1、江西省南昌市第二中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）一、选择题（每小题5分，共12小题，共60分）1.命题：，则（ ）A. ：，B. ：，C. ：，D. ：，【答案】D【解析】由含量词的命题的否定可得选项D成立。选D。2.在参数方程(，为参数)所表示曲线上有两点，它们对应的参数值分别为，则线段的中点M对应的参数值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据参数的几何意义求解即可。【详解】如图：由直线参数方程的参数 的几何意义可知，因为是的中点，所以.选D.【点睛】本题考查直线参数方程的参数的几何意义。3.设角A,B,C是的三个内角,则“”是“是钝角三
2、角形”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：若,则若是钝角三角形,则C不一定为钝角,不一定成立,故选A.考点：充分条件与必要条件.4.已知双曲线的离心率为2，一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】双曲线与抛物线焦点相同，得出，利用离心率公式以及、关系可求得、，进一步得到双曲线的渐近线方程【详解】双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，焦点为又，由得，因此，渐近线方程为，故选A【点睛】本题考察双曲线渐近线方程，利用共焦点求得是关键5.若满足不等式组，则的最
3、大值是（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】【分析】由题，画出可行域，将目标函数转化为关于的表达式，再根据图形求解即可【详解】根据二元一次不等式组，画出目标可行域，将转化为，要求的最大值，即求对应在可行域内的轴截距的最大值，如图：当直线交阴影部分于点时，取到最大值，此时，故选：D【点睛】本题考查由线性规划区域求目标函数的最大值，属于基础题6.椭圆以点为中点的弦所在直线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】可设弦的两端点为，结合点差法可求得斜率，再由点斜式即可求得直线方程【详解】由题意，该弦所在的直线斜率存在，设弦的两端点为代入椭圆得，两式相减得直线的
4、斜率为，因此所求直线方程为，即.故选：C【点睛】本题考查椭圆中由弦的中点坐标求弦的直线方程，点差法的应用，推导结论可作为常规结论加以记忆：若直线与椭圆相交弦的中点为，且直线的斜率为，则有，属于中档题7.直线（t为参数）被曲线所截的弦长是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】将方程，分别化为普通方程，所以圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为，所以弦长.故选A.点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：（）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；（）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；（）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时
5、长度最小8.设点分别是双曲线的右顶点、右焦点,直线交该双曲线的一条渐近线于点,若是等腰三角形,则此双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：渐近线为，化简得，两边除以得，解得.考点：圆锥曲线的位置关系.【思路点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，考查划归与转化的数学思想方法、数形结合的数学思想方法，方程的思想.题目的突破口就在等腰二字.既然是等腰三角形，那么我们通过计算它的边长，利用边长相等，就可以建立一个方程，利用这个方程，我们就可以求出离心率.双曲线的渐近线为，两条渐近线取其中一条来计算.9.过抛物线的焦点作两条垂直的弦,则（ ）A. B. C. D.
6、【答案】D【解析】试题分析：由抛物线，可知，设的倾斜角为，则的倾斜角为，过焦点的弦，所以，故选D.考点：抛物线的标准方程及其简单的几何性质.10.过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为，则的最小值为（ ）A. 10B. 13C. 16D. 19【答案】B【解析】试题分析：由题可知，因此，故选B考点：圆锥曲线综合题11.已知点是椭圆上除顶点外的一动点，、为椭圆的两个焦点，是坐标原点，若是的角平分线上的点，且，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：如图，延长交点为，连接因为是的平分线，且，可得所以,为的中点.又为的中点，所以.设，根据圆锥曲线的统一定
7、义可得，所以，因为点是椭圆上异于顶点的一点，所以，所以故选B.考点：椭圆的定义、几何性质及向量垂直关系的应用.【方法点晴】本题重点考查了椭圆定义的应用，属于中档题.本题解答的难点是题意的转化，根据题目给出的条件和椭圆的特征建立与椭圆上的点的关系.根据圆锥曲线的统一定义和焦半径公式建立与点横坐标的关系，从而求得的取值范围，要特别注意点是椭圆上异于顶点的任意一点，也就是说，保证解答的准确性.12.椭圆上一点关于原点的对称点为，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的最大值为（ ）A. B. C. D. 1【答案】A【解析】由题知AFBF，根据椭圆的对称性，AFBF（其中F是椭圆的左焦点），因此四边
8、形AFBF是矩形，于是，|AB|=|FF|=2c， ， ，根据椭圆的定义，|AF|+|AF|=2a，椭圆离心率，而，故e的最大值为，故选A椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a，c，代入公式；只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2a2c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)二、填空题（每小题5分，共20分）13.若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】可先将化简得，由充分不必要条件再确定参数满
9、足条件即可【详解】由，“”是“”的充分不必要条件，解得故答案为：【点睛】本题考查由充分不必要条件求参数，属于中档题14.过抛物线的焦点作直线与其交于两点，若，则_.【答案】【解析】【分析】可结合抛物线第一定义，将转化为，结合抛物线方程求出点，再由两点求得直线方程，解得点横坐标，再结合第一定义即可求解【详解】由，焦点坐标为，结合抛物线定义可得；，即，联立两点，可求出直线的方程为：， 联立抛物线方程可得：.故答案为：【点睛】本题考查抛物线的几何性质，韦达定理在解析几何中的应用，属于中档题15.已知在直角坐标系中曲线的参数方程为（为参数且），在以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立的极坐标系中曲线的极坐
10、标方程为，则曲线与交点的直角坐标为_【答案】（2，2）【解析】试题分析：由曲线的参数方程为（为参数且），消去参数得到曲线的普通方程为：；曲线的极坐标方程为化为直角坐标方程得；由方程组：解得，（舍去），故曲线与交点的直角坐标为（2，2）考点：1参数方程与普通方程的互化；2极坐方程与直角坐标方程的互化；曲线的交点16.已知曲线（且）与直线相交于两点，且（为原点），则的值为_.【答案】【解析】试题分析：则，设，联立直线的方程和双曲线的方程消去得，且，由得，化简得.考点：直线与圆锥曲线位置关系，向量运算.【思路点晴】本题考查直线与圆锥曲线位置关系，向量运算.两个向量的数量积等于零，也就是说这两个向量垂
11、直，转化为代数式子就是，由此可以想到利用根与系数关系求出.联立直线的方程和曲线的方程，消去，写出根与系数关系，然后带入数量积，化简就可以得到.根与系数关系运算量较大，注意检验计算是否正确.三、解答题（共6小题，共70分）17.已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1）判断直线与曲线C的位置关系；（2）设点为曲线C上任意一点，求的取值范围【答案】（1）相离；（2）.【解析】试题分析：本题考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，圆的参数方程的应用以及直线和圆的位置关系的判断。（1）把直线、曲线方程
12、化为直角坐标方程后根据圆心到直线的距离和半径的关系判断即可。（2）利用圆的参数方程，根据点到直线的距离公式和三角函数的知识求解。试题解析：（1）由，消去得直线的普通方程为：由，得. ，即 .化为标准方程得：. 圆心坐标为，半径为1， 圆心到直线的距离， 直线与曲线相离.（2）由为曲线上任意一点，可设，则，的取值范围是.18.设命题：函数的定义域为；命题：关于的方程有实根.（1）如果是真命题，求实数的取值范围.（2）如果命题“”为真命题，且“”为假命题，求实数的取值范围.【答案】(1) 实数的取值范围为;(2) 实数的取值范围是或.【解析】试题分析：（1）由函数的定义域为可得，可得实数的取值范围
13、为；（2）化简命题可得，由为真命题，为假命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围.试题解析：（1）若命题是真命题，则有当时定义域为，不合题意当时，由已知可得故所求实数的取值范围为（2）若命题是真命题，则关于的方程有实根，令， 若命题“”为真命题，且“”为假命题，则一真一假若真假，则；若假真，则综上：实数的取值范围是或.19.在直角坐标系中，直线的参数方程为，（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若直线过点，圆C与直
14、线交于点，求的最小值【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）直接利用转换关系把圆的极坐标方程转换为直角坐标方程（2）将直线的参数方程和圆联立，整理成一元二次方程，进一步利用根和系数的关系求出结果解析：(1)(2)证明：把得证。20.已知直线恒过定点，圆经过点和点，且圆心在直线上.（1）求定点的坐标与圆的方程；（2）已知点为圆直径的一个端点，若另一个端点为点，问：在轴上是否存在一点，使得为直角三角形，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1），；（2）存在，或.【解析】【分析】（1）可采用分离参数法求出直线恒过的定点，设圆的方程为，将两点代入一般方程，又圆心过直线，故有，联立求
15、解即可；（2）由为直径对应的两个端点，根据对称关系先求得点，可判断点在圆外，故直角存在两种情况，以点为直角和以点为直角，结合两直线垂直斜率之积为-1即可求得点【详解】（1）由得，令，得，即定点坐标为.设圆的方程为，由条件得，解得.所以圆的方程为.（2）圆的标准方程为，设点关于圆心的对称点为，则有，解得，故点的坐标为.因为在圆外，所以点不能作为直角三角形的顶点，若点为直角三角形的顶点，则有，若点是直角三角形的顶点，则有，综上，或【点睛】本题考查直线过定点的求法，圆的标准方程的求法，点关于点对称的求法，由点与圆的位置关系和两直线垂直求参数值，属于中档题21.已知直线与椭圆相交于两点.（1）若椭圆的
16、离心率为，焦距为2，求线段的长；（2）若向量与向量互相垂直（其中为坐标原点），当椭圆离心率时，求椭圆的长轴长的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知可先求得椭圆的标准方程，再联立直线与椭圆方程求得关于的一元二次方程，结合韦达定理和弦长公式即可求得；（2）设，由向量与向量互相垂直可得，同时联立直线与椭圆方程可得，消去得：，结合韦达定理和前式代换，最终可整理得，结合即可得到关于的不等式，进而求出长轴长的范围【详解】（1）,即，则.椭圆的方程为，联立消去得：，设，则.；（2）设，即，由消去得，由，整理得.又，得：整理得：，代入式得，适合条件由此得，故长轴长的最大值为.【点睛】本
17、题考查椭圆中弦长的求法，韦达定理在解决椭圆实际问题中的应用，不等式在解析几何中的应用，运算推理能力，属于难题22.如图，已知动圆过定点且与轴相切，点关于圆心的对称点为，点的轨迹为（1）求曲线的方程；（2）一条直线经过点，且交曲线于、两点，点为直线上的动点.求证：不可能是钝角；是否存在这样的点，使得是正三角形？若存在，求点的坐标；否则，说明理由.【答案】（1）；（2）证明见解析；存在，.【解析】【分析】（1）可设，可由与关于圆心对称，求得圆心，再由半径处处相等建立等式，化简即可求解；（2）设直线，联立方程得关于的表达式，结合韦达定理和向量的表示方法，即可求证；（3）可假设存在点，设的中点为，由直线和垂直关系求出点，由韦达定理和弦长公式求得弦，结合即可求解具体的的值，进而求解点；【详解】（1）设，因为点在圆上，且点关于圆心的对称点为，则，而，则，化简得：，所以曲线的方程为. （2）设直线，,由，得，则.，则不可能是钝角.假设存在这样的点，设的中点为，由知;，则，则，则，而，由得，所以存在点.【点睛】本题主要考查抛物线轨迹方程的求法，韦达定理，向量法在解析几何中的具体应用，由特殊三角形的关系求解参数值，运算推理能力，综合性强，属于难题