1、1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)必备知识自主学习 1.函数的周期性(1)周期函数:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每 一个值时,都有_,那么这个函数的周期为T.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_,那么 这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.f(x+T)=f(x)最小的正数【思考】是不是所有的函数都是周期函数?若一个函数是周期函数,它的周期是否唯一?提示:并不是每一个函数都是周期函数,若函数具有周期性,则其周期也不一定唯一.2.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 (1)本质:函数的周期性反映的是函数值的周而复始的现象;函数的奇
2、偶性反映的是互为相反的两个自变量,函数值之间的对应关系.(2)应用:周期性:画图;求值.奇偶性:求解析式;解不等式;画图.函数y=sin xy=cos x周期2k(kZ且k0)2k(kZ且k0)最小正周期_2奇偶性奇函数_2 偶函数【思考】(1)正弦曲线对称吗?提示:正弦函数y=sin x是奇函数,正弦曲线关于原点对称.(2)余弦曲线对称吗?提示:余弦函数y=cos x是偶函数,余弦曲线关于y轴对称.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)因为 则 是函数y=sin x的一个周期.()(2)所有的周期函数都有最小正周期.()(3)函数y=是奇函数.()2sin(sin366)，
3、23sin x2.函数 ()A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数【解析】选A.因为f(x)=sin x,所以f(-x)=sin(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数.fxcos(x)2（）cos(x)2 3.(教材二次开发:练习改编)函数 的最小正周期为_.【解析】因为y=sin x的周期为2,所以函数 的最小正周期为 答案:3 2y3sin(x)342y3sin(x)342T3.23 关键能力合作学习 类型一 求函数的周期(数学抽象)【题组训练】1.如图是定义在R上的四个函数图象的一部分,其中不是周期函数的是()2.f(x)=的周期为()3.定义在R上
4、的函数f(x)满足f(x+2)f(x)=-1,则f(x)的周期为()A.2 B.4 C.6 D.1 sin(2x)4A B C D 242【解题策略】求三角函数周期的方法(1)定义法:即利用周期函数的定义f(x+T)=f(x)求解.(2)公式法:对形如y=Asin(x+)或y=Acos(x+)(A,是常数,A0,0)的函数,T=(3)图象法:即通过观察函数图象求其周期.2.|【补偿训练】求下列三角函数的周期:(1)(2)y=|cos x|,xR.1ysin(xxR.34)，类型二 三角函数奇偶性的判断(逻辑推理)【典例】判断函数f(x)=的奇偶性.【思路导引】先根据诱导公式对解析式作恒等变形,
5、再判断奇偶性.【解析】又 所以函数f(x)=是偶函数.3x3sin()423x33xfxsincosxR.424（）（)，3x3xfxcoscosfx44 （）（）（），3x3sin()42【解题策略】1.判断函数奇偶性应把握好的两个方面:一看函数的定义域是否关于原点对称;二看f(x)与f(-x)的关系.2.对于三角函数奇偶性的判断,有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.【跟踪训练】1.已知函数f(x)=则函数f(x)为()A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数【解析】选B.因为f(x)=cos x,所以f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数.1sin(x)
6、221sin(x),221211cos(x)cos x222.判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=sin 2x.(2)f(x)=lg(1-sin x)-lg(1+sin x).2类型三 三角函数周期性、奇偶性的综合应用(逻辑推理、数学抽象)角度1 函数奇偶性、周期性的综合判断 【典例】下列函数中既是周期函数又是偶函数的是()A.f(x)=B.f(x)=C.y=-sin 2x D.y=-cos 2x【思路导引】先对解析式进行化简,再根据奇偶性的定义判断奇偶性,根据周期的求解方法求周期.27sinx153（）2157sinx32（）角度2 根据奇偶性、周期性求值 【典例】定义在R上的函数f(x)
7、既是偶函数,又是周期函数,若f(x)的最小正周 期为,且当x 时,f(x)=sin x,则 等于()【思路导引】先依据f(x+)=f(x)化简 再依据f(x)是偶函数和x 时,f(x)=sin x求值.02，5f()31133A.B.C.D.22225f()3；02，【解题策略】解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法:利用函数的周期性,可以把x+nT(nZ)的函数值转化为x的函数值.利用奇偶性,可以找到-x与x的函数值的关系,从而可解决求值问题.【题组训练】1.设函数f(x)=xR,则f(x)是()A.最小正周期为 的奇函数 B.最小正周期为 的偶函数 C.最小正周期为 的奇函数 D.最小
8、正周期为 的偶函数【解析】选D.函数f(x)=,xR,化简可得f(x)=-cos 2x,所以f(x)是 偶函数.最小正周期T=,所以f(x)是最小正周期为 的偶函数.sin2x2（），22sin2x2（）222.下列函数中是奇函数,且最小正周期是 的函数是()A.y=cos|2x|B.y=|sin 2x|C.y=sin D.y=cos 【解析】选D.y=cos|2x|是偶函数,y=|sin 2x|是偶函数,y=sin =cos 2x是偶函数,y=cos =-sin 2x是奇函数,根据公式得 其最小正周期T=.2x2（）3-2x2（）2x2（）3-2x2（）3.若f(x)是以 为周期的奇函数,且
9、 =1,则 =_.【解析】因为f(x)是以 为周期的奇函数,所以 答案:-1 2f()35f()6255f()f()f()f()1.66233 1.下列函数中,周期为 的是()A.y=sin B.y=sin 2x C.y=cos D.y=cos 4x【解析】选D.由公式T=可得.课堂检测素养达标 2x2x42|2.函数y=(xR)是()A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.无法确定【解析】选A.y=-sin x,所以此函数为奇函数.cosx2（）cosx2（）3.下列函数为奇函数的是()A.y=B.y=|sin x|C.y=cos x D.y=ex-e-x【解析】选D.对于D,f(x)=ex-e-x的定义域为R,f(-x)=e-x-ex=-f(x),故y=ex-e-x 为奇函数.而y=的定义域为x|x0,不具有对称性,故y=为非奇非偶函 数.y=|sin x|和y=cos x为偶函数.xxx4.函数y=4sin(2x+)的图象关于()A.x轴对称 B.原点对称 C.y轴对称 D.直线x=对称【解析】选B.y=4sin(2x+)=-4sin 2x是奇函数,其图象关于原点对称.25.已知函数f(x)的周期为1.5,且f(1)=20,则f(10)的值是_.【解析】f(10)=f(61.5+1)=f(1)=20.答案:20