1、本讲优化总结,学生用书P61)用数学归纳法证明恒等式学生用书P62证明代数恒等式的关键是：第二步将式子转化成与归纳假设结构相同的形式凑假设，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需要的形式凑结论用数学归纳法证明：12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)(nN)【证明】(1)当n1时，左边12223，右边1(211)3，等式成立(2)假设当nk(k1，kN)时，等式成立，即12223242(2k1)2(2k)2k(2k1)，则当nk1时，12223242(2k1)2(2k)2(2k1)22(k1)2k(2k1)(2k1)22(k1)22k25k3(k1)(2k3)(k1)2(k1)
2、1，即当nk1时，等式成立由(1)(2)可知，对任何nN等式都成立若nN，用数学归纳法证明：coscoscoscos.证明：(1)当n1时，左边cos，右边cos，左边右边，等式成立(2)假设nk(k1，kN)时，等式成立，即coscoscoscos，当nk1时，coscoscos即当nk1时，等式也成立由(1)(2)知，等式对nN均成立用数学归纳法证明不等式学生用书P62证明不等式的题型多种多样，所以不等式的证明是一个难点，在由nk成立，推导nk1也成立时，过去讲过的证明不等式的方法在此都可以使用，如比较法、放缩法、分析法、反证法等，有时还要考虑与原不等式等价的命题设an(nN)，求证：n(
3、n1)an(n1)2.【证明】当n1时，a1，n(n1)1，(n1)22，所以12，所以n1时，不等式成立假设当nk时不等式成立，即k(k1)ak(k1)2，当nk1时，k(k1)ak1k(k1)(k1)(k1)(k2)(k1)(k1)1，(k1)2(k1)2(k1)2(k2)2(k1)12，所以(k1)(k1)1ak1(k1)12，即当nk1时，不等式也成立根据可知对任意的nN，不等式n(n1)an(n1)2恒成立设0a1，定义a11a，an1a，求证：对一切正整数n，有1an1，a11a，命题成立(2)假设nk(kN)时，命题成立即1ak(1a)a1.同时，ak1a1a，故当nk1时，命题
4、也成立，即1ak1，综合(1)(2)可知，对一切正整数n，有1anb1，当n2时，a29，b23，则a2b2，当n3时，a316，b37，则a3b3，当n4时，a425，b415，则a4b4，当n5时，a536，b531，则a5b5，当n6时，a649，b663，则a6b6，当n7时，a764，b7127，则a7bn.猜想：当nN，n6时，anbn.前一结论上面已用穷举法证明，后一猜想用数学归纳法证明如下：当n6时，上面已证a6b6.假设当nk(kN，k6)时，上述结论成立，即当k6时，(k1)22k1.当nk1时，要证ak1bk1，即证(k2)22k11，这只要证(k2)2(k1)21，只要
5、证(k2)2(k1)2121，即k24k41，由k6得上式显然成立，所以当nk1时，上述猜想成立综上所述，当nN，1n5时，anbn；当nN，n6时，anbn.数列an满足a11，an(nN，n2)(1)写出数列an的前五项；(2)猜测数列an的通项公式，并用数学归纳法证明解：(1)a11，a2，a3，a4，a5.(2)猜想an(nN)下面用数学归纳法证明：当n1时，a11，显然成立假设当nk(k1，kN)时结论成立，即ak.当nk1时，ak1.这表明当nk1时，结论成立由知，结论对所有的正整数都成立1求证对任意正整数n，有132333n3(12n)2成立证明：(1)当n1时，左边1，右边1，
6、左边右边，所以原等式成立(2)假设当nk(k1)时，等式成立，即1323k3(12k)2.在上式等号两边同时加上(k1)3，得1323k3(k1)3(12k)2(k1)3(k1)3k24(k1)12k(k1)2.即当nk1时，1323n3(12n)2也成立综合(1)(2)可知，对任何正整数n，原等式成立2数列an满足Sn2nan(nN*)(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想解：(1)当n1时，a1S12a1，所以a11.当n2时，a1a2S222a2，所以a2.当n3时，a1a2a3S323a3，所以a3.当n4时，a1a2a3a4S424a4，所以a4.由此猜想an(nN*)(2)证明：当n1时，a11，结论成立假设nk(k1且kN*)时，结论成立，即ak.那么nk1时，ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1，所以2ak12ak.所以ak1.这表明nk1时，结论成立由知猜想an(nN*)成立
