1、江西省南昌市第二中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题 文一、选择题 (每小题5分,共60分)1经过点且在轴上的截距为的直线方程是( )ABCD2已知，则以AB为直径的圆的方程为（ ）ABCD3两条平行直线与间的距离等于（ ）ABCD4已知点，点Q是直线l：上的动点，则的最小值为A2BCD5已知双曲线C：（，）的实轴长为4，左焦点F到C的一条渐近线的距离为3，则C的方程为（ ）ABCD6已知圆，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（ ）ABCD7若直线没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（ ）A2个B至多一个C1个D0个8与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ）A一个圆
2、上B一个椭圆上C双曲线的一支上D抛物线上9过点作圆（x+1）2+（y-2）2=169的弦，其中弦长为整数的弦共有（ ）A16条 B17条 C32条 D34条10已知斜率为的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，又直线与圆交于，两点若，则的值为( )ABCD11点为双曲线右支上的一点，其左、右焦点分别为，若的内切圆与轴相切于点，过作的垂线，垂足为为坐标原点，那么的值为 （ ）ABCD12如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心
3、的圆形轨道绕月飞行.已知椭圆轨道和的中心与在同一直线上，设椭圆轨道和的长半轴长分别为，半焦距分别为，则以下四个关系，a1+c2=a2+c1，中正确的是( )A. B. C. D.二、填空题(每小题5分,共20分)13直线和直线垂直，则实数的值为_.14若圆与双曲线：的渐近线相切，则双曲线 的离心率为_.15若过点的直线l与抛物线有且只有一个交点，则这样的直线l共有_条.16已知直线y=-x+1与椭圆相交于，两点，且（为坐标原点），若椭圆的离心率，则的最大值为_三、解答题(共70分)17(10分)设直线的方程为.（1）若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；（2）若与两坐标轴围成的三角形的面积为
4、1，求a的值.18.(12分)在平面直角坐标系xoy中，已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C的离心率为，且双曲线C与斜率为2的直线l相交，且其中一个交点为P（3，0）（1）求双曲线C的方程及它的渐近线方程；（2）求以直线l与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程19(12分)已知抛物线E：x2=2py（p0）的焦点为F，直线x=2与x轴的交点为M，与抛物线E的交点为N，且4|FN|=5|MN|（1）求p的值；（2）若直线y=kx+2与E交于A，B两点，C（0，-2），记直线CA，CB的斜率分别为k1，k2，求证：k12+k22-2k2为定值20(12分)已知直线恒过定点，圆经过点和点，且圆心在
5、直线上.（1）求定点的坐标与圆的标准方程；（2）已知点为圆直径的一个端点，若另一个端点为点，问：在轴上是否存在一点，使得为直角三角形，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.21(12分)已知椭圆的中心在原点，焦点在轴，焦距为2，且长轴长是短轴长的倍（1）求椭圆的标准方程；（2）设，过椭圆左焦点的直线交于、两点，若对满足条件的任意直线，不等式（）恒成立，求的最小值22(12分)已知为抛物线的焦点，为圆上任意点，且最大值为.（1）求抛物线的方程；（2）若在抛物线上，过作圆的两条切线交抛物线于、(A、B异于点M），求中点的纵坐标的取值范围.高二期中考试数学(文)试卷参考答案1经过点且在轴上的截距为
6、的直线方程是( )ABCD【答案】C【详解】根据题意，所求直线过点，故可设为， ，令，得，即，即所求直线的方程为.故选C.2已知，则以AB为直径的圆的方程为（ ）ABCD【答案】D【详解】由，且为直径，所以圆的圆心为的中点，即为，又，所以，所以以为直径的圆的标准方程为，故选：D3两条平行直线与间的距离等于（ ）ABCD【答案】A【详解】直线方程可化为：，由平行直线间距离公式可知所求距离.故选：.4已知点，点Q是直线l：上的动点，则的最小值为A2BCD【答案】B解：点，点Q是直线l：上的动点，的最小值为点Q到直线l的距离，的最小值为故选：B5已知双曲线C：（，）的实轴长为4，左焦点F到C的一条渐
7、近线的距离为3，则C的方程为（ ）ABCD【答案】C【详解】因为实轴长，所以，由对称性，双曲线的一个焦点到两条渐近线的距离相等，不妨取渐近线为，即，点到渐近线的距离，所以，所以C的方程为，故选：C.6已知圆，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（ ）ABCD【答案】D【详解】由得，因此圆心为，半径为，当且仅当时，半径最小，则面积也最小；此时圆心为，半径为，因此圆心到坐标原点的距离为，即原点在圆外，根据圆的性质，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为.故选：D.7若直线没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（ ）A2个B至多一个C1个D0个【答案】A【详解】直线没有交点，故 ,点
8、P(m,n)在以原点为圆心，半径为2的圆内，故圆=2内切于椭圆，故点P(m,n)在椭圆内，则过点的直线与椭圆的交点个数为2个8与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ）A一个圆上B一个椭圆上C双曲线的一支上D抛物线上【答案】C【详解】设动圆的圆心为，半径为，而圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为3依题意得，则，所以点的轨迹是双曲线的一支（除（1,0）故选C9过点作圆（x+1）2+（y-2）2=169的弦，其中弦长为整数的弦共有（ ）A条 B条 C条 D条【答案】C【解析】试题分析：圆的标准方程是：，圆心，半径，过点的最短的弦长为10，最长的弦长为26,（分别只有一条）还有长度为的各2条，所以共有弦长
9、为整数的条.选C10已知斜率为的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，又直线与圆交于，两点若，则的值为( )ABCD【答案】A【详解】设直线的方程为代入抛物线消去，整理得：，则，所以，圆，圆心为，半径为，因为直线过圆心，所以，因为，所以.故选：A.11点为双曲线右支上的一点，其左、右焦点分别为，若的内切圆与轴相切于点，过作的垂线，垂足为为坐标原点，那么的值为 （ ）ABCD【答案】A【解析】F1(c,0)、F2(c,0)，内切圆与x轴的切点是点A|PF1|PF2|=2a，及圆的切线长定理知，|AF1|AF2|=2a，设内切圆的圆心横坐标为x，则|(x+c)(cx)|=2ax=a；即|OA|=
10、a，在三角形PCF2中,由题意得,它是一个等腰三角形,PC=PF2，在三角形F1CF2中，有：OB=CF1= (PF1PC)= (PF1PF2)=2a=a，|OB|=|OA|，所以，故选A.12如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道绕月飞行.已知椭圆轨道和的中心与在同一直线上，设椭圆轨道和的长半轴长分别为，半焦距分别为，则以下四个关系，a1+c2=a2+c1，中正确的是( )A. B. C. D.【答案】C【详解】
11、由图可知,故不正确；由可得,则,故正确；由可得,则,即,所以,因为,所以,则,所以,故正确,错误.故答案为:C13直线和直线垂直，则实数的值为_.【答案】-2或0【详解】因为直线和直线垂直，所以，即，解得或.14若圆与双曲线：的渐近线相切，则双曲线的离心率为_.【答案】2【详解】设双曲线的一条渐近线为，即因为其与圆相切，故整理可得，故离心率为.15若过点的直线l与抛物线有且只有一个交点，则这样的直线l共有_条.【答案】3解：（1）当过点的直线斜率不存在时，显然与抛物线有且只有一个交点，（2）当过点且直线抛物线的对称轴平行，即斜率为0时，显然与抛物线有且只有一个交点，当直线过点且斜率存在，且与抛
12、物线相切时，直线与抛物线只有一个交点，设直线方程为，代入到抛物线方程 ，消得：，由已知有，则 ，解得：，即直线线方程为，综上可得：过点的直线l与抛物线有且只有一个交点的直线l共有3条，16已知直线与椭圆相交于，两点，且（为坐标原点），若椭圆的离心率，则的最大值为_【答案】解：设，由，消去y，可得，则，由，整理得.（其中为坐标原点），可得，即，化简得.整理得.，代入上式，化简得，.，平方得，可得，因此，可得的最大值为，满足条件，当椭圆的离心率时，的最大值为.故答案为：.17设直线的方程为.（1）若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；（2）若与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求a的值.【答案】（
13、1）或（2）【详解】（1）由题意知，当直线过原点时，该直线在两条坐标轴上的截距都为0，此时，直线的方程为；当直线不过原点时，由截距相等，得，则，直线的方程为，综上所述，所求直线的方程为或.（2）由题意知，直线在轴，轴上的截距分别为、，解得.18.在平面直角坐标系xoy中，已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C的离心率为，且双曲线C与斜率为2的直线l相交，且其中一个交点为P（3，0）（1）求双曲线C的方程及它的渐近线方程；（2）求以直线l与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程【答案】（1），；（2）y2=12x，x2=24y.试题解析：（1）由题意，设双曲线的方程为，点P（3，0）在双曲线上，a
14、=3双曲线C的离心率为：，c2=a2+b2，b=3，双曲线的方程为：，其渐近线方程为：y=x（2） 由题意，直线l的方程为y=2（x+3），即y=2x+6，直线l与坐标轴交点分别为F1（3，0），F2（0,6），以F1为焦点的抛物线的标准方程为y2=12x；以F2为焦点的抛物线的标准方程为x2=24y.19已知抛物线E：x2=2py（p0）的焦点为F，直线x=2与x轴的交点为M，与抛物线E的交点为N，且4|FN|=5|MN|（1）求p的值；（2）若直线y=kx+2与E交于A，B两点，C（0，-2），记直线CA，CB的斜率分别为k1，k2，求证：k12+k22-2k2为定值【答案】（1）P=1；
15、（2）见解析【详解】（1） 设N（2，y0），代入x2=2py，得，而M（2，0），则又，由4|FN|=5|MN|，得，则p=1，（2）设点A（x1，y1）、B（x2，y2），由，得x2-2kx-4=0由韦达定理可得x1+x2=2k，x1x2=-4=4k2+160，=2k2-4k2+4k2+8=2k2+8，因此，20已知直线恒过定点，圆经过点和点，且圆心在直线上.（1）求定点的坐标与圆的标准方程；（2）已知点为圆直径的一个端点，若另一个端点为点，问：在轴上是否存在一点，使得为直角三角形，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1），；（2）存在，或.【详解】（1）由得，令，得，即定点
16、的坐标为.设圆的方程为，由条件得，解得.所以圆的方程为,所以化为标准方程为.（2） 设点关于圆心的对称点为，则有，解得，故点的坐标为.因为在圆外，所以点不能作为直角三角形的顶点，若点为直角三角形的顶点，因为则有，若点是直角三角形的顶点，则有，综上，或.21已知椭圆的中心在原点，焦点在轴，焦距为2，且长轴长是短轴长的倍（1）求椭圆的标准方程；（2）设，过椭圆左焦点的直线交于、两点，若对满足条件的任意直线，不等式（）恒成立，求的最小值【答案】（1）（2）的最小值为（）恒成立，只需 ，即的最小值为试题解析：（1）依题意，解得，椭圆的标准方程为（2）设，所以 ，当直线垂直于轴时，且，此时，所以当直线不垂直于轴时，设直线：，由整理得，所以，所以 要使不等式（）恒成立，只需 ，即的最小值为22已知为抛物线的焦点，为圆上任意点，且最大值为.（1）求抛物线的方程；（2）若在抛物线上，过作圆的两条切线交抛物线于、(A、B异于点M），求中点的纵坐标的取值范围.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）抛物线的焦点为，圆的圆心为，半径为，所以，解得，因此，抛物线的方程为；设点、，设过点M的圆的切线方程为，则，整理得，设两切线的斜率分别为、，则、是上述方程的两根，由韦达定理得，将方程代入抛物线的方程得，整理得，所以，线段中点的纵坐标为，函数在区间上为增函数，因此，线段的中点的纵坐标的取值范围是.