x)=-3|x|+1,所以f(-x)=-3|-x|+1=-3|x|+1=f(x),即函数f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故排除B,D.当x=0时,f(0)=-30+1=0,即函数f(x)的图象过原点,故排除C.故选A.(2)作出曲线|y|=2x+1(如图),要使该曲线与直线y=b没有公共点,只需-1b1.变式探究本典例(2)中若曲线y=|2x-1|与直线y=b有两个公共点,求b的取值范围.解析作出曲线y=|
8、2x-1|与直线y=b如图所示.由该图得b的取值范围是(0,1).方法技巧应用指数函数图象的4个技巧(1)画指数函数y=ax(a0,a1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),-1,1a.(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断所给的图象是否过这些点,若不满足,则排除.(3)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时,应注意分类讨论.(4)有关指数方程、不等式问题往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解.1.函数y=ax-1a(a0,且a1)的图象可能是()答案Da0,1a0,函
9、数y=ax需向下平移1a个单位长度,不过(0,1)点,所以排除A,当a1时,01a1,所以排除B,当0a1,所以排除C,故选D.2.已知函数f(x)=ax-2+7(a0,且a1)的图象恒过定点P,若定点P在幂函数g(x)的图象上,则幂函数g(x)的图象是()答案D由题意知f(2)=a2-2+7=8,所以定点P的坐标为(2,8),设幂函数g(x)=x,将P(2,8)代入得2=8,故=3,即g(x)=x3,故选D.3.若关于x的方程|ax-1|=2a(a0,且a1)有两个不相等的实数根,则a的取值范围是.答案0,12解析方程|ax-1|=2a(a0,a1)有两个不相等的实数根等价于函数y=|ax-
10、1|的图象与y=2a的图象有两个交点.当0a1时,如图,所以02a1,即0a1时,如图,而y=2a1,不符合题意.所以0a12.指数函数的性质及应用角度一比较指数幂的大小典例4(1)已知a=1223,b=2-43,c=1212,则下列关系式中正确的是()A.cabB.bacC.acbD.abc(2)设a=0.230.32,b=20.01,c=0.320.23,则a,b,c的大小关系为.答案(1)B(2)ac2312,所以124312231212,即bac.(2)0.230.320.230.230.320.23120.01,所以acf(3a)的解集为()A.(-4,1)B.(-1,4)C.(1,
11、4)D.(0,4)(2)已知133x+191-x,则x的取值范围是.(3)已知4x-2x+1-80,所以ex+11,所以-2-2ex+10,所以-11+-2ex+1m2-4m+2恒成立,求实数m的取值范围.答案(1)(-,1解析(1)令u=-x2+2x+1,y=12u为减函数,函数y=12-x2+2x+1的单调减区间即函数u=-x2+2x+1的单调增区间.又u=-x2+2x+1的单调增区间为(-,1,函数f(x)的单调减区间为(-,1.(2)f(x)是R上的单调递增函数.f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x),a-2e-x+1=-a+2ex+1,2a=2,a=1,f(x)=1-2ex+1,令
12、t=ex+1,ex0,t1,又g(t)=1-2t在(1,+)上为增函数,-1g(t)1,即-1f(x)m2-4m+2对任意的实数x恒成立,m2-4m+2-1,即m2-4m+30,1m3,故实数m的取值范围是1,3.规律总结1.利用指数函数的性质比较大小或解不等式,最重要的是“同底”原则.2.求解与指数函数有关的复合函数问题,要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,要借助“同增异减”这一性质分析判断.1.不等式12x2+ax0,a1,x0)的图象经过点(3,0.5).(1)求a的值;(2)求函数f(x)=ax-2(x0)的值域.解析(1)函数f(x)=ax-2的图象经过点(3,0
13、.5),a3-2=0.5,a=12.(2)由(1)可知f(x)=12x-2(x0),0120,函数f(x)的值域为(0,4.A组基础达标1.已知a0,则a3a2=()A.a12B.a32C.a23D.a13答案D2.若3a4,则化简(3-a)2+4(4-a)4的结果是()A.7-2aB.2a-7C.1D.-1答案C3.已知在同一平面直角坐标系下,指数函数y=ax和y=bx的图象如图所示,则下列关系中正确的是()A.ab1B.bab1D.ba1答案C由题图知a,b均大于1,因为y=ax与x=1的交点在y=bx与x=1的交点上方,所以bb1.故选C.4.(2020山东济宁二中期末)若函数f(x)=
14、a|2x-4|(a0,且a1),且f(1)=19,则f(x)的单调递减区间是()A.(-,2B.2,+)C.-2,+)D.(-,-2答案B由f(1)=19得a2=19,解得a=13或a=-13(舍去),即f(x)=13|2x-4|.因为y=|2x-4|在(-,2)上单调递减,在2,+)上单调递增,且y=13x在R上为减函数,所以f(x)在(-,2上单调递增,在2,+)上单调递减.故选B.5.(2019安徽肥东第二中学高一期中)若函数f(x)=(3-a)x-3,x7,ax-6,x7是定义域内的单调递增函数,则实数a的取值范围是()A.94,3B.94,3C.(1,3)D.(2,3)答案B函数f(
15、x)=(3-a)x-3,x7,ax-6,x7是定义域内的单调递增函数,3-a0,a1,(3-a)7-3a,解得94a1,所以f(x)=x-4+9x+1=x+1+9x+1-52(x+1)9x+1-5=1,当且仅当x=2时取等号,此时函数f(x)的最小值为1,所以a=2,b=1,故g(x)=2|x+1|=2x+1,x-1,12x+1,x-1,函数g(x)的图象由函数y=2x,x0,12x,x0的图象向左平移1个单位长度得到.再结合指数函数的图象及选项可知A正确.8.函数y=2x2x+1(xR)的值域为()A.(0,+)B.(0,1)C.(1,+)D.0,12答案By=2x2x+1=2x+1-12x
16、+1=1-12x+1,012x+11,-1-12x+10,01-12x+11,即0y1,即函数的值域为(0,1),故选B.9.已知函数f(x)=|2x-1|,abf(c)f(b),则下列结论中,一定成立的是()A.a0,b0,c0B.a0C.2-a2cD.2a+2c2答案D作出函数f(x)=|2x-1|的图象,如图中实线所示,abf(c)f(b),结合图象知f(a)1,a0,0f(c)1,0c1,02a1,12cf(c),1-2a2c-1,即2a+2c0,且a1)的图象必过定点A,则点A的坐标是.答案(2,4)解析指数函数的图象恒过定点(0,1),令4-2x=0,得x=2,f(2)=a0+3=
17、4,点A的坐标是(2,4).11.已知函数f(x)=2x,x0,-x2-2x+1,x0,若f(f(a)=4,则a=.答案1或-1解析令m=f(a),则f(m)=4,当m0时,2m=4,解得m=2;当m0时,-m2-2m+1=4,无解.故f(a)=2,当a0时,2a=2,解得a=1;当a0时,-a2-2a+1=2,解得a=-1.综上,a=1或a=-1.12.(2020上海高三专题练习)设函数f(x)=3x-1,x1,2x,x1,若f(f(a)=2f(a),则a的取值范围是.答案23,+解析令f(a)=t,则f(t)=2t,当t1时,3t-1=2t,作出直线y=3t-1(t1)和函数y=2t(t1
18、)的图象如图所示.由图象可知,当t1时,3t-1=2t无解,当t1时,2t=2t恒成立,由f(a)1得当a1时,3a-11,解得23a0,且a1)在-1,1上的最大值是14,则实数a的值为.答案13或3解析令t=ax(a0,且a1),则原函数可转化为f(t)=(t+1)2-2(t0).当0a1,x-1,1时,t1a,a,因为f(t)在1a,a上是增函数,所以f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14,解得a=3或a=-5(舍去).综上,a=13或3.C组思维拓展14.已知函数f(x)=10x-10-x10x+10-x.(1)判断函数f(x)的奇偶性;(2)证明:函数f(x)在定义域内是增
19、函数;(3)求函数f(x)的值域.解析(1)易知f(x)的定义域为R,且f(-x)=10-x-10x10-x+10x=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.(2)证明:f(x)=10x-10-x10x+10-x=102x-1102x+1=1-2102x+1,任取x1,x2R,且x2x1,则f(x2)-f(x1)=1-2102x2+1-1-2102x1+1=2102x2-102x1(102x2+1)(102x1+1).因为x2x1,所以102x2-102x10,又102x2+10,102x1+10,所以f(x2)-f(x1)0,即f(x2)f(x1),所以函数f(x)在定义域内是增函数.(3)令
20、y=f(x),由y=10x-10-x10x+10-x,解得102x=1+y1-y,因为102x0,所以-1y0,且a1)是定义在(-,+)上的奇函数.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的值域;(3)当x(0,1时,tf(x)2x-2恒成立,求实数t的取值范围.解析(1)因为f(x)是定义在(-,+)上的奇函数,所以f(-x)=-f(x).所以1-42a-x+a=-1+42ax+a,即a=2.(2)记y=f(x),即y=2x-12x+1,所以2x=1+y1-y.由2x0得1+y1-y0,解得-1y1,所以f(x)的值域为(-1,1).(3)由tf(x)2x-2得t2x-t2x+12x-2,即(2x)2-(t+1)2x+t-20.令u=2x,因为x(0,1,所以u(1,2,即当u(1,2时,u2-(t+1)u+t-20恒成立.所以12-(t+1)1+t-20,22-(t+1)2+t-20,解得t0.故实数t的取值范围是0,+).