1、第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系A级基础巩固一、选择题1已知空间两个角，与的两边对应平行，且60，则()A60B120C30 D60或120解析：由等角定理，知与相等或互补，故60或120.答案：D2在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线BA1与CC1所成的角为()A30 B45C60 D90解析：如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1CC1，故B1BA1就是异面直线BA1与CC1所成的角，故为45.答案：B3.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则
2、异面直线B1C与EF所成的角的大小为()A30 B45C60 D90解析：连接BD，B1D1，D1C知D1B1C是等边三角形，所以D1B1与B1C所成角为60，故B1C与EF所成角也是60答案：C4空间四边形ABCD中，AB，BC，CD的中点分别是P，Q，R，且PQ2，QR，PR3，那么异面直线AC和BD所成的角是()A90 B60C45 D30解析：由已知得PQR90，又ACPQ，BDQR，所以异面直线AC与BD所成角即PQR.答案：A5三棱锥的对角线互相垂直相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是()A梯形 B矩形C平行四边形 D正方形解析：如图所示，因为BDAC，且BDAC，又
3、因为E，F，G，H分别为对应边的中点，所以FG綊EH綊BD，HG綊EF綊AC.所以FGHG，且FGHG.所以四边形EFGH为正方形答案：D二、填空题6在四棱锥PABCD中，各棱所在的直线互相异面的有_对解析：以底边所在直线为准进行考查，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有428对异面直线答案：87若ABAB，ACAC，有下列结论：BACBAC；ABCABC180；ACBACB或ACBACB180.则一定成立的是_(填序号)解析：因为ABAB，ACAC，所以ACBACB或ACBACB180答案：8已知正方体A
4、BCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为_解析：在正方体ABCDA1B1C1D1中，ADBC，所以AE与AD所成的角即为AE与BC所成的角，即是EAD.连接DE，在RtADE中，设ADa，则DEa，AEa，故cosEAD.所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为.答案：三、解答题9在正方体ABCDA1B1C1D1中，求A1B与B1D1所成的角解：如图，连接BD，A1D.因为ABCDA1B1C1D1是正方体，所以DD1綊BB1，所以四边形DBB1D1为平行四边形，所以BDB1D1.因为A1B，BD，A1D是全等的正方形的对角线，所以A1BBDA1D，A1B
5、D是正三角形，所以A1BD60.因为A1BD是锐角所以A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角，所以A1B与B1D1所在的角为60.10在空间四边形ABCD中，ABCD，AB与CD成30角，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成的角解：取BD的中点G，连接EG，FG，因为E，F分别为BC，AD的中点，所以EG綊CD，GF綊AB.所以EG与GF所成的角即为AB与CD所成的角因为ABCD，所以EFG为等腰三角形又AB与CD所成角为30，所以EGF30或150.因为GFE就是EF与AB所成的角，所以EF与AB所成角为75或15.B级能力提升1在三棱锥ABCD中，AB，BC，CD的中点分别是
6、P，Q，R，且PQ2，QR，PR3，那么异面直线AC和BD所成的角是()A90 B60C45 D30解析：如图所示，因为PQ綊AC，QR綊BD，所以PQR为异面直线AC与BD所成的角或其补角，PQ2.QR，PR3，有PQ2QR2PR2.由勾股定理，得PQR90.答案：A2.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：ABEF；AB与CM所成的角为60；EF与MN是异面直线；MNCD.以上结论中正确的序号为_解析：把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图所示，ABEF，EF与MN是异面直线，ABCM，MNCD，只有正确答案：3如图所示，E，F，G，H分别是三棱锥ABCD各边上的
7、点，且有AEEBAHHDm，CFFBCGGDn.(1)证明：E，F，G，H四点共面(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？(3)在(2)的条件下，若ACBD，试证明：EGFH.(1)证明：因为AEEBAHHD，所以EHBD.又因为CFFBCGGD，所以FGDB.所以EHFG.所以E，F，G，H四点共面(2)解：当且仅当EHFG，EHFG时，四边形EFGH为平行四边形因为，所以EHBD.同理FGBD，由EHFG，得mn.故当mn时，四边形EFGH为平行四边形(3)证明：当mn时，AEEBCFFB，所以EFAC.又因为ACBD，而FEH是AC与BD所成的角，所以FEH90，从而平行四边形EFGH为矩形，所以EGFH.
