1、高一数学月考测试卷1. 下列命题中正确的是A. B. C. D. 2. 如果，是两个单位向量，下列四个结论中正确的是A. B. C. D. 3. 若复数z满足，则A. B. C. D. 4. 如图所示的中，点D是线段AC上靠近A的三等分点，点E是线段AB的中点，则A. B. C. D. 5. 已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，那么a等于A. 1B. 2C. 4D. 1或46. 已知向量，若，则A. B. C. D. 27. 在中，已知，且满足，则该三角形的面积为A. 1B. 2C. D. 8. 如图，半圆的直径，O为圆心，C为半圆上不同于的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小
2、值是A. 2B. 0C. D. 9. 若复数z满足，则A. B. C. z在复平面内对应的点位于第四象限D. 为纯虚数10. 已知向量，是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使，共线的是A. 且B. 存在相异实数，使C. 当时，D. 已知梯形ABCD，其中，11. 对于，有如下命题，其中正确的有A. 若，则为等腰三角形B. 若，则为直角三角形C. 若，则为钝角三角形D. 若，则的面积为或12. 给出下列命题，其中正确的选项有A. 非零向量、满足，则与的夹角为B. 若，则为等腰三角形C. 若单位向量的、的夹角为，则当取最小值时，D. 若，为锐角，则实数m的取价范围是13. 已知为单位向量，且，
3、若，向量的夹角为，则_.14. 如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及；从C点测得，已知山高，则山高_15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，若，则，.16. 已知正三角形ABC的边长为4，D是BC边上的动点含端点，则的取值范围是_ .17. 当实数a取何值时，在复平面内与复数对应点满足下列条件？在第三象限；在虚轴上；在直线上18. 在，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_，求角B；求的面积19. 在平面直角坐标系xOy中，点、求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条
4、对角线的长；设实数t满足，求t的值20. 中，求A；若，求周长的最大值21. 在海岸A处，发现北偏东方向，距A处海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东的方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间22. 已知，若，且，求x的值；若函数，求的最小值；是否存在实数k，使得？若存在，求出k的取值范围，若不存在，请说明理由答案1.【答案】D【解析】解：对于A，利用向量的减法，可得，即A不正确；对于B，结果应该是，即B不正确；对于C，结果是0，即C不正确；对于D，利用向量的
5、加法法则，可知正确故选：对于A，利用向量的减法，可得；对于B，结果应该是；对于C，结果是0；对于D，利用向量的加法法则，可得结论本题考查平面向量中的基本概念，考查学生对概念的理解，属于基础题2.【答案】D【解析】解：单位向量是模为1的向量，但方向可不同，故A错；B.，故B错；C.，故，故C错；D.，故D对故选：由相等向量的概念：大小相等，方向相同的两向量为相等向量，即可判断A；由向量的数量积的定义，即可判断B；由向量的平方即为模的平方，以及单位向量的概念，即可判断C，本题考查平面向量的基本概念：单位向量、相等向量、向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，属于基础题3.【答案】C【解析
6、】解：由，得故选：先求复数的模，变形后再由复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题4.【答案】B【解析】解：依题意，故选：根据已知，利用向量的线性运算即可求解本题考查向量加法、减法以及向量的数乘运算，属于基础题5.【答案】C【解析】【分析】由余弦定理列出关系式，把b，c，的值代入计算即可求出a的值此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键【解答】解：中，由余弦定理得：，即，解得：或舍去，则a的值为故选：6.【答案】C【解析】【分析】本题考查平面向量垂直的充要条件，以及向量加法、数乘和数量积的坐标运算可求出，根据即
7、可得出，进行数量积的坐标运算即可求出【解答】解：；又；解得故选：7.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，正弦定理和余弦定理是解三角形问题常用的公式，应熟练记忆，属于基础题.利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，代入到余弦定理中求得中，求得的值，进而求得C，最后利用三角形面积公式求得答案【解答】解：，即，又C为三角形内角，故选：8.【答案】D【解析】【分析】本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，基本不等式，根据O为AB的中点，将化为，进而转化为一个基本不等式问题是解答本题的关键根据O为AB的中点，我们易得，又由OPC三点共线，故为定值，根据基本不等式，我们易
8、得的最小值【解答】解：因为O为AB的中点，所以，从而则；又为定值，所以当且仅当，即P为OC的中点时，取得最小值是，故选：9.【答案】BD【解析】解：，z在复平面内对应的点位于第二象限，为纯虚数，可得：BD正确故选：利用复数的运算法则、模的计算公式、共轭复数的性质、纯虚数的定义即可判断出正误本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、共轭复数的性质、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题10.【答案】AB【解析】解：联立和消去向量可得出，且，共线；B.都是非零向量，且，都不为0，共线；C.当时，满足，此时对任意的向量都有，得不出共线；D.与CD不一定平行，得不出共线故选：选项A：根据，即
9、可得出，从而得出共线；选项B：可得出，都不等于0，并得出，从而得出共线；选项C：，时，满足选项的条件，显然得不出共线；对于选项D：显然得不出共线本题考查了向量的数乘运算，共线向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题11.【答案】CD【解析】解：对于A：，是等腰三角形，或，即是直角三角形故A不对；对于B：由，或不一定是直角三角形；对于C：，为钝角三角形，C正确；对于D：由正弦定理，得而，或或或正确故选：通过三角函数与角的关系判断三角形的形状判断A、B的正误；利用正弦定理以及勾股定理判断C的正误；正弦定理以及三角形的面积判断D的正误即可本题考查三角形的判断正弦定理以及勾股定理的应用，是基本知识的考
10、查12.【答案】ABC【解析】解：对于A：非零向量、满足，令：，则，由于，如图所示：所以四边形OACB为菱形，且为等边三角形；所以，则与的夹角为，故A正确对于B：由于，所以，所以为等腰三角形，故B正确对于C：若单位向量的、的夹角为，则当取最小值时，即，当时，的最小值为，故C正确；对于D：，由于为锐角，所以，则，当时，故D不正确故选：直接利用向量的线性运算，向量的夹角的运算，向量的模，向量的夹角运算判断A、B、C、D的结论本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的夹角的运算，向量的模，向量的夹角运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题13.【答案】【解析】【分析】本题主要考查向量夹
11、角的求解，属于基础题根据向量的模和数量积即可得到结论【解答】解：，故答案为14.【答案】1500【解析】【分析】本题主要考查正弦定理、直角三角形中的边角关系，属于中档题中，由条件利用直角三角形中的边角关系求得AC；在中，利用正弦定理求得AM；再在中，根据，计算求得结果【解答】解：在中，又因在中，由正弦定理可得，解得，所以在中，故答案为15.【答案】3【解析】【分析】本题考查正弦定理、余弦定理，属于简单题由正弦定理得，由此能求出，由余弦定理得，由此能求出【解答】解：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，由正弦定理得：，即，解得由余弦定理得：，即，解得或舍，故答案为：；16.【答案】【解析】解：
12、如图，以BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则，设，则，故的取值范围是故答案为：由题意画出图形，建立适当的平面直角坐标系，求得，再由二次函数求最值本题考查平面向量的数量积运算，建系是解答该题的关键，是中档题17.【答案】解：复数，对应点的坐标为点Z在第三象限，则，解得，点Z在虚轴上，则，解得，或点Z在直线上，则，即，【解析】复数，对应点的坐标为点Z在第三象限，则，解得即可点Z在虚轴上，则，解得m即可点Z在直线上，则，解出即可本题考查了复数的有关概念、复数相等、几何意义、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18.【答案】解：若选，由余弦定理得，因为
13、，所以若选，由正弦定理知，因为，所以，又，所以，所以，又，所以，即若选，由得，所以，又，所以，所以，解得由正弦定理得，又，所以，所以，所以【解析】若选，由余弦定理即可得解；若选，利用正弦定理将将中的边化为角，可求得的值，从而得解；若选，结合辅助角公式可推出，再由，即可得解；由正弦定理求出a的值，由正弦的两角和公式求出，根据，即可得解本题考查解三角形与三角恒等变换的综合应用，熟练掌握正弦定理、余弦定理、正弦面积公式与正弦的两角和公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题19.【答案】解：方法一由题设知，则所以故所求的两条对角线的长分别为、方法二设该平行四边形的第四个顶点为D，
14、两条对角线的交点为E，则：E为B、C的中点，又为A、D的中点，所以故所求的两条对角线的长分别为、；由题设知：，由，得：，从而，所以或者：，【解析】方法一由题设知，则从而得：方法二设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则：由E是AC，BD的中点，易得从而得：、；由题设知：，由，得：，从而得：或者由，得：本题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查向量的坐标运算和基本的求解能力20.【答案】解：设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，因为，由正弦定理可得，即为，由余弦定理可得，由，可得；由题意可得，又，可设，由正弦定理可得，可得，则周长为，当，即时，的周长取得最大值【解析
15、】运用余弦定理和特殊角的三角函数值，可得所求角；运用正弦定理和三角函数的和差公式，结合余弦函数的图象和性质，可得所求最大值本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查三角函数的恒等变换和图象与性质，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题21.【答案】解：如图所示，设缉私船追上走私船需t小时，则有，在中，根据余弦定理可求得，在中，根据正弦定理可得，则有，小时，所以缉私船沿北偏东方向，需小时才能追上走私船【解析】设缉私船追上走私船需t小时，进而可表示出CD和BD，进而在中利用余弦定理求得BC，进而在中，根据正弦定理可求得的值，进而求得进而求得BD，进而利用求得本题主要考查了解三角形的实际应用考查了运用三角函数的基础知识解决实际的问题22.【答案】解：若，且，则，则，即，则，则；若函数，则，则当时，函数取得最大值，此时最小值为若存在实数k，使得，则，即，即即即，则，即即存在，此时出k的取值范围是【解析】根据向量关系的坐标公式进行化简求解即可根据向量数量积的公式进行化简，结合三角函数的性质进行求解即可利用向量垂直的等价条件进行化简求解本题主要考查向量数量积的应用以及向量与三角函数的综合，考查学生的运算和转化能力，利用向量数量积的公式进行转化是解决本题的关键