1、13.2杨辉三角 (ab)n的展开式的二次项系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：问题1：从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？提示：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和问题2：计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？提示：2,4,8,16,32,64，其系数和为2n.问题3：二项式系数的最大值有何规律？提示：n2,4,6时，中间一项最大，n3,5时中间两项最大二项式系数的性质(1)每一行的两端都是1，其余每个数都等于它“肩上”两个数的和即CC1，CCC.(2)每一行中，与首末两端“等距离”的两个数相等，即
2、CC.(3)如果二项式的幂指数n是偶数，那么其展开式中间一项T的二项式系数最大；如果n是奇数，那么其展开式中间两项T与T的二项式系数相等且最大(4)二项展开式的各二项式系数的和等于2n.即CCCC2n.且CCCCCC2n1.由“杨辉三角”可直观地看出二项式系数的性质，同时当二项式乘方次数不大时，可借助于它直接写出各项的二项式系数 与杨辉三角有关的问题例1如图，在“杨辉三角”中，斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，.记其前n项和为Sn，求S19的值思路点拨由图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，第17项是C，第18项是C
3、，第19项是C.精解详析S19(CC)(CC)(CC)(CC)C(CCCC)(CCCC)(23410)C220274.一点通解决与杨辉三角有关的问题的一般思路：(1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察；(2)找规律：通过观察，找出每一行的数之间、行与行之间的数据的规律1.如图是一个类似杨辉三角的图形，则第n行的首尾两个数均为_解析：由1,3,5,7,9，可知它们成等差数列，所以an2n1.答案：2n12如图，由二项式系数构成的杨辉三角中，第_行从左到右第14个数与第15个数之比为23.解析：设第n行从左至右第14与第15个数之比为23，则3C2C，即.解得n34.答案：34二
4、项展开式中各项的系数和例2设(12x)2 014a0a1xa2x2a2 014x2 014(xR)(1)求a0a1a2a2 014的值(2)求a1a3a5a2 013的值(3)求|a0|a1|a2|a2 014|的值思路点拨先观察所要求的式子与展开式各项的特点，用赋值法求解精解详析(1)令x1，得a0a1a2a2 014(1)2 0141.(2)令x1，得a0a1a2a2 01432 014.得2(a1a3a2 013)132 014，a1a3a5a2 013.(3)Tr1C(2x)r(1)rC(2x)r，a2k10(kN)|a0|a1|a2|a3|a2 014|a0a1a2a3a2 0143
5、2 014.一点通赋值法是解决二项展开式中项的系数问题的常用方法根据题目要求，灵活赋给字母不同值是解题的关键一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x0可得常数项，令x1可得所有项的和，令x1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差3(1x)(1x)2(1x)n的展开式中各项系数的和为()A2n1B2n1C2n11 D2n12解析：令x1，则2222n2n12.答案：D4已知(12xx2)7a0a1xa2x2a13x13a14x14.(1)求a0a1a2a14；(2)求a1a3a5a13.解：(1)令x1，则a0a1a2a1427128.(2)令x1，则a0a1a2a3a13a14(2)7
6、128.得2(a1a3a13)256，a1a3a5a13128.二项式系数的性质例3(10分)已知n的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项思路点拨根据已知条件求出n，再根据n为奇数或偶数确定二项式系数最大的项和系数最大的项精解详析令x1，则展开式中各项系数和为(13)n22n.又展开式中二项式系数和为2n，2n32，n5.(1)n5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，T3C(x)3(3x2)290x6，T4C(x)2(3x2)3270x. (2)设展开式中第k1项的系数最大，则由Tk1C(x)5k(3x
7、2)k3kCx，得，k，k4，即展开式中系数最大的项为T5C(x)(3x2)4405x.一点通1求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大2求展开式中系数最大项与二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组、解不等式的方法求得5若n的展开式中第6项系数最大，则不含x的项是()A210 B120C461 D416解析：由题意知展开式中第6项二项式系数最大，16，n10，Tr1Cx3(10r)rCx305r.305r0.r6.常数项为C210.答案：A6已知(13x)n的展开式中，末三项
8、的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项解：由题意知CCC121，即CCC121，1n121，即n2n2400，解得n15或16(舍)在(13x)15的展开式中二项式系数最大的项是第八、九两项，且T8C(3x)7C37x7，T9C(3x)8C38x8.二项式系数的有关性质的形成过程体现了观察归纳猜想证明的数学方法，并且在归纳证明的过程中应用了函数、方程等数学思想大致对应如下： 1已知(2x)10a0a1xa2x2a10x10，则a8等于()A180B180C45 D45解析：a8C22180.答案：A2在(ab)20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是()A
9、第15项 B第16项C第17项 D第18项解析：第6项的二项式系数为C，又CC，所以第16项符合条件答案：B3已知C2C22C2nC729，则CCC的值等于()A64 B32C63 D31解析：C2C2nC(12)n3n729，n6，CCC32.答案：B4已知关于x的二项式n展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为()A1 B1C2 D2解析：由题意知2n32，n5，Tr1C()5rarxCarxr，令r0，得r3，a3C80，解得a2.答案：C5在(12x)7的展开式中，C是第_项的二项式系数，第3项的系数是_解析：由二项式系数的定义知C为第k1项的系数，C为第3项的二项式系数
10、T21C(2x)222Cx2，第3项的系数为22C84.答案：3846若(2)5的展开式第二项的值大于1 000，则实数x的取值范围为_解析：T2C()42110x21 000，且x0，x10.答案：(10，)7已知n(nN)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是101，求展开式中含x的项解：由题意知第五项的系数为C(2)4，第三项的系数为C(2)2，则，解得n8(n3舍去)所以通项为Tr1C()8rrC(2)rx.令，得r1.展开式中含x的项为T216x.8已知(2x3y)9a0x9a1x8ya2x7y2a9y9，求：(1)各项系数之和；(2)所有奇数项系数之和；(3)系数绝对值的和；(4)分别求出奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和解：(1)令x1，y1，得a0a1a2a9(23)91.(2)由(1)知，a0a1a2a91.令x1，y1，可得a0a1a2a959.将两式相加，可得a0a2a4a6a8.(3)法一：|a0|a1|a2|a9|a0a1a2a3a9，令x1，y1，则|a0|a1|a2|a9|a0a1a2a3a959.法二：|a0|a1|a2|a9|即为(2x3y)9的展开式中各项的系数和，令x1，y1，得|a0|a1|a2|a9|59.(4)奇数项的二项式系数之和为CCC28.偶数项的二项式系数之和为CCC28.