1、4.2.2圆与圆的位置关系课后篇巩固提升基础巩固1.圆(x+2)2+(y+2)2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为()A.内切B.外切C.相交D.相离解析圆(x+2)2+(y+2)2=4的圆心坐标为(-2,-2),半径r1=2;圆(x-2)2+(y-1)2=9的圆心坐标为(2,1),半径r2=3,圆心距为d=2-(-2)2+1-(-2)2=5,r1+r2=5,即d=r1+r2,故两圆外切.答案B2.圆:x2+y2-2x-2y=0和圆:x2+y2-6x+2y+6=0交于A,B两点,则AB的垂直平分线的方程是()A.x+y+3=0B.x-y+2=0C.x+y-2=0D.2x-y-1
2、=0解析AB的垂直平分线就是两圆的连心线,两圆的圆心分别为(1,1),(3,-1),过两圆圆心的直线方程为x+y-2=0.答案C3.下列圆中与圆C:x2+y2+2x-4y+1=0相外切的是()A.(x+2)2+(y+2)2=9B.(x-2)2+(y+2)2=9C.(x-2)2+(y-2)2=16D.(x-2)2+(y+2)2=16解析由圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,可知圆心C的坐标为(-1,2),半径r=2,则点(2,-2)到圆心(-1,2)的距离d=(2+1)2+(-2-2)2=5,要使得所求圆与圆C:x2+y2+2x-4y+1=0相切,则所求圆表示以(2,-2)为圆心,半径为3的圆
3、,即(x-2)2+(y+2)2=9,故选B.答案B4.半径为6的圆与x轴相切,且与圆x2+(y-3)2=1内切,则此圆的方程为()A.(x-4)2+(y-6)2=16B.(x4)2+(y-6)2=16C.(x-4)2+(y-6)2=36D.(x4)2+(y-6)2=36解析设所求圆心坐标为(a,b),则|b|=6.由题意,得a2+(b-3)2=(6-1)2=25.若b=6,则a=4;若b=-6,则a无解.故所求圆方程为(x4)2+(y-6)2=36.答案D5.若点P在圆O:x2+y2=1上运动,点Q在圆C:(x-3)2+y2=1上运动,则|PQ|的最小值为()A.3B.2C.1D.4解析|PQ
4、|的最小值应为圆心距减去两圆半径,即(|PQ|)min=|OC|-2=3-2=1.答案C6.若圆x2+y2-2ax+a2=2和圆x2+y2-2by+b2=1相外离,则a,b满足的条件是.解析两圆的连心线的长为d=a2+b2.两圆相外离,d2+1,a2+b23+22.答案a2+b23+227.若点A(a,b)在圆x2+y2=4上,则圆(x-a)2+y2=1与圆x2+(y-b)2=1的位置关系是.解析点A(a,b)在圆x2+y2=4上,a2+b2=4.又圆x2+(y-b)2=1的圆心C1(0,b),半径r1=1,圆(x-a)2+y2=1的圆心C2(a,0),半径r2=1,则|C1C2|=a2+b2
5、=4=2,|C1C2|=r1+r2.两圆外切.答案外切8.过原点O作圆x2+y2-4x-8y+16=0的两条切线,设切点分别为P,Q,则直线PQ的方程为.解析设圆x2+y2-4x-8y+16=0的圆心为C,则C(2,4),CPOP,CQOQ,过四点O,P,C,Q的圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=5.两圆方程相减得直线PQ的方程为x+2y-8=0.答案x+2y-8=09.(1)求圆心在直线y=-2x上,且与直线y=-x+1相切于点P(2,-1)的圆的方程;(2)求与圆x2+y2-2x-4y=0外切于点(2,4)且半径为25的圆的方程.解(1)过点P(2,-1)且与直线y=-x+1垂直的直线
6、为x-y-3=0,由y=-2xx-y-3=0求得x=1,y=-2.即圆心C(1,-2),半径r=|CP|=2,所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.(2)圆方程化为(x-1)2+(y-2)2=5,得该圆圆心为(1,2),半径为5,故两圆连心线斜率k=4-22-1=2.设所求圆心为(a,b),所以(a-1)2+(b-2)2=35,4-b2-a=2,解得a=4,b=8,或a=-2,b=-4.(舍去)所以所求圆的方程为(x-4)2+(y-8)2=20.10.已知两圆C1:x2+y2+4x-6y+12=0,C2:x2+y2-2x-14y+k=0(k50).当两圆有如下位置关系时:(1)外切;(
7、2)内切;(3)相交;(4)内含;(5)外离.试确定上述条件下k的取值范围.解将两圆的方程化为标准方程:C1:(x+2)2+(y-3)2=1;C2:(x-1)2+(y-7)2=50-k.则圆C1的圆心坐标C1(-2,3),半径r1=1,圆C2的圆心坐标C2(1,7),半径r2=50-k.从而圆心距d=(-2-1)2+(3-7)2=5.(1)当两圆外切时,d=r1+r2,即1+50-k=5,解得k=34.(2)当两圆内切时,d=|r1-r2|,即|1-50-k|=5,解得k=14.(3)当两圆相交时,|r1-r2|dr1+r2,即|1-50-k|d1+50-k,解得14k34.(4)当两圆内含时
8、,d5,解得kr1+r2,即1+50-k34.能力提升1.已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是()A.(x-5)2+(y+7)2=25B.(x-5)2+(y+7)2=17或(x-5)2+(y+7)2=15C.(x-5)2+(y+7)2=9D.(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9解析设动圆圆心(x,y),则若两圆内切,则有(x-5)2+(y+7)2=4-1=3,即(x-5)2+(y+7)2=9;若两圆外切,则有(x-5)2+(y+7)2=4+1=5,即(x-5)2+(y+7)2=25.答案D2.圆C1:(x-2)2+(y-
9、3)2=4与圆C2:(x-a)2+(y-4)2=16相离,过原点O分别作两个圆的切线l1,l2,若l1,l2的斜率之积为-1,则实数a的值为()A.83B.-83C.-6D.6解析两圆外离,则(2-a)2+(3-4)22+4,即(a-2)235,设与圆C1相切的直线l1的方程为y=kx,则|2k-3|k2+1=2,解得k=512,则与圆C2相切的直线l2的斜率k=-1k=-125,直线l2的方程为y=-125x,即12x+5y=0,所以|12a+20|122+52=4,解得a=-6或a=83,结合(a-2)235可知a=-6,故选C.答案C3.若直线y=x+b与曲线y=3-4x-x2有公共点,
10、则b的取值范围是()A.1-22,1+22B.1-2,3C.-1,1+22D.1-22,3解析由y=3-4x-x2,得(x-2)2+(y-3)2=4(0x4,1y3),它表示以(2,3)为圆心,2为半径的下半圆,如图所示,令|2-3+b|12+12=2,得b=1-22(b=1+22舍去),故选D.答案D4.圆x2+y2-x+y-2=0和圆x2+y2=5的公共弦长为.解析由x2+y2-x+y-2=0,x2+y2=5,-得,两圆的公共弦所在直线方程为x-y-3=0,圆x2+y2=5的圆心到该直线的距离为d=|-3|12+(-1)2=32.设公共弦长为l,l=25-322=2.答案25.已知圆(x-
11、1)2+y2=1与圆(x-2)2+(y-1)2=r2(r0)无公切线,则r的取值范围为.解析由题意,圆(x-1)2+y2=1的圆心坐标为C1(1,0),半径为r1=1,圆(x-2)2+(y-1)2=r2(r0)的圆心坐标为C1(2,1),半径为r,因为两圆无公切线,则两圆的位置关系为两个圆内含,则圆心距d=(2-1)2+12=2,则d2+1,所以r的取值范围是(2+1,+).答案(2+1,+)6.与圆x2+y2-ax-2y+1=0关于直线x-y-1=0对称的圆的方程是x2+y2-4x+3=0,则a=.解析利用两圆圆心连线与对称轴垂直,圆心连线中点在对称轴上,可得a=2.答案27.已知圆M:x2+y2=10和圆N:x2+y2+2x+2y-14=0,求过两圆交点,且面积最小的圆的方程.解设两圆交点为A,B,则以AB为直径的圆就是所求的圆.直线AB的方程为x+y-2=0.两圆圆心连线的方程为x-y=0.解方程组x+y-2=0,x-y=0,得圆心坐标为(1,1).圆心M(0,0)到直线AB的距离为d=2,弦AB的长为|AB|=2(10)2-(2)2=42,所以所求圆的半径为22.所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=8.
