1、“212”压轴满分练(四)1已知函数f(x)1nln x(m0,0ne)在区间1，e内有唯一零点，则的取值范围为()A.B. C. D 解析：选Af(x)，当n0时，f(x)0，当0ne时，令f(x)0，则x0，所以函数f(x)在1，e上单调递减，由函数f(x)在区间1，e内有唯一零点，得即即或即又m0,0ne，所以(1)或(2)所以m，n满足的可行域如图(1)或图(2)中的阴影部分所示，则表示点(m，n)与点(1，2)所在直线的斜率，当m，n满足不等式组(1)时，的最大值在点(1，e)处取得，为1，当m，n满足不等式组(2)时，的最小值在A点处取得，根据得所以最小值为，故选A.2已知P为双曲
2、线C：1(a0，b0)右支上的任意一点，经过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于A，B两点若点A，B分别位于第一、四象限，O为坐标原点，当时，AOB的面积为2b，则双曲线C的实轴长为()A. B.C. D.解析：选A设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，由，得(xx1，yy1)(x2x，y2y)，则xx1x2，yy1y2，所以1.易知点A在直线yx上，点B在直线yx上，则y1x1，y2x2，所以1，即b22a22a2b2，化简可得a2x1x2.由渐近线的对称性可得sinAOBsin 2AOx，所以AOB的面积为|OA|OB|sinAOBsinAOB x1x2 a2a2ab2
3、b，得a，所以双曲线C的实轴长为.3已知数列an共16项，且a11，a84.记关于x的函数fn(x)x3anx2(a1)x，nN*.若xan1(1n15)是函数fn(x)的极值点，且曲线yf8(x)在点(a16，f8(a16)处的切线的斜率为15，则满足条件的数列an的个数为_解析：fn(x)x22anxa1x(an1)x(an1)，令fn(x)0，得xan1或xan1，所以an1an1或an1an1(1n15)，所以|an1an|1(1n15)，又f8(x)x28x15，所以a8a161515，解得a160或a168，当a160时，a8a1(a2a1)(a3a2)(a8a7)3，得ai1ai
4、(1i7，iN*)的值有2个为1,5个为1；由a16a8(a9a8)(a10a9)(a16a15)4，得ai1ai(8i15，iN*)的值有6个为1,2个为1.所以此时数列an的个数为CC588，同理可得当a168时，数列an的个数为CC588.综上，数列an的个数为2CC1 176.答案： 1 1764已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，离心率为，点B是椭圆上的动点，ABF1面积的最大值为.(1)求椭圆C的方程；(2)设经过点F1的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，线段MN的中垂线为l.若直线l与直线l相交于点P，与直线x2相交于点Q，求的最小值解：(1)由
5、已知得e，即a22c2.a2b2c2，bc.设B点的纵坐标为y0(y00)，则SABF1(ac)|y0|(ac)b，即(bb)b1，b1，a.椭圆C的方程为y21.(2)由(1)可知F1(1,0)，由题意知直线l的斜率不为0，故设直线l：xmy1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(xP，yP)，Q(2，yQ)联立，得消去x，得(m22)y22my10，此时8(m21)0，y1y2，y1y2.由弦长公式，得|MN|y1y2| 2.又yP，xPmyP1，|PQ|xP2|，（）2，当且仅当，即m1时等号成立，当m1，即直线l的斜率为1时，取得最小值2.5已知函数f(x)xln xax1，aR
6、.(1)当x0时，若关于x的不等式f(x)0恒成立，求a的取值范围；(2)当nN*时，证明：(ln 2)222.解：(1)由f(x)0，得xln xax10(x0)，即aln x恒成立，即amin.令F(x)ln x(x0)，则F(x)，函数F(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，函数F(x)ln x的最小值为F(1)1，a1，即a1，a的取值范围是1，)(2)证明：为数列的前n项和，为数列的前n项和，只需证明2即可由(1)知，当a1时，xln xx10，即ln x1，令x1，得ln 1，22.现证明2，即2ln .(*)现证明2ln xx(x1)，构造函数G(x)x2ln x(x1)，则G(x)10，函数G(x)在(1，)上是增函数，即G(x)G(1)0，即2ln xx成立令x ，则(*)式成立综上，得2.对数列，分别求前n项和，得(ln 2)222.