1、湖南省郴州市2020届高三数学第一次教学质量监测（12月）试题 理（含解析）一、选择题：本大题共12小题每小题有且只有一项是符合题目要求的1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别求出集合、，再根据交集的定义运算.【详解】解：，故选：【点睛】本题考查指数不等式、对数不等式以及交集的运算，属于基础题.2.若复数为纯虚数，则实数（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】根据复数运算法则化简，纯虚数，即实部为零，虚部不为零.【详解】由题：为纯虚数，则解得：.故答案为：D【点睛】此题考查复数的基本运算和概念辨析，需要注意熟练掌握运算法则，弄清相关概念，
2、纯虚数必须实部为零且虚部不为零.3.下列结论中正确的个数是（ ）在中，若，则是等腰三角形；在中，若 ，则两个向量，共线的充要条件是存在实数，使等差数列的前项和公式是常数项为0的二次函数A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】分析】对每个命题逐一检验其正确性:：若，则或；:转化为证明其逆否命题：在中，若，则，结合正弦函数单调性可证；：若，不合命题的充要性，命题为假；：常数列不合题意.【详解】对于：若，则或，即或即是等腰三角形或直角三角形，所以该命题不正确；对于：证明其等价命题即其逆否命题：在中，若，则当时，由正弦函数单调递增可得；当时，所以原命题成立，所以该命题正确；对于：若，满足向量
3、，共线，但不存在实数，使，所以该命题不正确；对于：常数列，通项公式，其前项和公式不是二次函数，所以该选项不正确，综上：只有一个正确.故选：B【点睛】此题考查对命题真假性的判断，涉及解三角形，向量，数列相关知识，此类问题涉及面广，考查全面，对综合能力要求较高.4.已知向量，且，则向量在方向上的投影为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据得到即可求出，再根据求出在方向上的投影.【详解】解：，且解得在方向上的投影故选：【点睛】本题考查向量的数量积的坐标运算以及向量的数量积的几何意义，属于基础题.5.郴州市某校高一（10）班到井冈山研学旅行，决定对甲、乙、丙、丁这四个景馆进行研学
4、体验，但由于是高峰期，景馆为高一（10）班调整了路线，规定不能最先去甲景馆研学，不能最后去乙景馆和丁景馆研学，如果你是该班同学，你能为这次愉快的研学旅行设计多少条路线（ ）A. 24B. 18C. 16D. 10【答案】D【解析】【分析】分两种情况讨论：最后去甲景馆研学，最后去丙景馆研学，分别计算结果，再根据分类加法计数原理相加可得.【详解】解：规定不能最先去甲景馆研学，不能最后去乙景馆和丁景馆研学；故分两种情况讨论：最后去甲景馆研学，则种；最后去丙景馆研学，则种；根据分类加法计数原理可得一共有种方案.故选：【点睛】本题考查简单的排列组合问题，属于基础题.6.函数的大致图象是（ ）A. B.
5、C. D. 【答案】B【解析】由于，且，故此函数是非奇非偶函数，排除；又当时，满足，即的图象与直线的交点中有一个点的横坐标为，排除， 故选B【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除7.我国古代的天文学和数学著作周髀算经中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（gui）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长）
6、二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个晷长的变化量相同，周而复始若冬至晷长一丈四尺五寸，夏至晷长二尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至之后的第三个节气（立秋）晷长是（ ）A. 五寸B. 二尺五寸C. 五尺五寸D. 四尺五寸【答案】C【解析】【分析】设晷影长为等差数列，公差为，利用等差数列的通项公式即可得出【详解】解：设晷影长为等差数列，公差为，则，解得夏至之后的第三个节气（立秋）晷长是五尺五寸故选：【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8.已知x，y满足约束条件，若（）的最大值是16，则a的值为（ ）A. 2B. C. 4D. 【答案】A【解析】【
7、分析】画出满足约束条件，的平面区域，求出，的坐标，由得：，结合函数的图象显然直线过时，最大，求出的值即可【详解】解：画出满足约束条件的平面区域，如图示：由，解得：，由得：，当直线过时，最大，此时，解得： 故选：【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题9.已知双曲线的左、右焦点分别为，圆上的点到直线的距离最小值为m，若双曲线上一点P，使，则的值为（ ）A. 3B. 2C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据圆上的点到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径，即可求出，再根据正弦定理可得，结合双曲线的定义可求，的值，在三角形中由余弦定理可得，最后由向量的数量积的定义
8、计算可得.【详解】解：圆上的点到直线的距离最小值为，在正弦定理，可得即，在三角形中由余弦定理可得故选：【点睛】本题考查双曲线的定义与性质，考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题10.丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”已知在上为“凸函数”，则实数m的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求函数导数，结合导数不等式进行求解，构造函数，利用函数的单调性研究函数的最值即可【详解】解：
9、在上为“凸函数”在上恒成立即在上恒成立令，在上单调递增即故选：【点睛】本题主要考查导数的综合应用，求函数的导数，构造函数，利用导数研究函数的极值和最值是解决本题的关键11.已知函数，若正实数a，b满足，则的最小值为（ ）A 7B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】通过求导数，根据导数符号可判断出是上的增函数，且是奇函数，从而根据可得出，从而得出，从而得出，且，都为正数，从而根据基本不等式即可求出最小值【详解】解：，是增函数，且是奇函数，由得，即 ，都为正数，当且仅当时取等号，的最小值为故选：【点睛】本题考查了根据导数符号判断函数单调性的方法，基本初等函数的求导公式，奇函数的定义，基本不等
10、式求最值的方法，考查了计算和推理能力，属于中档题12.在边长为的菱形ABCD中，沿对角边折成二面角为的四面体，则四面体外接球表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】正确作出图形，利用勾股定理建立方程，求出四面体的外接球的半径，即可求出四面体的外接球的表面积【详解】解：如图所示，设，则，由勾股定理可得，四面体的外接球的表面积为，故选：【点睛】本题考查四面体的外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确求出四面体的外接球的半径是关键二、填空题：本大题共4小题把答案填写在答题卡相应位置上13.展开式中的常数项为_【答案】【解析】【分析】根据题意，写出的展开式的通项，即可分析其常数
11、项.【详解】解：展开式的通项为当时即展开式中的常数项为故答案为：【点睛】本题考查二项式定理的应用，关键分析常数项出现的情况，属于基础题14.设等差数列满足，则数列的前n项和为_【答案】【解析】【分析】根据等差数列，求出其通项公式，即可得到的通项，再利用裂项相消法求出数列的前n项和.【详解】解：等差数列满足，解得设数列的前n项和为则故答案为：【点睛】本题考查等差数列通项公式的计算，以及裂项相消法求和，属于中档题.15.如图，B是AC上一点，以AB，BC，AC为直径作半圆过B作，与半圆相交于D，在整个图形中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是_【答案】【解析】【分析】设，根据勾股定理求出的值
12、，即可求出阴影部分的面积，根据概率公式计算即可【详解】解：连接，可知是直角三角形，又，所以，设，则有，得或，由图可知，由此可得图中阴影部分的面积等于，故概率，故答案为：【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，着重考查了面积公式、组合图形的面积计算和几何概型计算公式等知识，根据条件求出阴影部分的面积是解决本题的关键16.已知直线l：与椭圆：（）交于A、B两点，与圆：交于C、D两点若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是_【答案】【解析】【分析】求得直线恒过定点，即为圆心，为直径，由，可得的中点为，设，运用点差法和直线的斜率公式、中点坐标公式，即可得到所求离心率的范围【详解】解：直线，即为，可得
13、直线恒过定点，圆的圆心为，半径为1，且，为直径端点，由，可得的中点为，设，则，两式相减可得，由，可得，由，即有，则椭圆的离心率故答案为：【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其离心率的范围，注意运用直线恒过圆心，以及点差法求直线的斜率，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17题-21题为必考题22题、23题为选考题17.在中，角、所对的边分别为、，且向量与向量共线（1）求角的大小；（2）若，且，求三角形的面积【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据向量共线的坐标表示，即可列出等式结合正弦定理，求解未知数；（2）根据向量关系求出线段长度，由余
14、弦定理求出三角形边长，即可计算面积.【详解】（1）向量与向量共线共线，由正弦定理可得，又，（2），且，在中，由余弦定理有，即，解得，或（舍去），故【点睛】此题考查解三角形，结合向量共线的坐标表示，建立等量关系结合正弦定理求角，根据余弦定理求边，计算面积.18.如图，在五棱锥中，平面ABCDE，是等腰三角形（1）求证：平面PAC；（2）求由平面PAC与平面PED构成的锐二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理可即可证明，由，得到，又由线面垂直，得到，即可得证.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值.【详解】解：（1）在三角形中，由平面，平面，故
15、又平面（2）以为坐标原点，分别以、所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.四边形为直角梯形，易知，设是平面的一个法向量，令，则，易知平面的一个法向量为设所求二面角为，则【点睛】本题考查线面垂直的判定以及二面角的计算，属于中档题.19.郴州某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶6元，售价每瓶8元，未售出的饮料降价处理，以每瓶3元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温
16、数据，得下面的频数分布表：最高气温，天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率（1）求六月份这种饮料一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种饮料的利润为Y（单位：元），当六月份这种饮料一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？【答案】（2）详见解析；（2）时，的数学期望达到最大值，最大值为元【解析】【分析】（1）由题意知的可能取值为200，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，只需考虑，根据和分类讨论，能得到当时，最大值为520元【详解】解
17、：（1）由题意知的可能取值为200，300，500，的分布列为： 200 300 500 0.2 0.4 0.4（2）由题意知这种酸奶一天需求量至多为500瓶，至少为200瓶，只需考虑，当时，若最高气温不低于25，则；若最高气温位于区间，则；若最高气温低于20，则，当时，若最高气温不低于20，则，若最高气温低于20，则，时，的数学期望达到最大值，最大值为元【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列的求法，考查数学期望的最大值的求法，考查函数、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想，属于中档题20.已知点在椭圆上E：（），点为平面
18、上一点，O为坐标原点（1）当取最小值时，求椭圆E的方程；（2）对（1）中的椭圆E，P为其上一点，若过点的直线l与椭圆E相交于不同的两点S和T，且满足（），求实数t的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据点点在椭圆上，则，又根据基本不等式求得当时取得最小值，即可求得椭圆方程；（2）设直线的方程为，设点的坐标为，联立方程消元得，利用根的判别式求出的取值范围，再利用韦达定理求得，由得整理得到的式子，代入椭圆方程，即可求出参数的取值范围.【详解】解：（1）点在椭圆上，则当且仅当时取等号由解得所以椭圆的方程为（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，设点的坐标为，将直线方程代入椭圆
19、方程得：得设，则，由得代入椭圆方程得整理得由知【点睛】本题考查基本不等式求条件式的最小值，椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的综合应用问题，属于中档题.21.设函数，其中，e是自然对数的底数（1）若在上存在两个极值点，求a的取值范围；（2）当，设，若在上存在两个极值点，且，求证： 【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）在上存在两个极值点，则有两根，再分离参数，借助导数研究即可；（2）要证即证，在上存在两个极值点，且，即有两个零点，可得，设，则，即证，即当时，设函数，利用导数求其单调性及函数的最值，即可得证.【详解】解：（1），由题意可知，在上有两个不同的实数根，即，只需函数和图象
20、有两个交点，易知在上为减函数，且，当时，为增函数；当时，为减函数；所以，所以，又当，要使在上存在两个极值点，则故的取值范围为（2）易得，在上存在两个极值点，且有两个零点，则，解得于是又，设则，因此，要证，即证，即当时，设函数，则所以，为上的增函数，又，因此于是，当时，有，所以，有成立，即，得证【点睛】本题考查导数及其应用、不等式、函数等基础知识，考查考查推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、分类与整合思想，属于难题请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，且），以原点为极点，轴的
21、正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；（2）设点在曲线上，求点到直线距离的最小值与最大值【答案】（1）曲线：，直线：；（2）最小值为，最大值为2【解析】【分析】（1）通过参数方程与普通方程的转化方法和直角坐标方程与极坐标方程之间的转化方法化简即可；（2）用点的参数方程表示坐标，利用点到直线的距离公式表示出距离，再利用函数关系求最值.【详解】（1）由，曲线的普通方程：由得，直线的直角坐标方程（2）设点到直线的距离为，点到直线距离的最小值为，最大值为2【点睛】此题考查参数方程与普通方程，直角坐标方程与极坐标方程之间的转化，通过参数方程求点到直线距离的最值问题，注意考虑参数的取值范围限制条件，避免范围取错.23.设，（1）求不等式的解集；（2）若对任意的，使得，求实数的取值范围【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）利用零点分段讨论的方法求解不等式即可；（2）对任意的，使得，只需即可，结合绝对值不等式性质求出两个函数的最值，解不等式即可.【详解】（1）将化为：，或，或，解得，或，或解集或（2），由题意得，只需即可，得，【点睛】此题考查利用零点分段法解绝对值不等式，根据不等式性质求绝对值最值间的大小关系，考查绝对值三角不等式，以及不等式恒成立求参数范围.