1、课时跟踪检测（七） 椭圆的简单几何性质层级一学业水平达标1已知椭圆C1：1，C2：1，则()AC1与C2顶点相同BC1与C2长轴长相同CC1与C2短轴长相同 DC1与C2焦距相等解析：选D由两个椭圆的标准方程可知：C1的顶点坐标为(2，0)，(0，2)，长轴长为4，短轴长为4，焦距为4；C2的顶点坐标为(4,0)，(0，2)，长轴长为8，短轴长为4，焦距为4.故选D.2焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是()A.1 B.y21C.1 Dx21解析：选A依题意，得a2，ac3，故c1，b，故所求椭圆的标准方程是1.3若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一
2、个正三角形，则该椭圆的离心率为()A. B.C. D.解析：选A依题意，BF1F2是正三角形，在RtOBF2中，|OF2|c，|BF2|a，OF2B60，cos 60，即椭圆的离心率e，故选A.4与椭圆9x24y236有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为()A.1 Bx21C.y21 D.1解析：选B椭圆9x24y236可化为1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，)，故可设所求椭圆方程为1(ab0)，则c.又2b2，即b1，所以a2b2c26，则所求椭圆的标准方程为x21.5已知椭圆1(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BFx轴，直线AB交y轴于点P.若2，则椭圆的离心率
3、是()A. B.C. D.解析：选D2，|2|.又POBF，即，e.6若椭圆x2my21的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m的值为_解析：椭圆x2my21的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，2，m.答案：7已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为， 且过P(5,4)，则椭圆的方程为_解析：e，5a25b2a2即4a25b2.设椭圆的标准方程为1(a0)，椭圆过点P(5,4)，1.解得a245.椭圆方程为1.答案：18设F1，F2分别为椭圆y21的左，右焦点，点A，B在椭圆上，若5，则点A的坐标是_解析：设A(m，n)由5 ，得B.又A，B均在椭圆上，所以有解得或所以点A的坐标为(
4、0,1)或(0，1)答案：(0,1)或(0，1)9在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且ABF2的周长为16，求椭圆C的标准方程解：设椭圆C的标准方程为1(ab0)由e知，故，从而，.由ABF2的周长为|AB|BF2|AF2|AF1|AF2|BF1|BF2|4a16，得a4，b28.故椭圆C的标准方程为1.10椭圆1(ab0)的右顶点是A(a,0)，其上存在一点P，使APO90，求椭圆离心率的取值范围解：设P(x，y)，由APO90知，点P在以OA为直径的圆上，圆的方程是2y22.y2axx2. 又P点在椭圆上，
5、故1. 把代入化简，得(a2b2)x2a3xa2b20，即(xa)(a2b2)xab20，xa，x0，x，又0xa，0a，即2b2a2.由b2a2c2，得a2.又0e1，eb0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被点分成 53的两段，则此椭圆的离心率为()A. B.C. D.解析：选D依题意得，c2b，ab，e.3(2017全国卷)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为()A. B.C. D.解析：选A以线段A1A2为直径的圆的方程为x2y2a2，由原点到直线bxay2ab0的距离da，得a23b2，所
6、以C的离心率e .4若O和F分别为椭圆1的中心和左焦点，P为椭圆上的任意一点，则的最大值为()A2 B3C6 D8解析：选C由题意得点F(1,0)设点P(x0，y0)，则有1，可得y3.(x01，y0)，(x0，y0)，x0(x01)yx0(x01)3x03.此二次函数的图象的对称轴为直线x02.又2x02，所以当x02时，取得最大值，最大值为236.5过椭圆1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为_解析：过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c1，将x1代入1，得1，解得y2，即y，所以最短弦的长为23.答案：4,36已知椭圆1(ab0)，A，B分别为椭圆的左顶点和
7、上顶点，F为右焦点，且ABBF，则椭圆的离心率为_解析：在RtABF中，|AB|，|BF|a，|AF|ac，由|AB|2|BF|2|AF|2，得a2b2a2(ac)2.将b2a2c2代入，得a2acc20，即e2e10，解得e.因为e0，所以e.答案：7已知椭圆x2(m3)y2m(m0)的离心率e，求实数m的值及椭圆的长轴长和短轴长，并写出焦点坐标和顶点坐标解：椭圆方程可化为1，由m0，可知m，所以a2m，b2，c ，由e，得 ，解得m1.于是椭圆的标准方程为x21，则a1，b，c.所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为，；四个顶点坐标分别为(1，0)，(1,0)，.8设F1，F2
8、分别是椭圆E：1(ab0) 的左、右焦点，过点 F1的直线交椭圆 E于 A，B两点，|AF1|3|F1B|.(1)若|AB|4，ABF2 的周长为16，求|AF2|；(2)若cosAF2B，求椭圆E 的离心率解：(1)由|AF1|3|F1B|，|AB|4，得|AF1|3，|F1B|1.因为ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a16，|AF1|AF2|2a8.故|AF2|835.(2)设|F1B|k，则k0且|AF1|3k，|AB|4k.由椭圆定义可得，|AF2|2a3k，|BF2|2ak.在ABF2中，由余弦定理可得，|AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2|BF2|cosAF2B，即(4k)2(2a3k)2(2ak)2(2a3k)(2ak)化简可得(ak)(a3k)0，而ak0，故a3k.于是有|AF2|3k|AF1|，|BF2|5k.因此|BF2|2|F2A|2|AB|2，可得F1AF2A，故AF1F2为等腰直角三角形从而ca，所以椭圆E的离心率e.