1、函数的单调性与最值考试要求1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质1函数的单调性(1)单调函数的定义类别增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)是单调递增当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)是单调递减图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间提
2、醒：(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式或集合表示(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接2函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M结论M为yf(x)的最大值M为yf(x)的最小值1函数单调性的结论(1)x1，x2D(x1x2)，f(x)在D上是增函数；f(x)在D上是减函数(2)对勾函数yx(a0)的单调递增区间为(，和，)，单调递减区间为，0)和(0，(3)当f(x)，g(x)都是增(
3、减)函数时，f(x)g(x)是增(减)函数(4)若k0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k0，则kf(x)与f(x)的单调性相反(5)函数yf(x)在公共定义域内与y的单调性相反(6)复合函数yf(g(x)的单调性与函数yf(u)和ug(x)的单调性关系是“同增异减”2函数最值存在的两个结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数y的单调递减区间是(，0)(0，)()(2)若定义在R上的函数f(x)有f(1)f(3)，则函数f(x)在R上为增函数()(3)定义域为1，)的函数yf(
4、x)是增函数，则函数的单调递增区间是1，)()(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1(多选)如果函数f(x)在a，b上单调递增，则对于任意的x1，x2a，b(x1x2)，下列结论中正确的是()A0B(x1x2)f(x1)f(x2)0Cf(a)f(x1)f(x2)f(b)Df(x1)f(x2)ABD由函数单调性的定义可知，若函数yf(x)在给定的区间上单调递增，则x1x2与f(x1)f(x2)同号，由此可知，选项A，B正确；对于C，若x1x2，则f(x1)f(x2)，故C不正确；对于D，因为f(x)在区间a，b上单调，且x1x2，所以
5、f(x1)f(x2)，故D正确2函数f(x)x22x的单调递增区间是_1，)f(x)x22x(x1)21，因此函数f(x)的单调递增区间为1，)3若函数y(2k1)xb在R上是减函数，则k的取值范围是_因为函数y(2k1)xb在R上是减函数，所以2k10，即k.4已知函数f(x)，x2,6，则f(x)的最大值为_，最小值为_2易知函数f(x)在x2,6上为减函数，故f(x)maxf(2)2，f(x)minf(6). 考点一求函数的单调区间 1.求函数单调区间的常用方法2求复合函数单调区间的一般步骤(1)求函数的定义域(定义域先行)(2)求简单函数的单调区间(3)求复合函数的单调区间，其依据是“
6、同增异减”典例1求下列函数的单调区间：(1)f(x)x22|x|1；(2)f(x)；(3)f(x).解(1)由于y即y画出函数图象如图所示由图象可知，函数的单调递增区间为(，1和0,1，单调递减区间为1,0和1，)(2)由x10得x1，即函数f(x)的定义域为(，1)(1，)，f(x)2，其图象如图所示由图象知，函数f(x)的单调递增区间为(，1)和(1，)(3)由x2x60得x3或x2，即函数f(x)的定义域为(，32，)，令ux2x6，则y可以看作是由y与ux2x6复合而成的函数易知ux2x6在(，3上是减函数，在2，)上是增函数，而y在0，)上是增函数，所以y的单调递减区间为(，3，单调
7、递增区间为2，)母题变迁若把本例(1)函数解析式改为f(x)|x24x3|，试求函数f(x)的单调区间解先作出函数yx24x3的图象，由于绝对值的作用，把x轴下方的部分翻折到上方，可得函数y|x24x3|的图象如图所示由图可知f(x)在(，1和2,3上为减函数，在1,2和3，)上为增函数，故f(x)的单调递增区间为1,2，3，)，单调递减区间为(，1，2,3点评：(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间(2)重视函数f(x)(ac0)的图象与性质(对称中心、单调性、渐近线)1函数f(x)|x2|x的单调递减区间是()A1,2B1,0C(0,2D2，)A由题意得，f(x)当x2
8、时，2，)是函数f(x)的单调递增区间；当x2时，(，1是函数f(x)的单调递增区间，1,2是函数f(x)的单调递减区间2函数f(x)的单调递减区间为_(，1)和(1，)由x10得x1，即函数f(x)的定义域为(，1)(1，)，又f(x)1，其图象如图所示，由图象知，函数f(x)的单调递减区间为(，1)和(1，)3函数f(x)的单调递增区间为_1,1)由32xx20得3x1，即函数f(x)的定义域为(3,1)，令u32xx2，则u(x1)24，易知u在(3，1上是增函数，在1,1)上是减函数，而y在(0，)上是减函数，则f(x)的单调递增区间为1,1) 考点二函数单调性的判断与证明 1.定义法
9、证明函数单调性的步骤2判断函数单调性的四种方法(1)图象法；(2)性质法；(3)导数法；(4)定义法3证明函数单调性的两种方法(1)定义法；(2)导数法典例2试讨论函数f(x)(a0)在(1,1)上的单调性解法一：设1x1x21，f(x)aa，f(x1)f(x2)aa，由于1x1x21，所以x2x10，x110，x210，故当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上递增法二：f(x)，所以当a0时，f(x)0，当a0时，f(x)0，即当a0时，f(x)在(1,1)
10、上为减函数，当a0时，f(x)在(1,1)上为增函数判断函数f(x)x(a0)在(0，)上的单调性解设x1，x2是任意两个正数，且x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2a)当0x1x2时，0x1x2a，x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在(0，上是减函数；当x1x2时，x1x2a，x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在，)上是增函数综上可知，函数f(x)x(a0)在(0，上是减函数，在，)上是增函数 考点三函数单调性的应用 1.比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间
11、内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解2求解含“f”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x)f(h(x)的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)h(x)(或g(x)h(x)此时要特别注意函数的定义域3利用单调性求参数的范围(或值)的策略(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数(2)解决分段函数的单调性问题，要注意上、下段端点函数值的大小关系比较函数值的大小典例31已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2x11时
12、，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立，设af ，bf(2)，cf(3)，则a，b，c的大小关系为()AcabBcbaCacbDbacD根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x1对称，且在(1，)上是减函数所以af f ，f(2)f(2.5)f(3)，所以bac.点评：本例先由f(x2)f(x1)(x2x1)0得出f(x)在(1，)上是减函数，然后借助对称性，化变量，2,3于同一单调区间，并借助单调性比较大小解函数不等式典例32已知函数f(x)x|x|，x(1,1)，则不等式f(1m)f(m21)的解集为_(0,1)f(x)则f(x)在(1,1)上单调递减，不等式f(1m)f(m21)可转
13、化为解得0m1.点评：解答此类题目时，应注意隐含条件，如本例求参数的值或取值范围典例33(1)函数y在(1，)上单调递增，则a的取值范围是()A3B(，3)C(，3D3，)(2)已知f(x)满足对任意x1x2，都有0成立，那么a的取值范围是()A(1,2)BCD(1)C(2)C(1)y11，由题意知得a3.所以a的取值范围是(，3(2)由已知条件得f(x)为增函数，所以解得a2，所以a的取值范围是.故选C.点评：分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值如本例T(2)1设偶函数f(x)的定义域为R，当x0，)时，f(x)是增函数，则f(2)，f()，f(3)的大小关系是()A
14、f()f(3)f(2)Bf()f(2)f(3)Cf()f(3)f(2)Df()f(2)f(3)A因为f(x)是偶函数，所以f(3)f(3)，f(2)f(2)又因为函数f(x)在0，)上是增函数所以f()f(3)f(2)，即f()f(3)f(2)2定义在2,2上的函数f(x)满足(x1x2)f(x1)f(x2)0，x1x2，且f(a2a)f(2a2)，则实数a的取值范围为()A1,2)B0,2)C0,1)D1,1)C因为函数f(x)满足(x1x2)f(x1)f(x2)0，x1x2，所以函数在2,2上单调递增，所以22a2a2a2，解得0a1，故选C.3若函数y与ylog3(x2)在(3，)上具有
15、相同的单调性，则实数k的取值范围是_(，4)函数ylog3(x2)在(3，)上是增函数y2，由题意知函数y在(3，)上是增函数，则有4k0，解得k4.4若f(x)是定义在R上的减函数，则a的取值范围为_由题意知，解得所以a. 考点四函数的最值(值域) 求函数最值的五种常用方法典例4(1)若函数f(x)的最小值为f(0)，则实数a的取值范围是()A1,2B1,0C1,2D0,2(2)函数f(x)log2(x2)在区间1,1上的最大值为_(3)函数yx(x0)的最大值为_(1)D(2)3(3)(1)当x0时，f(x)xa2a，当且仅当x，即x1时，等号成立故当x1时取得最小值2a，f(x)的最小值
16、为f(0)，当x0时，f(x)(xa)2单调递减，故a0，此时的最小值为f(0)a2，故2aa2，得1a2.又a0，得0a2.故选D.(2)f(x)log2(x2)在区间1,1上单调递减，f(x)maxf(1)3log213.(3)令t，则t0，所以ytt2，当t，即x时，ymax.1函数f(x)的最大值为_2当x1时，函数f(x)为减函数，所以f(x)在x1处取得最大值，为f(1)1；当x1时，易知函数f(x)x22在x0处取得最大值，为f(0)2.故函数f(x)的最大值为2.2函数f(x)x的最小值为_1法一：(换元法)令t，且t0，则xt21，所以原函数变为yt21t，t0.配方得y，又因为t0，所以y1，故函数yx的最小值为1.法二：(单调性法)因为函数yx和y在定义域内均为增函数，故函数yx在1，)内为增函数，所以ymin1.