1、2.6直线与圆、圆与圆的位置关系2.6.1直线与圆的位置关系A级必备知识基础练1.(2022江苏盐城伍佑中学高二月考)点A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线,|PA|=1,则点P的轨迹方程是()A.(x-1)2+y2=4B.(x-1)2+y2=2C.x2+y2=2xD.x2+y2=-2x2.圆x2+y2=1与直线y=kx-3有公共点的充要条件是()A.k-22或k22B.k-22C.k2D.k-22或k23.(2022山东高二学情联考)过点P(1,-2)的直线与圆C:(x+2)2+(y-1)2=5相切,则切线长为()A.3B.25C.22D.134.(多选题)(2022重庆育才
2、中学高二月考)已知圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,则下列说法正确的是()A.圆M的圆心为(4,3)B.圆M的半径为5C.圆M被x轴截得的弦长为6D.圆M被y轴截得的弦长为65.圆x2+y2-2x-8y+13=0截直线ax+y-1=0所得的弦长为23,则a=()A.-43B.-34C.3D.26.已知圆C与直线x-y=0及x-y=4都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为.7.若点P(2,-1)为圆C:(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程为.8.已知圆C:x2+y2-6x-8y+21=0,直线l过点A(1,0).(1)求圆C的圆心坐标及半径;(2)若直线l与
3、圆C相切,求直线l的方程;(3)当直线l的斜率存在且与圆C相切于点B时,求|AB|.B级关键能力提升练9.(2020全国,文6)已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A.1B.2C.3D.410.已知直线l:x-y+m=0与圆x2+y2=4交于A,B两点,O为坐标原点,且OAOB=0,则实数m为()A.2B.22C.2D.2211.(多选题)(2022云南罗平县高二检测)过点(2,2),斜率为k的直线与圆x2+y2-4x=0的位置关系可能是()A.相离B.相切C.相交但不过圆心D.相交且经过圆心12.(多选题)(2022辽宁葫芦岛协作校高二联考)已
4、知直线l:3x+4y=0,圆C:x2-4x+y2=m-5,则()A.m的取值范围为(0,+)B.当直线l与圆C相切时,m=6125C.当1m2时,l与圆C相离D.当直线l与圆C相交时,m的取值范围是115,+13.已知kR,若直线l:y=kx+1被圆x2-2x+y2-3=0所截,则截得的弦长最短为,此时直线l的方程为.14.如图,已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切.过点B(-2,0)的动直线l与圆A交于M,N两点.(1)求圆A的方程;(2)当|MN|=219时,求直线l的方程.C级学科素养创新练15.(2022黑龙江大庆中学高二月考)若圆x2+y2-2x-6y+1
5、=0上恰有三点到直线y=kx的距离为2,则k的值为()A.2B.1C.43D.3416.若直线l:y=ax-3与圆C:x2+y2=4相交,求a的取值范围.参考答案2.6直线与圆、圆与圆的位置关系2.6.1直线与圆的位置关系1.BPA是圆的切线,|PA|=1且圆的半径为r=1,点P到圆心的距离恒为2.又圆心(1,0),设P(x,y),由两点间的距离公式得(x-1)2+y2=2,即点P的轨迹方程是(x-1)2+y2=2.故选B.2.A若直线与圆有公共点,则圆心(0,0)到直线kx-y-3=0的距离d=|-3|k2+11,即k2+13,k2+19,即k28,解得k-22或k22.圆x2+y2=1与直
6、线y=kx-3有公共点的充要条件是k-22或k22.故选A.3.D由圆C:(x+2)2+(y-1)2=5,可得圆心C(-2,1),半径r=5,过点P(1,-2)的直线与圆C:(x+2)2+(y-1)2=5相切,两条切线长相等,只取其中一条切线,设切点为M,则CMPM,由题得|PC|=(-2-1)2+(1+2)2=32,|CM|=r=5,所以切线|PM|=|PC|2-|CM|2=(32)2-(5)2=13.故选D.4.BD将x2+y2-8x+6y=0化为圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25,所以圆M的圆心坐标为(4,-3),半径为5,故A错误,B正确;圆心(4,-3)到x轴的距离为3,
7、所以圆M被x轴截得的弦长为252-32=8,故C错误;对选项D,圆心(4,-3)到y轴的距离为4,所以圆M被y轴截得的弦长为252-42=6,故D正确.故选BD.5.A将x2+y2-2x-8y+13=0化为(x-1)2+(y-4)2=4,则该圆圆心为(1,4),半径为2.又弦长为23,则圆心到直线距离为22-(3)2=1.根据点到直线距离公式可知d=|a+4-1|a2+1=1,化简可得(a+3)2=a2+1.解得a=-43,故选A.6.(x-1)2+(y+1)2=2设圆心为点C(a,-a),由点到直线的距离公式得|2a|2=|2a-4|2,解得a=1,所以圆心为(1,-1),且半径为2,故圆的
8、方程为(x-1)2+(y+1)2=2.7.x-y-3=0圆心坐标为点C(1,0),由题可得,kPC=0-(-1)1-2=-1.又|CP|AB|,因此kAB=1.因为直线AB过点P,可知直线AB的方程为y+1=x-2,即x-y-3=0.8.解将圆C的方程化成标准式方程得(x-3)2+(y-4)2=22.(1)圆C的圆心坐标是(3,4),半径为2.(2)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程是x=1,满足题意;当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程是y=k(x-1),即kx-y-k=0.由圆心(3,4)到直线l的距离等于圆C的半径,可得|3k-4-k|k2+1=2,解得k=34,故直线l的方程是3x
9、-4y-3=0.综上所述,直线l的方程是x=1或3x-4y-3=0.(3)由(2)可得直线l的方程是3x-4y-3=0.圆C的圆心是点C(3,4),则|AC|=4+16=25,所以|AB|=|AC|2-|CB|2=20-22=4.9.B圆的方程可化为(x-3)2+y2=9.因为(1-3)2+(2-0)2=223,所以点(1,2)在圆内.如图所示,设圆心O1(3,0),A(1,2),当弦BC与O1A垂直时弦最短,因为|O1A|=(3-1)2+(0-2)2=22,|O1B|=3,所以|AB|=|O1B|2-|O1A|2=9-8=1,所以|BC|=2|AB|=2.10.C由OAOB=0可知AOB=9
10、0.由于圆半径为r=2,则圆心(0,0)到直线l的距离d=|m|2=2,解得|m|=2,即m=2,故选C.11.BC由题得,圆的标准方程为(x-2)2+y2=4,则圆心为(2,0),半径为2.设过点(2,2),斜率为k的直线为y=k(x-2)+2,即kx-y-2k+2=0,圆心到kx-y-2k+2=0的距离d=21+k22,当d=2时,直线与圆相切;当d0,得m1,故A错误;因为C(2,0)到直线l的距离为65,所以当直线l与圆C相切时,r=m-1=65,解得m=6125,故B正确;当1m2时,0r165,解得m6125,故D错误.故选BC.13.22y=x+1圆x2-2x+y2-3=0的标准
11、方程为(x-1)2+y2=22,所以圆心为O(1,0),半径为r=2.直线l:y=kx+1过定点P(0,1).故|OP|=2.当lOP时,截得的弦长最短,则最短弦长为222-(2)2=22.由题得,kOP=-1,所以kl=1,故直线l的方程为y=x+1.14.解(1)设圆A的半径为r.圆A与直线l1:x+2y+7=0相切,r=|-1+4+7|5=25.故圆A的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.(2)当直线l的斜率不存在时,可得直线l的方程为x=-2,易得|MN|=219,符合题意;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+2),即kx-y+2k=0.取MN的中点Q,连接AQ,则A
12、QMN.|MN|=219,|AQ|=20-19=1.|k-2|k2+1=1,解得k=34.直线l的方程为3x-4y+6=0.综上,直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0.15.C将方程x2+y2-2x-6y+1=0化为(x-1)2+(y-3)2=9,则圆心(1,3),半径为3.圆上恰有三点到直线y=kx的距离为2,圆心(1,3)到直线y=kx的距离为1,即|k-3|k2+1=1,解得k=43.故选C.16.解(方法1)圆C:x2+y2=4的圆心C(0,0),r2=4.直线l:y=ax-3可化为ax-y-3=0.圆心C(0,0)到直线l:ax-y-3=0的距离d=|a0-0-3|a2+(-1)2=3a2+1.由直线l与圆C相交可得rd,则r2d2,即49a2+1,解得a52或a0,即a254,解得a52或a-52,故a的取值范围是-,-5252,+.