1、第三讲 函数的概念和性质知识、方法、技能I函数的定义 设A，B都是非空的数集，f是从A到B的一个对应法则.那么，从A到B的映射f：AB就叫做从A到B的函数.记做y=f(x)，其中xA，yB，原象集合，A叫做函数f(x)的定义域，象的集合C叫做函数的值域，显然CB.II函数的性质 （1）奇偶性 设函数f(x)的定义域为D，且D是关于原点对称的数集.若对任意的xD，都有f(x)=f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的xD，都有f(x)=f(x),则称f(x)是偶函数. （2）函数的增减性 设函数f(x)在区间D上满足：对任意x1, x2D，并且x1x2时，总有f(x1)f(x2),则称f(x)
2、在区间D上的增函数（减函数），区间D称为f(x)的一个单调增（减）区间.III函数的周期性对于函数 f(x),如果存在一个不为零的正数T，使得当x取定义域中的每个数时，f(x+T)=f(x)总成立，那么称f(x)是周期函数，T称做这个周期函数的周期.如果函数f(x)的所有周期中存在最小值T0，称T0为周期函数f(x)的最小值正周期.IV高斯函数对任意实数x,我们记不超过x的最大整数为x，通常称函数y=x为取整函数，又称高斯函数.进一步，记x=xx，则函数y=x称为小数部分函数，它表示的是x的小数部分.根据高斯函数的定义，可得到其如下性质.性质1 对任意xR，均有 x1xx0，得1【评述】这种多
3、层对数及根式问题，一定要逐层由外向内求解，要有耐心。例2 设A=a|a=7p,pN*,在A上定义函数f如下：若aA，则f(a)表示a的数字之和，例如f(7)=7，f(42)=6，设函数f的值域是集合M.求证：M=n|nN*, n2.【思路分析】注意从充要条件的角度来进行证明.【略解】先证Mn|nN*,n2.任取xM, 即x是被7整除的正整数的数字之和，由于710n，n=0, 1,2，所以x的数字之和是大于1的正整数，因此xn|nN*，n2.所以Mn|nN*,n2.再证n|nN*，n2 M.任取xn|nN*,n2,即x是大于1的正整数.下面分两种情形：当x=2k(kN*)时，由于7|100|，于
4、是取a= 100110011001，k个1001则7|a，且f(a)=2k,所以xM.当x=2k+1(kN*)时，由于7|100|，7|21，于是取b=10011001100121， k1个1001则7|b，且f(b)=2(k1)+3=2k+1,故xM,故xM.所以n|nN*, n2M.因此 M=n|nN*, n2.【评述】此类题目的证明严谨、科学.例3 设正实数x, y满足xy=1，求函数 f(x, y) =的值域.（其中（x表示不超过x的最大整数）【思路分析】由x、y的对称性，不妨设xy，则有x21，必分x=1与x1两种情况讨论.【详解】不妨设xy，则x21,x1.有下面两种情形：（1）当
5、x=1时，y=1，此时f(x,y)=.（2）当x1时，设x=n， x=xx=，则x=n+,01.于是，y=1，故y=0.由函数g(x)=x+在x1时是递增的和00时，f(x)0且f(1)=2.（1）证明：f(x)是奇函数；（2）求f(x)在3，3上的最大值和最小值.【思路分析】因为xR，由区间的特殊点，即x=0入手，是解题的出发点.【略解】（1）令x=y=0,则有 f(0)=f(0)+f(0), f(0)=0.再令y=x，得f(0)=f(x)+f(x),f(0)=0, f(x)=f(x), f(x)是奇函数.（2）设x1, x2R，且x1x1, x2x10.由已知得 f(x2x1)0,f(x2
6、)0, 1lga=0,故a=10.【评述】利用“函数与方程的思想”来解题依然是本题的主线，但函数是奇函数是出发点。应注意找好每道题解题的出发点.例8 已知定义在R上的单调函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)且f(1)=2.（1）求证：f(x)为奇函数；（2）当t2时，不等式f(klog2t)+f(log2tlog22t2)0恒成立，求实数k的取值范围.【思路分析】由f(x)的定义域为R，从其特殊点，即x=y=0入手来解此题.【略解】（1）令x=y=0得f(0)=2f(0), f(0)=0.再令y=x, 得f(0)=f(x)+f(x),f(x)=f(x), 即f(x)为奇函数.（2）
7、f(0)=0, f(1)=2,且f(x)是R上的单调函数，故f(x)是R上的单调递增函数.又f(x)是奇函数.由得klog2t0,(k+1)280,2k+12,12k8.3已知指数函数f(x)=ax(a0, a1)，求满足f(3x24x5)f(2x23x+1)的x的值.4设Q为有理数集，求满足下列条件的从Q到Q的函数f: （1）f(1)=2; （2）对所有x,yQ，有f(x,y)=f(x)f(y)f(x+y)+1.5函数f(x)在0，1上有定义，f(0)=f(1).如果对于任意不同的x1, x20，1，都有|f(x2)f(x1)|x2x1|.求证：|f(x2)f(x1)|.6求方程x/1!+x/2!+x/10!=1001的整数解.7g: CC，C，aC, 3=1, 1.证明有且仅有一个函数f: CC,满足 f(z)+f(z+a)=g(z), zC.求出f.6
