1、河南省洛阳市第一中学2021届高三数学上学期第五次周练试题 理一选择题（共10小题）1已知角的终边在直线y3x上，则（）ABCD2已知角的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，将角的终边绕O点顺时针旋转后，经过点（3，4），则sin（）ABCD3已知函数f（x）Asin（x+）1（A0，01），f（）f（），且f（x）在区间（0，）上的最大值为若对任意的x1，x20，t，都有2f（x1）f（x2）成立，则实数t的最大值是（）ABCD4函数f（x）Acos（x+）（0）的部分图象如图所示，给出以下结论，则其中正确的为（）f（x）的最小正周期为2；f（x）图象的一条对称轴为直线；f（x）在上
2、是减函数；f（x）的最大值为AABCD5若，则的值为（）ABCD6若函数f（x）sin（x+）在（0，）内有且仅有一个极小值点，则正数的取值范围为（）A（0，B（，C（，D（，7已知函数f（x）msinx+ncosx（m，n为常数，mn0，xR）在处取得最大值2，将f（x）的图象向左平移h（h0）个单位长度以后得到的图象与函数yksinx（k0）的图象重合，则k+h的最小值为（）ABCD8设奇函数f（x）的定义域为，且f（x）的图象是连续不间断，有f（x）cosxf（x）sinx0，若，则t的取值范围是（）ABCD9在ABC中，B，BC边上的高为BC长度的一半，则cosA（）ABCD10已知f
3、（x）是函数f（x）的导数，f（x）+f（x）0，且，则不等式的解集是（）A（e2，+）B（2，+）C（0，e2）D（0，2）二填空题（共4小题）11定积分的值是 12已知函数，则关于a的不等式f（a2）+f（a24）0的解集是 13ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a3若点D在边BC上，且BD2DC，则AD的最大值是 14“a1”是“函数f（x）+sinxa2为奇函数”的 条件（填“充分不必要”，“必要不充分”、“既不充分也不必要“）三解答题（共2小题）15在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求的值； （2）若，b2，求ABC的面积S16已知函数存在一个
4、极大值点和一个极小值点（1）求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的极大值点和极小值点分别为x1和x2，且f（x1）+f（x2）26e，求实数a的取值范围（e是自然对数的底数）参考答案与试题解析一选择题（共10小题）1已知角的终边在直线y3x上，则（）ABCD【分析】利用任意角的三角函数的定义求得tan的值，再利用同角三角函数的基本关系以及而被求得结论【解答】解：角的终边在直线y3x上，tan3；则，故选：A【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题2已知角的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，将角的终边绕O点顺时针旋转后，经过点（3，4），则si
5、n（）ABCD【分析】直接利用三角函数的定义和角的变换的应用求出结果【解答】解：角的终边按顺时针方向旋转后得到的角为，由三角函数的定义：可得，故选：B【点评】本题考查的知识要点：三角函数的定义，三角函数的角的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题3已知函数f（x）Asin（x+）1（A0，01），f（）f（），且f（x）在区间（0，）上的最大值为若对任意的x1，x20，t，都有2f（x1）f（x2）成立，则实数t的最大值是（）ABCD【分析】根据（0，1），所以T2；根据f（）f（），对称轴为，代入由+，kz，得根据f（x）在区间（0，）上的最大值为，解得求得函数解析式根
6、据任意的x1，x20，t，都有2f（x1）f（x2）成立，转化为x0，t，2f（x）minf（x）max，根据三角函数的单调性及最值，即可求得t的最值【解答】解：根据题意，（0，1），所以T2；f（）f（），对称轴为，由+，kz，得，kz01，此时f（x）Asin（+）1当x（0，），+，+时，f（x）maxA1，f（x）（）sin（+）1当x0，t，+，对任意的x1，x20，t，都有2f（x1）f（x2）成立，即x0，t，2f（x）minf（x）max，当+，2f（x）min2（）sin1，f（x）max（）sin12f（x）minf（x）max成立又+与+对称，所以+时，2f（x）minf
7、（x）max恒成立；当+时，f（x）max（）sin12f（x）min，即2f（x）minf（x）max不成立综上所述，对任意的x1，x20，t，2f（x1）f（x2）成立，+，即t故选：A【点评】本题考查了本题考查求三角函数解析式的方法，三角函数单调性及最值问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4函数f（x）Acos（x+）（0）的部分图象如图所示，给出以下结论，则其中正确的为（）f（x）的最小正周期为2；f（x）图象的一条对称轴为直线；f（x）在上是减函数；f（x）的最大值为AABCD【分析】根据图象判断函数的解析式f（x）Acos（x+），结合三角函数的性质即可得到结论【解答】解：由
8、函数f（x）Acos（x+）的部分图象如图所示，可得T2（）2，正确；由图知，左侧第一个零点为：1，所以对称轴为：x，所以x不是对称轴，不正确；f（x）在（2k，2k+），kZ上是减函数；正确；因为A正负不定，f（x）的最大值为|A|所以不正确综上可得：正确故选：C【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5若，则的值为（）ABCD【分析】观察所求角与已知角可以发现（）+（），利用两角和的余弦公式计算即可求解【解答】解：因为0，所以，又sin（），所以cos（），因为0，所以，又cos（），所以sin（），所以coscos（）+（）cos（）cos（）sin（）
9、sin（）（）故选：B【点评】本题主要考查两角和的余弦公式，同角三角函数的基本关系，属于中档题6若函数f（x）sin（x+）在（0，）内有且仅有一个极小值点，则正数的取值范围为（）A（0，B（，C（，D（，【分析】当0x时，求出角x+的范围，结合三角函数的图象，建立不等式关系进行求解即可【解答】解：当0x时，x+，f（x）在（0，）内有且仅有一个极小值点，+2，得，故选：D【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，求出角的范围，建立不等式关系是解决本题的关键难度中等7已知函数f（x）msinx+ncosx（m，n为常数，mn0，xR）在处取得最大值2，将f（x）的图象向左平移h（h0）个单位长
10、度以后得到的图象与函数yksinx（k0）的图象重合，则k+h的最小值为（）ABCD【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，求出m、n的值，可得f（x）的解析式，再利用函数yAsin（x+）的图象变换规律，求得k和h的值，可得k+h的最小值【解答】解：由函数f（x）msinx+ncosx sin（x+），其中，tan，在处取得最大值2，（m+n），解得 mn2，函数f（x）2sinx+2cosx2sin（x+）故把f（x）的图象向左平移h（h0）个单位长度以后，得到函数解析式为f（x）2sinx+2cosx2sin（x+h+）根据得到的图象与函数yksinx（k0）的图象重合，k2，且h+2t
11、，tZ，求得k2，h，故k+h的最小值为2+，故选：D【点评】本题主要考查函数yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题8设奇函数f（x）的定义域为，且f（x）的图象是连续不间断，有f（x）cosxf（x）sinx0，若，则t的取值范围是（）ABCD【分析】构造函数 g（x）f（x）cosx，先研究函数的奇偶性，再利用 导数研究函数的单调性，然后将 转化为 ，即 ，最后求出 t 的取值范围即可【解答】解：令 ，因为 f（x） 为奇函数，所以 g（x）f（x）cos（x）f（x）cosxg（x），则函数 g（x） 是定义在 上的奇函数，则 g（x）f（x）cosxf（x）
12、sinx，因为当 时，f（x）cosxf（x）sinx0，所以 g（x）0，则函数 g（x） 在 上单调递减，则函数 g（x） 在 上是奇函数且单调递减，又因为 等价于 ，即 ，所以 ，且 ，所以 ，故选：D【点评】本题主要考查导数在研究函数中的应用，解题关键是正确构造函数，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查转化思想，属于中档题9在ABC中，B，BC边上的高为BC长度的一半，则cosA（）ABCD【分析】由BC边上的高AD恰为BC边长的一半，即ADBD，ABa，在ABC中，由余弦定理得AC，在ABC中，由正弦定理得，可得：sinA，即可求解【解答】解：如图，BC边上的高AD恰为BC边长的一半
13、，即ADBDABa，在ABC中，由余弦定理得AC2AB2+BC22ABBCcosABCa2在ABC中，由正弦定理得：，可得：sinA，A（0，），可得：cosA故选：A【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题10已知f（x）是函数f（x）的导数，f（x）+f（x）0，且，则不等式的解集是（）A（e2，+）B（2，+）C（0，e2）D（0，2）【分析】设g（x）exf（x），求出函数的导数，得到g（x）在R上单调递增，问题f（t）e2等价于g（t）g（2），从而求出答案【解答】解：令tlnx，则xe因为，所以，即f（t）e2设g（x）exf（x），则
14、g（x）ex（f（x）+f（x）因为f（x）+f（x）0，所以g（x）0，所以g（x）在R上单调递增因为，所以g（2）e2f（2）2，所以f（t）e2等价于g（t）g（2），则t2，即lnx2，解得xe2故选：A【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及求不等式的解集，考查转化思想，是一道综合题二填空题（共4小题）11定积分的值是2【分析】根据定积分的定义、几何意义和公式计算即可【解答】解：dx+（sinx+x3）dx+（cosx+）2+（cos2+4）（cos2+4）2故答案为：2【点评】本题主要考查了定积分的计算、考查了定积分的几何意义，属于基础题12已知函数，则关于a的不等式
15、f（a2）+f（a24）0的解集是（，2【分析】由0，求得函数的定义域为（1，1）再根据函数为奇函数，不等式即 f（a2）f（a24）f（4a2）函数f（x）在其定义域上单调递增，可得关于a的不等式组，从而求得不等式的解集【解答】解：由0，求得1x1，故函数的定义域为（1，1）再根据函数满足f（x）ln（ ）+sin（x）lnsinxf（x），可得函数为奇函数，故关于a的不等式f（a2）+f（a24）0，即 f（a2）f（a24）f（4a2）再由函数y、ysinx在的定义域（1，1）上单调递增，可得函数f（x）在其定义域上单调递增，可得1a21且1a241且a24a2，解得a2，故答案为 （，
16、2【点评】本题主要考查求函数的定义域、函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题13ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a3若点D在边BC上，且BD2DC，则AD的最大值是+1【分析】ABC中利用正弦定理转化求得A的值，再求出ABC外接圆的半径；取BC的中点M，利用直角三角形的边角关系与两边之和大于第三边，即可求出AD的最大值【解答】解：ABC中，由正弦定理得，sinAsinBsinBcosA，因为sinB0，所以tanA；又因为0A，所以A；设ABC外接圆的圆心为O，半径为R，则由正弦定理得，R；取BC的中点M，如图所示；在RtBOM中，BMBC，OM；在RtDOM中，DMBDBM，
17、OD1；由ADAO+ODR+OD+1，当且仅当圆心O在AD上时取“”；所以AD的最大值是+1故答案为：+1【点评】本题考查了三角形的边角关系应用问题，也考查了数形结合与转化思想，是难题14“a1”是“函数f（x）+sinxa2为奇函数”的充分不必要条件（填“充分不必要”，“必要不充分”、“既不充分也不必要“）【分析】由函数f（x）+sinxa2为奇函数，可得f（x）+f（x）0，化为：a21，解得a，即可判断出结论【解答】解：由函数f（x）+sinxa2为奇函数，f（x）+f（x）+sinxa2+sinxa20，化为：a21，解得a1“a1”是“函数f（x）+sinxa2为奇函数”的充分不必要
18、条件故答案为：充分不必要【点评】本题考查了函数的奇偶性、方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三解答题（共2小题）15在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求的值；（2）若，b2，求ABC的面积S【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式，诱导公式化简可得sinC2sinA，再结合正弦定理即可求解；（2）由已知结合余弦定理可求a，c，然后结合三角形的面积公式即可求解【解答】解：（1）由正弦定理可得，整理可得，sinBcosA+sinAcosB2sinCcosB+2sinBcosC，所以sin（A+B）2sin（B+C），即sinC2sinA
19、由正弦定理可得，2，（2）由余弦定理可得，解可得，a1，c2，b2，又因为sinB，所以ABC的面积S【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式，及三角形的面积公式的综合应用，属于中档试题16已知函数存在一个极大值点和一个极小值点（1）求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的极大值点和极小值点分别为x1和x2，且f（x1）+f（x2）26e，求实数a的取值范围（e是自然对数的底数）【分析】（1）对f（x）求导后，易知方程2x26ax+2a0有两个不等的正根，设为x1和x2，且x1x2，利用韦达定理可求得；而，再验证x1和x2是f（x）的极大值点和极小值点即可；（2）由（1）知，x1
20、+x23a，x1x2a，代入f（x1）+f（x2）的解析式中化简可得f（x1）+f（x2）26alna，于是有alnae；构造函数，则g（a）eg（e），再根据g（a）在上的单调性即可得解【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+），f（x）有两个极值点，方程2x26ax+2a0一定有两个不等的正根，设为x1和x2，且x1x2，解得此时，当0xx1时，f（x）0；当x1xx2时，f（x）0；当xx2时，f（x）0，x1是极大值点，x2是极小值点，符合题意故实数a的取值范围是（2）由（1）知，x1+x23a，x1x2a，f（x1）+f（x2）26e，26alna26e，即alnae令，g（e）elnee，alnae可化为g（a）g（e）而，g（a）在上单调递增，由g（a）g（e），得ae，故实数a的取值范围是（e，+）【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，理解函数的极值点与导数的零点之间的联系是解题的突破口，还涉及构造新函数，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于难题