1、第二章 圆锥曲线与方程2.1 椭圆2.1.1 椭圆及其标准方程A级基础巩固一、选择题1设定点F1(0，2)，F2(0，2)，动点P满足条件|PF1|PF2|m(m2)，则点P的轨迹是()A椭圆 B线段C不存在 D椭圆或线段解析：因为m2，所以m24，所以点P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆答案：A2椭圆1的焦点坐标是()A(5，0) B(0，5)C(0，12) D(12，0)解析：因为c2a2b216925122，所以 c12.又焦点在y轴上，故焦点坐标为(0，12)，答案：C3已知椭圆1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，到另一个焦点的距离为7，则m()A10 B5 C15 D25解析：设椭
2、圆的焦点分别为F1，F2，则由椭圆的定义，知|PF1|PF2|2a10，所以 a5，所以 a225，所以 椭圆的焦点在x轴上，m25.答案：D4已知ABC的顶点B，C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是()A2 B6 C4 D12解析：由椭圆的方程可得a，由椭圆的定义可知ABC的周长是4a4.答案：C5如果方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是()Aa3 Ba2Ca3或a2 Da3或6a2解析：由a2a60得所以所以a3或6a2.答案：D二、填空题6已知椭圆5x2ky25的一个焦点是(0，2)，则k_解析：易知k0，椭圆方程可化为
3、x21，所以 a2，b21.又c2，所以 14，所以 k1.答案：17已知椭圆的焦点是F1(1，0)，F2(1，0)，P是椭圆上的一点，则|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项，则该椭圆的方程是_解析：由题意得2|F1F2|PF1|PF2|，所以 4c2a4，所以 a2.又c1，所以 b2a2c23，故椭圆方程为1.答案：18若椭圆1上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，则PF1F2的面积为_解析：设|PF1|x，则|PF2|14x，又2c10，根据勾股定理，得x2(14x)2100，解得x8或x6，所以S8624.答案：24三、解答题9写出适合下列条件的椭圆的标准方程(1
4、)a5，c2；(2)经过P1(，1)，P2(，)两点；(3)以椭圆9x25y245的焦点为焦点，且经过点M(2，)解：(1)由b2a2c2，得b225421.所以 椭圆的标准方程为1或1.(2)法一：当焦点在x轴上时，设椭圆方程为1(ab0)，由已知，得即所求椭圆的标准方程是1.当焦点在y轴上时，设椭圆方程为1(ab0)，由已知，得与ab0矛盾，此种情况不存在综上，所求椭圆的标准方程是1.法二：由已知，设椭圆的方程是Ax2By21，故即所求椭圆的标准方程是1.(3)法一：方程9x25y245可化为1，则焦点是F1(0，2)，F2(0，2)设椭圆方程为1(ab0)，因为点M在椭圆上，所以 2a|
5、MF1|MF2|(2)(2)4，所以 a2，即a212，所以 b2a2c21248，所以 椭圆的标准方程为1.法二：由题意，知焦点F1(0，2)，F2(0，2)，设所求椭圆方程为1(0)，将x2，y代入，得1，解得8或2(舍去)所求椭圆的标准方程为1.10已知圆A：(x3)2y2100，圆A内一定点B(3，0)，圆P过B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程解：如图，设圆P的半径为r，又圆P过点B，所以 |PB|r.又因为圆P与圆A内切，圆A的半径为10，所以 两圆的圆心距|PA|10r，即|PA|PB|10(大于|AB|)所以 点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆所以 2a10，2c|AB|6.所以
6、a5，c3.所以 b2a2c225916.所以 点P的轨迹方程为1.B级能力提升1平面内有两个定点A，B及动点P，设甲：|PA|PB|是定值，乙：点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，则甲是乙的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，则|PA|PB|是定值，由椭圆的定义，知反之不一定成立答案：B2若椭圆1的焦距等于2，则m的值是_解析：当椭圆的焦点在x轴上时，a2m，b215，所以 c2m15，所以 2c22，解得m16；当椭圆的焦点在y轴上时，同理有22，所以 m14.答案：16或143已知P是椭圆y21上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点(1)当F1PF260时，求F1PF2的面积；(2)当F1PF2为钝角时，求点P横坐标的取值范围解：(1)由椭圆的定义，得|PF1|PF2|4，且F1(，0)，F2(.0)在F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60.由得|PF1|PF2|.所以SF1PF2|PF1|PF2|sin F1PF2.(2)设点P(x，y)，由已知F1PF2为钝角，得0，即(x，y)(x，y)0，又y21，所以x22，解得x，所以点P横坐标的取值范围是x.