1、24平面向量的数量积24.1平面向量数量积的物理背景及其含义内容标准学科素养1.了解平面向量数量积的物理背景.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.学会数学建模应用数学抽象提升数学运算授课提示：对应学生用书第62页基础认识知识点一平面向量数量积的物理背景及其定义阅读教材P103104，思考并完成以下问题一个物体在力F的作用下产生位移s，如图(1)如何计算这个力所做的功？提示：W|F|s|cos .(2)力做功的大小与哪些量有关？提示：力的大小，位移的大小及两者的夹角知识梳理(1)平面向量数量积的定义条件非零向量a
2、与b，a与b的夹角为结论数量|a|b|cos_叫向量a与b的数量积(或内积)记法向量a与b的数量积记作ab，即ab|a|b|cos_规定零向量与任一向量的数量积为0(2)数量积的几何意义投影的概念b在a的方向上的投影为|b|cos_，a在b的方向上的投影为|a|cos_数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a上的投影的乘积知识点二平面向量数量积的性质思考并完成以下问题向量的数量积与向量的线性运算结果有什么区别？(1)若|a|2，|b|3，a与b的夹角为0.ab_，ab_提示：ab23cos 06，而ab其大小为5，方向与a同向(2)若|a|2，|b|3，a与b的夹角为180.ab
3、_，ab_提示：ab23cos 1806，ab的大小为1，方向与b同向(3)非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定？提示：数量积可为正数，负数，零，是一个实数，其符号由夹角的余弦值确定知识梳理设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为，(1)abab0.(2)当ab时，ab(3)aaa2或|a|(4)cos (5)|ab|a|b|.知识点三平面向量数量积的运算律思考并完成以下问题类比实数乘法的运算律，可得出哪些数量积的运算律？判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确？运算律实数乘法向量数量积判断正误交换律abbaabba_结合律(ab)ca(bc)(ab)ca(bc)
4、_分配律(ab)cacbc(ab)cacbc_消去律abbc(b0) acabbc(b0) ac_提示：正误正误知识梳理(1)abba(交换律)(2)(a)bab ba(结合律)(3)(ab)cacbc(分配律)自我检测1已知|a|1，|b|2，a与b的夹角为，则ab等于()A1B2C3 D4答案：A2已知|a|8，|b|4，a，b120，则向量b在a方向上的投影为()A4 B4C2 D2答案：D授课提示：对应学生用书第63页探究一平面向量数量积的计算教材P104例1方法步骤：(1)求模；(2)求向量夹角；(3)求数量积例1(1)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，则的值
5、是_ .解析由3，得，.因为2，所以2，即222.又225，264，所以22.答案22(2)已知|a|3，|b|6，当ab；ab；a与b的夹角是60时，分别求ab.解析当ab时，若a与b同向，则它们的夹角为0，ab|a|b|cos 036118.若a与b反向，则它们的夹角为180，ab|a|b|cos 18036(1)18.当ab时，它们的夹角为90，ab0.当a与b的夹角是60时，ab|a|b|cos 60369.(3)已知|a|10，|b|4，a与b的夹角120.求：ab；(a2b)(ab)；(ab)2.解析ab|a|b|cos 12010420.(a2b)(ab)a2ab2ab2b2a2
6、ab2b2|a|2|a|b|cos 1202|b|210010424288.(ab)2a22abb2|a|22|a|b|cos 120|b|21002104421004016156.方法技巧求平面向量数量积的两个方法(1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式ab|a|b|cos .运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件(2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投影，可利用数量积的几何意义求ab.延伸探究1.将本例(3)改为：如图所示，在ABCD中，|4，|3，DAB60，求：(1)；(2)；(3
7、)；(4)在方向上的投影解析：(1)，且方向相同，与的夹角是0，|cos 03319.(2)，且方向相反，与的夹角是180，|cos 18044(1)16.(3)与的夹角为60，与的夹角为120，|cos 120436.(4)与的夹角为60，而与方向相反，与的夹角为120，在方向上的投影为|cos 12042.探究二平面向量数量积有关的参数问题教材P105例4方法步骤：利用数量积转化为参数的方程或不等式例2已知|a|3，|b|2，向量a，b的夹角为60，c3a5b，dma3b，求当m为何值时，c与d垂直解析由已知得ab32cos 603.若cd，则cd0，cd(3a5b)(ma3b)3ma2(
8、5m9)ab15b227m3(5m9)6042m870，m，即当m时，c与d垂直方法技巧利用题意，构造数量积，若垂直，有数量积为0，建立参数的等式或方程跟踪探究1.已知菱形ABCD的边长为6，ABD30，点E，F分别在边BC，DC上，BC2BE，CDCF.若9，则的值为()A2B3C4D5解析：依题意得，因此22，于是有6262cos 609，由此解得3.故选B.答案：B探究三利用数量积求向量的模、夹角教材P108习题第6题设|a|12，|b|9，ab54，求a与b的夹角.解析：cos ，00，.角度1向量的夹角问题例3若非零向量a，b满足|a|b|，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为(
9、)A.B.C. D解析由(ab)(3a2b)得(ab)(3a2b)0，即3a2ab2b20.又|a|b|，设a，b，即3|a|2|a|b|cos 2|b|20，|b|2|b|2cos 2|b|20.cos .又0，.答案A方法技巧(1)求向量的夹角，主要是利用公式cos 求出夹角的余弦值，从而求得夹角可以直接求出ab的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，ab三者之间的关系，然后代入求解(2)求向量的夹角，还可结合向量线性运算、模的几何意义，利用数形结合的方法求解(3)求向量的夹角时，注意向量夹角的范围是0，延伸探究2.将本例改为：a(ab)，其他已知条件不变，求a与
10、b的夹角的余弦值解析：a(ab)，a(ab)0，|a|2ab0，|b|2|b|2cos 0，cos .角度2求向量的模例4(1)已知|a|b|5，且|3a2b|5，求|3ab|的值；(2)如图，已知在ABCD中，AB3，AD1，DAB，求对角线AC和BD的长解析(1)|3a2b|29|a|212ab4|b|292512ab42532512ab，又|3a2b|5，32512ab25，则ab25.|3ab|2(3ab)29a26abb292562525400.故|3ab|20.(2)设a，b，则|a|3，|b|1，a与b的夹角.ab|a|b|cos .又ab，ab，|，|.AC，BD.方法技巧求向
11、量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量的数量积联系，并灵活应用a2|a|2，勿忘记开方(2)aaa2|a|2或|a|，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化(3)一些常见的等式应熟记，如(ab)2a22abb2，(ab)(ab)a2b2等跟踪探究2.已知|a|b|5，向量a与b的夹角为.求|ab|，|ab|.解析：ab|a|b|cos 55.|ab|5.|ab|5.授课提示：对应学生用书第64页课后小结1两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a0，b0，090时)，也可以为负(当a0，b0，90180时)，还可以为0(当a
12、0或b0或90时)2数量积对结合律一般不成立，因为(ab)c|a|b|cosa，bc是一个与c共线的向量，而a(bc)a|b|c|cosb，c是一个与a共线的向量，两者一般不同3求投影有两种方法(1)b在a方向上的投影为|b|cos (为a，b的夹角)，a在b方向上的投影为|a|cos .(2)b在a方向上的投影为，a在b方向上的投影为.4两非零向量a，b，abab0，求向量模时要灵活运用公式|a|.素养培优1忽视向量夹角范围致错典例若向量a(k，3)，b(1，4)，c(2，1)，已知2a3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是_易错分析两个向量所成角的范围是0，两个向量所成的角为钝角，误认为所
13、成角为钝角，导致所求的结果范围扩大自我纠正解析2a3b(2k3，6)，c(2，1)，又2a3b与c的夹角为钝角，(2a3b)c0，即(2k3，6)(2，1)0，解得k3.若(2a3b)c，则2k312，即k.当k时，2a3b(12，6)6c.即2a3b与c反向综上，k的取值范围为.答案2求错两向量夹角位置 典例如图，设正三角形ABC的边长为，c，a，b，则abbcca_易错分析a，b120，错写为60，b，c120，错写为60，c，a120，错写为60.自我纠正解析|a|b|c|，且a与b、b与c、c与a的夹角均为120，abbccacos 12033.答案33向量在另一向量的投影的概念理解错典例已知|a|1，|b|2，a与b的夹角为，则b在a上的投影为_易错分析将投影理解为线段长度自我纠正解析bcos2cos1.答案1