1、第18课时空间直角坐标系 教学过程一、 问题情境之前我们学习了直线和圆,我们对解析几何的学习将告一段落.解析几何是根据坐标,利用代数处理几何的方法科学.现在,请大家思考一个问题:黑板平面内停留着一只飞虫,问如何确定飞虫的位置?由此激发学生对平面坐标系建立(定位)的意识, 在此讲明平面内的点与二元数组(x, y)的一一对应.具体到点坐标的确定(根据点在x轴、y轴射影与原点之间的距离).设问:当飞虫飞离黑板所在平面,那飞虫的位置在现有的基础上如何确定?(引出空间直角坐标系)二、 数学建构问题1如图1,在房间(立体空间)内如何确定电灯位置?(图1)在学生思考讨论的基础上,教师明确:确定点在直线上,通
2、过数轴需要一个数;确定点在平面内,通过平面直角坐标系需要两个数.那么,要确定点在空间内,应该需要几个数呢?通过类比联想,容易知道需要三个数.要确定电灯的位置,知道电灯到地面的距离、到相邻的两个墙面的距离即可.问题2如何用一组实数来表示电灯的位置?在地面上建立直角坐标系xOy,则地面上任一点的位置只须利用x, y就可确定.为了确定不在地面内的电灯的位置,须要用第三个数表示物体离地面的高度,即需第三个坐标z.因此,只要知道电灯到地面的距离、到相邻的两个墙面的距离即可.例如,若这个电灯在平面xOy上的射影的两个坐(图2)标分别为4和5,到地面的距离为3,则可以用有序数组(4, 5, 3)确定这个电灯
3、的位置(如图2).这样,仿照初中平面直角坐标系,就引出了空间直角坐标系O-xyz的建立,从而确定了空间点的位置.问题3空间直角坐标系是如何建立的?(引导学生从特殊向一般过渡)在前面研究的基础上,先由学生对空间直角坐标系予以抽象概括,然后由教师给出准确的定义.从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴,这样就建立了空间直角坐标系O-xyz,点O叫作坐标原点,x轴、y轴、z轴叫作坐标轴,这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面,分别称为xOy平面,yOz平面,zOx平面.教师进一步明确:(1) 在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,若中指指向z轴的正方向,则
4、称这个坐标系为右手坐标系,课本中建立的坐标系都是右手坐标系.(2) 将空间直角坐标系O-xyz画在纸上时,x轴与y轴、x轴与z轴成135,而y轴垂直于z轴,y轴和z轴的单位长度相等,但x轴上的单位长度等于y轴和z轴上的单位长度的,这样,三条轴上的单位长度直观上大致相等.问题4在空间直角坐标系中,空间任意一点A与有序数组(x, y, z)有什么样的对应关系?(1) 过点A作三个平面分别垂直于x轴,y轴,z轴,它们与x轴、y轴、z轴分别交于点P, Q, R,点P, Q, R在相应数轴上的坐标依次为x, y, z,这样,对空间任意点A,就定义了一个有序数组(x, y, z).(2) 反之,对任意一个
5、有序数组(x, y, z),按照刚才作图的相反顺序,在坐标轴上分别作出点P, Q, R,使它们在x轴、y轴、z轴上的(图3)坐标分别是x, y, z,再分别过这些点作垂直于各自所在的坐标轴的平面,这三个平面的交点就是所求的点A.这样,在空间直角坐标系中,空间任意一点A与有序数组(x, y, z)之间就建立了一种一一对应关系:A(x, y, z).问题5空间直角坐标系O-xyz中任意点A的坐标?对于空间任意点A,作点A在三条坐标轴上的射影,即经过点A作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴,它们与x轴、y轴、z轴分别交于点P, Q, R,点P, Q, R在相应数轴上的坐标依次为x, y, z,我们把
6、有序数组(x, y, z)叫作点A的坐标,记为A(x, y, z).(如图3)问题6(1) 在空间直角坐标系中,坐标平面xOy, xOz, yOz上点的坐标有什么特点?(2) 在空间直角坐标系中,x轴、y轴、z轴上点的坐标有什么特点?答(1) xOy平面、xOz平面、yOz平面内的点的坐标分别形如(x, y, 0), (x, 0, z), (0, y, z).(2) x轴、y轴、z轴上点的坐标分别形如(x, 0, 0), (0, y, 0), (0, 0, z).(进一步熟悉和巩固空间直角坐标系中点的坐标的特点)三、 数学应用【例1】(教材P119例1)在空间直角坐标系O-xyz中,作出点P(
7、5, 4, 6).处理建议分析可按下列步骤作出点P,OP1P2P规范板书解如图4所示.(图4)(图5)题后反思在空间直角坐标系中作点应按照作图步骤进行.变式已知长方体ABCD-ABCD的边长AB=12, AD=8, AA=5,以这个长方体的顶点A为坐标原点,射线AB, AD, AA分别为x轴、y轴和z轴的正半轴,建立空间直角坐标系,求这个长方体各个顶点的坐标.处理建议本题根据所建立的空间直角坐标系,找到各点在坐标系中的位置,确定其坐标.解因为AB=12, AD=8, AA=5,点A在坐标原点,即A(0, 0, 0),且B, D, A分别在x轴、y轴、z轴上,所以它们的坐标分别为B(12, 0,
8、 0), D(0, 8, 0), A(0, 0, 5).点C, B, D分别在xOy平面、zOx平面和yOz平面内,坐标分别为C(12, 8, 0), B(12, 0, 5), D(0, 8, 5).点C在三条坐标轴上的射影分别是点B, D, A,故点C的坐标为(12, 8, 5).讨论若以C点为原点,以射线CB, CD, CC方向分别为x, y, z轴的正半轴,建立空间直角坐标系,那么各顶点的坐标又是怎样的呢?得出结论建立不同的坐标系,所得的同一点的坐标也不同.(图6)*【例2】结晶体的基本单位称为晶胞,如图6是食盐晶胞的示意图可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体,其中黑色圆点代表钠原
9、子,小圆圈代表氯原子,如图,建立空间直角坐标系O-xyz后,试写出全部钠原子所在位置的坐标.解把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标.下层原子全在xOy平面,它们所在位置的竖坐标全是0,所以下层的五个钠原子所在位置的坐标分别为:(0, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 0), .中层的四个钠原子所在位置的坐标分别为:, , , .上层的五个钠原子所在位置的坐标分别为:(0, 0, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 1), (0, 1, 1), .题后反思这个题目是以化学中的晶胞为情境,能引人入胜,一方面检验学生对空间直角坐标系的理
10、解和对确定空间点的坐标的掌握情况;另一方面能体现数学与其他学科的联系,体现数学对自然科学研究的工具性,表达“学有用的数学”这一新课程的基本理念.变式在长方体OABC-DABC中,OA=3, OC=4, OD=2,写出D, C, A, B四点关于平面xOy对称的坐标.处理建议让学生讨论,再提问学生,由学生总结解题的思路,教师点评.规范板书解因为D在z轴上,且OD=2,它的竖坐标为2,它的横坐标与纵坐标都是零,所以D点的坐标是(0, 0, 2),点C在y轴上,(图7)且OC=4,所以点C的坐标为(0, 4, 0),点A的坐标为(3, 0, 2), B的坐标为(3, 4, 2).所以D点对称点的坐标
11、是(0, 0, -2),点C对称点的坐标为(0, 4, 0),点A对称点的坐标为(3, 0, -2), B的对称点坐标为(3, 4, -2).题后反思点关于平面xOy对称的点的坐标的特点是:横坐标和纵坐标不变,竖坐标相反.进而可以总结出关于平面yOz对称的点的特点和关于平面zOx对称的点的特点.【例3】(教材P113例3)(1) 在空间直角坐标系O-xyz中,画出不共线的3个点P, Q, R,使得这3个点的坐标都满足z=3的图形.(2) 写出由这三个点确定的平面内的点的坐标应满足的条件.(图8)处理建议对于(1),师生经过交流达成共识:为简便起见,取三点为(0, 0, 3)、 (4, 0, 3
12、)、 (0, 4, 3).对于(2),让学生讨论,发表意见后师生一起交流探讨,得出结论.规范板书解(1) 取三个点P(0, 0, 3), Q(4, 0, 3), R(0, 4, 3).(2) P, Q, R三点不共线,可以确定一个平面,又因为这三点在xOy平面的同侧,且到xOy平面的距离相等,所以平面PQR平行于xOy平面,而且平面PQR内的每一个点在z轴上的射影到原点的距离都等于3,即该平面上的点的坐标都满足z=3.题后反思通过本例教学,培养了学生对空间问题的分析处理能力,向学生渗透了空间“点的集合(轨迹)问题”的处理方法,为本节第2课时所要介绍的类似问题做铺垫.变式设z为任意实数,相应的所
13、有点P(1, 2, z)的集合是什么图形?处理建议通过对三维空间的感受,将平面中此类问题类比到空间,再总结出一般的规律.规范板书解P(1, 2, z)在xOy平面上的射影为P(1, 2, 0),所以当横坐标、纵坐标不变,竖坐标变化时相应的图形是过P点且垂直于xOy平面的一条直线.题后反思一般的,当一个点的2个坐标确定,1个坐标可取任意值时,这样的点的集合是垂直于坐标平面的一条直线.四、 课堂练习1. 在空间直角坐标系中,画出下列各点:A (0, 0, 3), B (1, 2, 3), C (2, 0, 4), D(-1, 2, -2).解略.2. 已知长方体ABCD-ABCD的边长为AB=6,
14、 AD=4, AA=7.以这个长方体的顶点B为坐标原点,射线BA, BC, BB分别为x轴、y轴、z轴的正半轴,建立空间直角坐标系,求长方体各个顶点的坐标.解A (6, 0, 0), B (0, 0, 0), C (0, 4, 0), D(6, 4, 0), A (6, 0, 7), B (0, 0, 7), C(0, 4, 7), D(6, 4, 7).3. (1) 在空间直角坐标系中,在Ox轴上的点的坐标可写成(x, 0, 0);(2) 在空间直角坐标系中,在yOz平面上的点的坐标可写成(0, y, z);(3) 在空间直角坐标系中,在Oz轴上的点的坐标可写成(0, 0, z);(4) 在空间直角坐标系中,在xOz平面上的点的坐标可写成(x, 0, z).五、 课堂小结1. 本节课所学知识有:空间直角坐标系、空间点的坐标的确定、空间点对称.2. 领会类比的思想方法在探索新知识过程中的作用,实现了从线到平面、再从平面到空间的变化.