1、第二课时导数的运算法则预习课本P1517，思考并完成下列问题(1)导数的四则运算法则是什么？在使用运算法则时的前提条件是什么？(2)复合函数的定义是什么，它的求导法则又是什么？1导数的四则运算法则(1)条件：f(x)，g(x)是可导的(2)结论：f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0)点睛应用导数公式的注意事项(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算(2)两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导(3)若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导(4)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，
2、化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程2复合函数的求导公式(1)复合函数的定义：一般形式是yf(g(x)可分解为yf(u)与ug(x)，其中u称为中间变量(2)求导法则：复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为：yxyuux.点睛在复合函数定义中，y是因变量，x是自变量，u是中间变量，因变量y是中间变量u的函数，中间变量u是自变量x的函数1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)f(x)2x，则f(x)x2.()(2)函数f(x)xex的导数是f(x)ex(x1)()(3)函数f(x)sin(x)的导数为f(x)cos x()答案：(1)(2)(3)2函数y
3、sin xcos x的导数是()Aycos 2xsin 2xBycos 2xCy2cos xsin x Dycos xsin x答案：B3若f(x)(2xa)2，且f(2)20，则a_.答案：14曲线ysin 2x在点M(，0)处的切线方程是_答案：2xy20利用导数四则运算法则求导典例求下列函数的导数：(1)yx2log3x；(2)yx3ex；(3)y.解 (1)y(x2log3x)(x2)(log3x)2x.(2)y(x3ex)(x3)exx3(ex)3x2exx3exex(x33x2)(3)y.求函数的导数的策略(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导
4、数(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算活学活用求下列函数的导数：(1)ysin x2x2；(2)ycos xln x；(3)y.解：(1)y(sin x2x2)(sin x)(2x2)cos x4x.(2)y(cos xln x)(cos x)ln xcos x(ln x)sin xln x.(3)y复合函数的导数运算典例求下列函数的导数：(1)y；(2)ysin2；(3)y5log2(2x1)解(1)设yu，u12x2，则y(u)(12x2)(4x)(12x2) (4x)2x(12x2).(2)设yu2，usin v，v2x，则yxyuuvvx2uc
5、os v24sin vcos v2sin 2v2sin.(3)设y5log2u，u2x1，则y5(log2u)(2x1).1求复合函数的导数的步骤2求复合函数的导数的注意点(1)内、外层函数通常为基本初等函数(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点活学活用 求下列函数的导数：(1)y(3x2)2；(2)yln(6x4)；(3)ye2x1；(4)y；(5)ysin；(6)ycos2x.解：(1)y2(3x2)(3x2)18x12；(2)y(6x4)；(3)ye2x1(2x1)2e2x1；(4)y(2x1) .(5)ycos3cos.(6)y2cos x(co
6、s x)2cos xsin xsin 2x.与切线有关的综合问题典例(1)设函数f(x)x3x2bxc，其中a0，曲线yf(x)在点P(0，f(0)处的切线方程为y1，则b_，c_.(2)若曲线yxln x上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_解析(1)由题意得f(x)x2axb，由切点P(0，f(0)既在函数f(x)x3x2bxc上又在切线y1上，得即解得b0，c1.(2)设P(x0，y0)，yxln x，yln xx1ln x.切线的斜率k1ln x0，又k2，1ln x02，x0e.y0eln ee，点P的坐标是(e，e)答案(1)01(2)(e，e)一题多变1变结论求本例
7、(2)中的切线与直线2xy10之间的距离解：求点P处的切线与直线2xy10之间的距离即求点P到直线2xy10的距离，故所求的距离d.2变结论求本例(2)中过曲线上一点与直线yx平行的切线方程解：设切点为(x1，y1)，因为yln x1，所以切线的斜率为kln x11，又k1，得x1，y1，故所求的切线方程为y，即e2xe2y10.关于函数导数的应用及其解决方法应用求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用方法先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标总之，切点在解决此类问题时起着至关重
8、要的作用层级一学业水平达标1已知函数f(x)ax2c，且f(1)2，则a的值为()A1BC1D0解析：选Af(x)ax2c，f(x)2ax，又f(1)2a，2a2，a1.2函数y(x1)2(x1)在x1处的导数等于()A1 B2C3 D4解析：选Dy(x1)2(x1)(x1)2(x1)2(x1)(x1)(x1)23x22x1，y4.3函数y(2 0188x)8的导数为()Ay8(2 0188x)7 By64xCy64(8x2 018)7 Dy64(2 0188x)7解析：选Cy8(2 0188x)7(2 0188x)64(2 0188x)764(8x2 018)7.4曲线yx33x21在点(1
9、，1)处的切线方程为()Ay3x4 By3x2Cy4x3 Dy4x5解析：选B点(1，1)在曲线yx33x21上，该点处切线的斜率为ky(3x26x)363，切线方程为y13(x1)，即y3x2.5设曲线f(x)axln(x1)在点(1，f(1)处的切线与yx平行，则a()A0 B1C2 D3解析：选Bf(x)a，由题意得f(1)，即a，所以a1.6(2017全国卷)曲线yx2在点(1,2)处的切线方程为_解析：因为y2x，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为y|x12111，所以切线方程为y2x1，即xy10.答案：xy107已知函数f(x)fcos xsin x，则f的值为_解析：f(x
10、)fsin xcos x，ff，得f1.f(x)(1)cos xsin xf1.答案：18若曲线f(x)xsin x1在x处的切线与直线ax2y10互相垂直，则实数a_.解析：因为f(x)sin xxcos x，所以fsincos1.又直线ax2y10的斜率为，所以根据题意得11，解得a2.答案：29求下列函数的导数：(1)yln x；(2)y(x21)(x1)；(3)y； (4)y；(5)yx；(6)ycos xsin 3x.解：(1)y(ln x)()(ln x).(2)y(x21)(x1)(x3x2x1)(x3)(x2)(x)(1)3x22x1.(3)y.(4)y.(5)y x(1x2)
11、x(1x2)(1x2)x(1x2) 2x.(6)y(cos x)sin 3xcos x(sin 3x)sin xsin 3xcos xcos 3x(3x)sin xsin 3x3cos xcos 3x.10已知函数f(x)，g(x)aln x，aR.若曲线yf(x)与曲线yg(x)相交且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程解：f(x)，g(x)(x0)，设两曲线的交点为P(x0，y0)，则解得a，x0e2，所以两条曲线交点的坐标为(e2，e)切线的斜率为kf(e2)，所以切线的方程为ye(xe2)，即x2eye20.层级二应试能力达标1函数ysin x(cos x1)的导数是()Aco
12、s 2xcos xBcos 2xsin xCcos 2xcos x Dcos2xcos x解析：选Cy(sin x)(cos x1)sin x(cos x1)cos x(cos x1)sin x(sin x)cos 2xcos x.2若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，则f(1)等于()A1B2C2 D0解析：选Bf(x)4ax32bx为奇函数，f(1)f(1)2.3函数f(x)xex1在点(1,1)处切线的斜率等于()A2e BeC2 D1解析：选C函数的导数为f(x)ex1xex1(1x)ex1，当x1时，f(1)2，即曲线yxex1在点(1,1)处切线的斜率kf(1)2，故选C.
13、4若f(x)x22x4ln x，则f(x)0的解集为()A(0，) B(1,0)(2，)C(2，) D(1,0)解析：选Cf(x)x22x4ln x，f(x)2x20，整理得0，解得1x0或x2，又f(x)的定义域为(0，)，x2.5已知曲线y12与y2x3x22x在xx0处切线的斜率的乘积为3，则x0_.解析：由题知y1，y23x22x2，所以两曲线在xx0处切线的斜率分别为，3x2x02，所以3，所以x01.答案：16已知函数f(x)exmx1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线yx垂直的切线，则实数m的取值范围是_解析：f(x)exmx1，f(x)exm，曲线C存在与直线yx垂直的切线，f
14、(x)exm2成立，m2ex2，故实数m的取值范围是(2，)答案：(2，)7偶函数f(x)ax4bx3cx2dxe的图象过点P(0,1)，且在x1处的切线方程为yx2，求f(x)的解析式解：f(x)的图象过点P(0,1)，e1.又f(x)为偶函数，f(x)f(x)故ax4bx3cx2dxeax4bx3cx2dxe.b0，d0.f(x)ax4cx21.函数f(x)在x1处的切线方程为yx2，切点为(1，1)ac11.f(1)4a2c，4a2c1.a，c.函数f(x)的解析式为f(x)x4x21.8设抛物线C：yx2x4，过原点O作C的切线ykx，使切点P在第一象限(1)求k的值；(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标解：(1)设点P的坐标为(x1，y1)，则y1kx1，y1xx14，代入，得xx140.点P为切点，2160，得k或k.当k时，x12，y117.当k时，x12，y11.点P在第一象限，所求的斜率k.(2)过点P作切线的垂线，其方程为y2x5.将代入抛物线方程，得x2x90.设Q点的坐标为(x2，y2)，即2x29，x2，y24，Q点的坐标为.
