1、第八节解三角形A组基础题组1.(2017武汉三中月考)如图,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40方向上,灯塔B在观察站南偏东60方向上,则灯塔A在灯塔B的()A.北偏东10方向上B.北偏西10方向上C.南偏东80方向上D.南偏西80方向上2.设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧选定一点C,测出A、C的距离为50m,ACB=45,CAB=105,则可以计算出A,B两点间的距离为()A.50mB.50mC.25mD.m3.如图,一条河的两岸平行,河的宽度d=0.6km,一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB=1km,水的流速为2km/h,若客船从码头
2、A驶到码头B所用的最短时间为6min,则客船在静水中的速度为()A.8km/hB.6km/hC.2km/hD.10km/h4.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65,那么B,C两点间的距离是()A.10海里B.10海里C.20海里D.20海里5.(2016东营模拟)如图,在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45,在塔底D的南偏东60的B处测得塔顶的仰角为30,A、B的距离是84m,则塔高CD为()A.24mB.12mC.12mD.36m6.(2016滨
3、州模拟)已知A,B两个小岛相距10nmile,从A岛望C岛和B岛成60的视角,从B岛望C岛和A岛成75的视角,那么B岛和C岛间的距离是nmile.7.某同学骑电动车以24km/h的速度沿正北方向的公路行驶,在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30方向上,15min后到点B处,测得电视塔S在电动车的北偏东75方向上,则点B与电视塔的距离是km.8.如图所示,一艘海轮从A处出发,测得灯塔在海轮的北偏东15方向上,与海轮相距20海里的B处,海轮按北偏西60的方向匀速航行了30分钟后到达C处,又测得灯塔在海轮的北偏东75方向上,则海轮的速度为海里/分钟.9.如图,航空测量组驾驶飞机飞行的航线和山顶在同
4、一铅直平面内,已知飞机的飞行高度为10000m,速度为50m/s,某一时刻飞机看山顶的俯角为15,经过420s后看山顶的俯角为45,求山顶的海拔高度.(取=1.4,=1.7)10.(2016黑龙江哈尔滨六中开学考试)某飞船上的返回舱顺利到达地球后,为了及时将航天员救出,地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心(记为B,C,D).当返回舱在距地面1万米的P点时(假定以后垂直下落,并在A点着陆),C救援中心测得返回舱位于其南偏东60方向,仰角为60,B救援中心测得返回舱位于其南偏西30方向,仰角为30,D救援中心测得着陆点A位于其正东方向.(1)求B、C两救援中心间的距离
5、;(2)求D救援中心与着陆点A间的距离.B组提升题组11.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方的点A测得水柱顶端的仰角为45,沿点A向北偏东30方向前进100m到达点B,在B点测得水柱顶端的仰角为30,则水柱的高度是()A.50mB.100mC.120mD.150m12.地面上有两座相距120米的塔,在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为,在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为,且在两塔底连线的中点O处望两塔塔顶的仰角互为余角,则两塔的高度分别为()A.50米,100米B.40米,90米C.40米,50米D.30米,40米13.(2016青岛模拟)如图,在海中一
6、孤岛D的周围有2个观察站A,C,已知观察站A在岛D的正北5nmile处,观察站C在岛D的正西方,现在海面上有一船B,在A点测得其在南偏西60方向4nmile处,在C点测得其在北偏西30方向上,则两观测点A与C的距离为nmile.14.如图所示,长为3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4m的地面上,另一端B在离堤足C处2.8m的石堤上,石堤的倾斜角为,则tan=.15.(2016辽宁沈阳二中月考)在一个特定时段内,以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A,某时刻测得一艘匀速直线行驶的船位于点A的北偏东45且与点A相距40海里的位置B
7、,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45+且与点A相距10海里的位置C.(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时);(2)若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.答案全解全析A组基础题组1.D由条件及题图可知,A=ABC=40,因为BCD=60,所以CBD=30,所以DBA=10,因此灯塔A在灯塔B南偏西80方向上.2.A由题意,易得B=30.由正弦定理,得=,AB=50(m).3.B连接AB,设AB与河岸线所成的锐角为,客船在静水中的速度为vkm/h,由题意知,sin=,从而cos=,结合已知及余弦定理可得=+12-221,解得v=6.选B.4.A如图所示,
8、易知,在ABC中,AB=20海里,CAB=30,ACB=45,根据正弦定理得=,解得BC=10(海里).5.C设塔高CD=xm,则AD=xm,DB=xm.又由题意得ADB=90+60=150,在ABD中,利用余弦定理,得842=x2+(x)2-2x2cos150,解得x=12(负值舍去),故塔高为12m.6.答案5解析如图,在ABC中,AB=10,A=60,B=75,C=45,由正弦定理,得=,所以BC=5(nmile).7.答案3解析由题意知AB=24=6,在ABS中,BAS=30,AB=6,ABS=180-75=105,ASB=45,由正弦定理知=,BS=3(km).8.答案解析由已知可得
9、ACB=45,B=60,由正弦定理得=,所以AC=10,所以海轮航行的速度为=(海里/分钟).9.解析如图,作CD垂直直线AB于点D,A=15,DBC=45,ACB=30,又在ABC中,=,AB=50420=21000,BC=sin15=10500(-).CDAD,CD=BCsinDBC=10500(-)=10500(-1)=7350.故山顶的海拔高度为10000-7350=2650(m).10.解析(1)由题意,PAAC,PAAB,CAB=30+60=90,则PAC,PAB,ABC均为直角三角形,在RtPAC中,PA=1,PCA=60,则AC=,在RtPAB中,PA=1,PBA=30,则AB
10、=,又CAB=90,BC=.答:B、C两救援中心间的距离为万米.(2)易得sinACD=sinACB=,cosACD=-,又CAD=30,所以sinADC=sin(30+ACD)=,在ADC中,由正弦定理得,=,AD=.答:D救援中心与着陆点A间的距离为万米.B组提升题组11.A如图,设水柱高度是hm,水柱底端为C,则在ABC中,BAC=60,AC=hm,AB=100m,BC=hm,根据余弦定理得(h)2=h2+1002-2h100cos60,即h2+50h-5000=0,即(h-50)(h+100)=0,解得h=50(舍负),故水柱的高度是50m.12.B设高塔高H米,矮塔高h米,在O点望高
11、塔塔顶的仰角为.则tan=,tan=,根据三角函数的倍角公式有=,因为在两塔底连线的中点O望两塔塔顶的仰角互为余角,所以在O点望矮塔塔顶的仰角为-.由tan=,tan=,得=,联立解得H=90,h=40.即两座塔的高度分别为40米,90米.13.答案2解析如图,延长AB与DC,设交点为E,由题意可得E=30,BCE=60,EBC=90,ABC=90,在RtADE中,AE=10nmile,所以EB=AE-AB=6nmile.在RtEBC中,BC=BEtan30=2nmile,在RtABC中,AC=2(nmile).14.答案解析由题意可得,在ABC中,AB=3.5,AC=1.4,BC=2.8,由余弦定理可得,AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB,即3.52=1.42+2.82-21.42.8cos(-),解得cos=,所以sin=,所以tan=.15.解析(1)如图,AB=40海里,AC=10海里,BAC=.由于040海里=AQ,所以点Q位于点A和点E之间,且QE=AE-AQ=15(海里).过点E作EPBC于点P,则EP的长等于点E到直线BC的距离.在RtQPE中,PE=QEsinPQE,则PE=QEsinAQC=QEsin(45-ABC)=15=3(海里),又3海里7海里,所以该船会进入警戒水域.