1、阶段质量检测（二） 随机变量及其分布(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为，则 “5” 表示的试验结果是()A第5次击中目标B第5次未击中目标C前4次未击中目标 D第4次击中目标解析：选C击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为5，则说明前4次均未击中目标24个高尔夫球中有3个合格、1个不合格，每次任取一个，不放回地取两次若每一次取到合格的高尔夫球，则第二次取到合格高尔夫球的概率为()ABC D解析：选B法一：记事件A第一次取到
2、的是合格高尔夫球，事件B第二次取到的是合格高尔夫球由题意可得P(AB)，P(A)，所以P(B|A).法二：记事件A第一次取到的是合格高尔夫球，事件B第二次取到的是合格高尔夫球由题意可得事件B发生所包含的基本事件数n(AB)326，事件A发生所包含的基本事件数n(A)339，所以P(B|A).3设随机变量X的分布列为P(Xi)ai(i1,2,3)，则a的值为()A1 BC D解析：选D因为P(X1)，P(X2)，P(X3)，所以1，所以a.4如果随机变量X表示抛掷一个各面分别有1,2,3,4,5,6的均匀的正方体向上面的数字，那么随机变量X的均值为()A2.5 B3C3.5 D4解析：选CP(X
3、k)(k1,2,3，6)，E(X)126(126)3.5.5若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是，则该随机变量的方差等于()A10 B100C D解析：选C由正态分布密度曲线上的最高点知，即，D(X)2.6设随机变量XB(2，p)，随机变量YB(3，p)，若P(X1)，则D(3Y1)()A2 B3C6 D7解析：选C由题意得P(X1)P(X1)P(X2)Cp(1p)Cp2，所以p，则YB，故D(Y)3，所以D(3Y1)9D(Y)96.7若离散型随机变量X的分布列为P(Xk)，k1,2,3,4，则P(X1)等于()A BC D解析：选D由分布列的性质，有P(X1)，所以P(X1
4、)1P(X1)1.8某班有14名学生数学成绩优秀，如果从该班随机找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数XB，则E(2X1)等于()A BC3 D解析：选D因为XB，所以E(X)，则E(2X1)2E(X)121.9如果正态总体的数据落在(3，1)内的概率和落在(3,5)内的概率相等，那么这个正态总体的数学期望是()A0 B1C2 D3解析：选B正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等，区间(3，1)和(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的因为正态曲线关于直线x对称，的概率意义就是期望，而区间(3，1)和(3,5)关于x1对称，所
5、以正态总体的数学期望是1.10在某市2018年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N(98,100)已知参加本次考试的全市理科学生约有9 450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第()A1 500名 B1 700名C4 500名 D8 000名解析：选A因为理科生的数学成绩服从正态分布XN(98,100)，所以P(X108)1P(88X108)1P(X)(10.682 7)0.158 65，所以0.158 659 4501 500，故该学生的数学成绩大约排在全市第1 500名11若同时抛掷两枚骰子，当至少有5点或6点出现时，就说这
6、次试验成功，则在3次试验中至少有1次成功的概率是()A BC D解析：选C一次试验中，至少有5点或6点出现的概率为11，设X为3次试验中成功的次数，则XB，故所求概率P(X1)1P(X0)1C03.12一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c(0,1)，已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为()A BC D解析：选D由已知，得3a2b0c2，得3a2b2，所以ab3a2b2.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中的横线上)13设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p_时，成功
7、次数的方差的值最大，其最大值为_解析：成功次数XB(100，p)，所以D(X)100p(1p)100252，当且仅当p1p，即p时，成功次数的方差最大，其最大值为25.答案：2514随机变量X的分布列如下：其中a，b，c成等差数列若E(X)，则D(X)的值是_.X101Pabc解析：E(X)ca.又a，b，c成等差数列故2bac.由分布列性质知abc1.解得a，b，c.所以D(X)222.答案：15一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获得50元，生产一件乙等品可获得30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6,0.3和0.1，则这台机器每生产
8、一件产品平均预期获利_元解析：设生产一件该产品可获利钱数为X，则随机变量X的取值可以是20,30,50. 依题意，X的分布列为X203050P0.10.30.6故E(X)200.10.330500.637(元)答案：3716甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是_(写出所有正确结论的序号)P(B)；P(B|A1)；事件B与事件A1相互独立；A1，A2，A3是两两互斥的事件；P(B)的
9、值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关解析：从甲罐中取出一球放入乙罐，则A1，A2，A3中任意两个事件不可能同时发生，即A1，A2，A3两两互斥，故正确，易知P(A1)，P(A2)，P(A3)，则P(B|A1)，P(B|A2)，P(B|A3)，故对错；P(B)P(A1B)P(A2B)P(A3B)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)P(A3)P(B|A3)，故错误综上知，正确结论的序号为.答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为X(单位：小时)，已知X N(1 00
10、0,302)，要使灯泡的平均寿命为1 000小时的概率为99.73%，问灯泡的最低寿命应控制在多少小时以上？解：因为XN(1 000,302)，所以1 000，30.所以P(1 000330X1 000330)P(910X1 090)99.73%.所以灯泡的最低寿命应控制在910小时以上18(本小题满分12分)摇奖器中有10个小球，其中8个小球上标有数字2,2个小球上标有数字5，现摇出3个小球，规定所得奖金(元)为这些小球上记号之和，如果参加此次摇奖，求获得所有可能奖金数及相应的概率解：设此次摇奖的奖金数额为X元，当摇出的3个小球均标有数字2时，X6；当摇出的3个小球中有2个标有数字2,1个标
11、有数字5时，X9；当摇出的3个小球有1个标有数字2,2个标有数字5时，X12.所以所有奖金数有6,9,12.所以P(X6)，P(X9)，P(X12).19(本小题满分12分)某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加某省举办的演讲比赛活动(1)设所选3人中女生人数为X，求X的分布列；(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；(3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B)和P(B|A)解：(1)X的所有可能取值为0,1,2，依题意得P(X0)，P(X1)，P(X2).X的分布列为X012P(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C，则P(C).所求概率为P(
12、)1P(C)1.(3)P(B)；P(B|A).20(本小题满分12分)袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，X表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X的分布列及均值E(X)解：(1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A).(2)由题意，X所有可能的取值为2,3,4,5.P(X2)；P(X3)；P(X4)；P(X5).所以随机变量X的分布列为X2345PE(X)2345.21(本小题满分12分)为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚，为了更好地
13、了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，得到如下数据：处罚金额x(单位：元)05101520会闯红灯的人数y8050402010(1)若用表中数据所得频率代替概率，则处罚10元时与处罚20元时，行人会闯红灯的概率的差是多少？(2)若从这5种处罚金额中随机抽取2种不同的金额进行处罚，在两个路口进行试验求这两种金额之和不低于20元的概率；若用X表示这两种金额之和，求X的分布列和数学期望解：(1)由条件可知，处罚10元会闯红灯的概率与处罚20元会闯红灯的概率的差是.(2)设“两种金额之和不低于20元”的事件为A，从5种金额中随机抽取2种，总的抽选方法共有C10种，满足金额之和不低于2
14、0元的有6种，故所求概率为P(A).根据条件，X的可能取值为5,10,15,20,25,30,35，分布列为X5101520253035P故E(X)510152025303520(元)22(本小题满分12分)某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，且三人投票相互没有影响若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖(1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；(2)求该节目投票结果中所含“获奖”票和“待定”票票数之和X的分布列及数学期望解：(1)设某节目的投票结果是最终获一等奖这一事件为A，则事件A包括：该节目可以获2张“获奖”票，或者获3张“获奖”票因为甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，且三人投票相互没有影响，所以P(A)C21C3.(2)所含“获奖”票和“待定”票票数之和X的值为0,1,2,3.P(X0)C3；P(X1)C2；P(X2)C2；P(X3)C3.因此X的分布列为X0123P所以X的数学期望为E(X)01232.