1、2021年中考数学核心考点强化突破：几何、代数最值问题 类型1利用对称、线段公理求最小值1如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y(x0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点，OMN的面积为10.若动点P在x轴上，则PMPN的最小值是( C )A6 B10 C2 D2解：由已知得M(6，)，N(，6)，BN6，BM6，OMN的面积为：6666(6)210，k24，M(6，4)，N(4，6)，作M关于x轴的对称点M，连接NM交x轴于P，则NM的长PMPN的最小值，AMAM4，BM10，BN2，NM2.2如图，直线yx4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线
2、段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PCPD值最小时点P的坐标为( C )A(3，0) B(6，0)C(，0) D(，0)解：(方法一)作点D关于x轴的对称点D，连接CD交x轴于点P，此时PCPD值最小，如图1所示可求点B(0，4)；A(6，0)点C、D分别为线段AB、OB的中点，点C(3，2)，点D(0，2)点D和点D关于x轴对称，点D的坐标为(0，2)设直线CD的解析式为ykxb，直线CD过点C(3，2)，D(0，2)，可求CD的解析式为yx2.令yx2中y0，则0x2，解得：x，点P(，0)(方法二)连接CD，作点D关于x轴的对称点D，连接CD交x轴于点P，此时PCPD值最小，如图2
3、所示3如图，在RtABC中，ACB90，将ABC绕顶点C逆时针旋转得到ABC，M是BC的中点，P是AB的中点，连接PM.若BC2，BAC30，则线段PM的最大值是( B )A4 B3 C2 D1解：如图连接PC.在RtABC中，A30，BC2，AB4，根据旋转不变性可知，ABAB4，APPB，PCAB2，CMBM1，又PMPCCM，即PM3，PM的最大值为3(此时P、C、M共线)4如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为(4，5)，D是OB的中点，E是OC上的一点，当ADE的周长最小时，点E的坐标是( B )A(0，) B(0，) C(0，2) D(0，)解：作A关于y轴的对称点A，连接AD交y轴于
4、E，则此时，ADE的周长最小，四边形ABOC是矩形，ACOB，ACOB，A的坐标为(4，5)，A(4，5)，B(4，0)，D是OB的中点，D(2，0)，设直线DA的解析式为ykxb，可求直线DA的解析式为yx，当x0时，y，E(0，)5如图所示，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上的一点，且BE1，P是对角线AC上的一动点，连接PB、PE，当点P在AC上运动时，PBE周长的最小值是_6_解：连接DE于AC交于点P，连接BP，则此时BPE的周长就是PBE周长的最小值，BE1，BCCD4，CE3，DE5，BPPEDE5，PBE周长的最小值是516.6如图，将边长为6的正三角形纸片ABC按如下顺序
5、进行两次折叠，展平后，得折痕AD，BE(如图1)，点O为其交点(1)探求AO与OD的数量关系，并说明理由；(2)如图2，若P，N分别为BE，BC上的动点当PNPD的长度取得最小值时，求BP的长度；如图3，若点Q在线段BO上，BQ1，则QNNPPD的最小值_解：(1)AO2OD，理由：ABC是等边三角形，BAOABOOBD30，AOOB，BDCD，ADBC，BDO90，OB2OD，OA2OD；(2)如图2，作点D关于BE的对称点D，过D作DNBC于N交BE于P，则此时PNPD的长度取得最小值，BE垂直平分DD，BDBD，ABC60，BDD是等边三角形，BNBD，PBN30，PB；(3)如图3，作
6、Q关于BC的对称点Q，作D关于BE的对称点D，连接QD，则DQ的长度即为QNNPPD的最小值在RtDBQ中，DQ.QNNPPD的最小值.类型2利用函数性质求最值7已知函数ymx2(2m5)xm2的图象与x轴有两个公共点(1)求m的取值范围，并写出当m取范围内最大整数时函数的解析式；(2)题(1)中求得的函数记为C1，当nx1时，y的取值范围是1y3n，求n的值；函数C2：ym(xh)2k的图象由函数C1的图象平移得到，其顶点P落在以原点为圆心，半径为的圆内或圆上，设函数C1的图象顶点为M，求点P与点M距离最大时函数C2的解析式解：(1)函数图象与x轴有两个交点，m0且(2m5)24m(m2)0
7、，解得：m且m0.m为符合条件的最大整数，m2.函数的解析式为y2x2x.(2)抛物线的对称轴为x.nx1，a20，当nx1时，y随x的增大而减小当xn时，y3n.2n2n3n，解得n2或n0(舍去)n的值为2.(3)y2x2x2(x)2，M(，)如图所示：当点P在OM与O的交点处时，PM有最大值设直线OM的解析式为ykx，将点M的坐标代入解得：k.OM的解析式为yx.设点P的坐标为(x，x)由两点间的距离公式可知：OP5，解得：x2或x2(舍去)点P的坐标为(2，1)当点P与点M距离最大时函数C2的解析式为y2(x2)21.8如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(1，0)，B
8、(4，0)，C(0，4)三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点(1)求这个二次函数的解析式；(2)是否存在点P，使POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；(3)动点P运动到什么位置时，PBC面积最大，求出此时P点坐标和PBC的最大面积解：(1)抛物线解析式为yx23x4；(2)作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，POPC，此时P点即为满足条件的点，C(0，4)，D(0，2)，P点纵坐标为2，代入抛物线解析式可得x23x42，解得x(小于0，舍去)或x，存在满足条件的P点，其坐标为(，2)；(3)点P在抛物线上，可设P(t，t23t4)，过P作PEx轴于点E，交直线BC于点F，如图2，可求直线BC解析式为yx4，F(t，t4)，PF(t4)(t23t4)t24t，SPBCSPFCSPFB(t24t)42(t2)28，当t2时，SPBC最大值为8，此时t23t46，当P点坐标为(2，6)时，PBC的最大面积为8.