1、课后限时集训(六十八)离散型随机变量的均值与方差、正态分布建议用时：40分钟一、选择题1同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为X，则X的数学期望是()A1B2 CDA一次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2枚正面向上的概率为，XB，E(X)41.故选A.2在某项测试中，测量结果服从正态分布N(1，2)(0)，若P(01)0.4，则P(02)()A0.4B0.8 C0.6D0.2B由正态分布的图象和性质得P(02)2P(01)20.40.8.故选B.3(多选)设离散型随机变量X的分布列为X01234Pq0.40.10.20.2若离散型随机变量Y满足Y2X1，则下列结果正确
2、的有()Aq0.1BE(X)2，D(X)1.4CE(X)2，D(X)1.8DE(Y)5，D(Y)7.2ACD由离散型随机变量X的分布列的性质得：q10.40.10.20.20.1，E(X)00.110.420.130.240.22，D(X)(02)20.1(12)20.4(22)20.1(32)20.2(42)20.21.8，离散型随机变量Y满足Y2X1，E(Y)2E(X)15，D(Y)4D(X)7.2.故选ACD.4(多选)设随机变量X服从正态分布N(，2)，且X落在区间(3，1)内的概率和落在区间(1,3)内的概率相等若P(X2)p，则下列结论正确的有()A0B2CP(0X2)pDP(X2
3、)1pAC正态分布N(，2)关于x对称，又X落在区间(3，1)内的概率和落在区间(1,3)内的概率相等，0，故A正确；正态分布N(，2)关于x对称，P(X0)，则P(0X2)P(X0)P(X2)p，故C正确；P(X2)P(X2)p，不确定，故B，D错误故选AC.5(2020全国卷)在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且pi1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是()Ap1p40.1，p2p30.4Bp1p40.4，p2p30.1Cp1p40.2，p2p30.3Dp1p40.3，p2p30.2B对于A，当p1p40.1，p2p30.4时，随机变量X1
4、的分布列为X11234P0.10.40.40.1E(X1)10.120.430.440.12.5，D(X1)(12.5)20.1(22.5)20.4(32.5)20.4(42.5)20.11.520.10.520.40.520.41.520.10.65，所以.对于B，当p1p40.4，p2p30.1时，随机变量X2的分布列为X21234P0.40.10.10.4E(X2)10.420.130.140.42.5，D(X2)(12.5)20.4(22.5)20.1(32.5)20.1(42.5)20.41.520.40.520.10.520.11.520.41.85，所以.对于C，当p1p40.2
5、，p2p30.3时，随机变量X3的分布列为X31234P0.20.30.30.2E(X3)10.220.330.340.22.5，D(X3)(12.5)20.2(22.5)20.3(32.5)20.3(42.5)20.21.520.20.520.30.520.31.520.21.05，所以.对于D，当p1p40.3，p2p30.2时，随机变量X4的分布列为X41234P0.30.20.20.3E(X4)10.320.230.240.32.5，D(X4)(12.5)20.3(22.5)20.2(32.5)20.2(42.5)20.31.520.30.520.20.520.21.520.31.45
6、，所以.所以B中的标准差最大二、填空题6设X为随机变量，XB，若随机变量X的均值E(X)2，则P(X2)等于_由XB，E(X)2，得npn2，n6，则P(X2)C24.7某超市经营的某种包装优质东北大米的质量X(单位：kg)服从正态分布N(25,0.22)，任意选取一袋这种大米，质量在24.825.4 kg的概率为_(附：若ZN(，2)，则P(|Z|)0.682 7，P(|Z|2)0.954 5，P(|Z|3)0.997 3)0.818 6XN(25,0.22)，25，0.2.P(24.8X25.4)P(X2)(0.682 70.954 5)0.818 6.8(2021全国统一考试模拟演练)对
7、一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果，已知最后结果的误差nN，为使误差n在(0.5，0.5)的概率不小于0.954 5，至少要测量_次(若XN(，2)，则P(|X|2)0.954 5)32P(|X|2)0.954 5，又0，2，即P(2X2)P0.954 5，由题意20.5，即2，所以n32.三、解答题9大豆是我国主要的农作物之一，因此，大豆在农业发展中占有重要的地位，随着农业技术的不断发展，为了使大豆得到更好的种植，就要进行超级种培育研究某种植基地培育的“超级豆”种子进行种植测试：选择一块营养均衡的可种植4株的实验田地，每株放入三粒“超级豆”种子，且至少要有一粒种
8、子发芽这株豆苗就能有效成活，每株豆成活苗可以收成大豆2.205 kg.已知每粒豆苗种子成活的概率为(假设种子之间及外部条件一致，发芽相互没有影响)(1)求恰好有3株成活的概率；(2)记成活的豆苗株数为，收成为(kg)，求随机变量分布列及的数学期望E()解(1)设每株豆子成活的概率为P0，则P013.所以4株中恰好有3株成活的概率PC31.(2)记成活的豆苗株数为，收成为2.205，则的可能取值为0,1,2,3,4，且B，所以的分布列如下表：01234PC4C13C22C31C4E()43.5，E()E(2.205)2.205E()7.717 5(kg)10(2020合肥第一次教学检测)“大湖名
9、城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：研学游类型科技体验游民俗人文游自然风光游学校数404020该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”的学校中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响)(1)
10、若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；(2)设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X，求X的分布列与数学期望解(1)依题意，学校选择“科技体验游”的概率为，选择“自然风光游”的概率为，若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都有学校选择的概率为PC2C2.(2)X的可能取值为0,1,2,3.则P(X0)C3，P(X1)C2，P(X2)C2，P(X3)C3，X的分布列为X0123PE(X)0123.1已知随机变量的分布列如下：012Pabc其中a，b，c成等差数列，则函数f(x)x22x有且只有一个
11、零点的概率为()AB CDB由题意知a，b，c0,1，且解得b，又函数f(x)x22x有且只有一个零点，故对于方程x22x0，440，解得1，所以P(1).2体育课的排球发球项目考试的规则是：每名学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止设某学生每次发球成功的概率为p(0p1)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)1.75，则p的取值范围是()ABCDC由已知条件可得P(X1)p，P(X2)(1p)p，P(X3)(1p)2p(1p)3(1p)2，则E(X)p2(1p)p3(1p)2p23p31.75，解得p或p.由p(0,1)，可得p.3在一次随机试验中，事件A发生的概
12、率为p，事件A发生的次数为，则数学期望E()_，方差D()的最大值为_p记事件A发生的次数可能的值为0,1.01P1pp数学期望E()0(1p)1pp，方差D()(0p)2(1p)(1p)2pp(1p).故数学期望E()p，方差D()的最大值为.4(2020广州市调研检测)某城市A公司外卖配送员底薪是每月1 800元/人，设每月每人配送的单数为X，若X1,300，配送员每单提成3元；若X(300,600，配送员每单提成4元；若X(600，)，配送员每单提成4.5元B公司外卖配送员底薪是每月2 100元/人，设每月每人配送的单数为Y，若Y1,400，配送员每单提成3元；若Y(400，)，配送员每
13、单提成4元小王计划在A公司和B公司之间选择一份外卖配送员工作，他随机调查了A公司外卖配送员甲和B公司外卖配送员乙在9月份(30天)的送餐量数据，如下表：表1：A公司外卖配送员甲送餐量统计日送餐量x/单131416171820天数2612622表2：B公司外卖配送员乙送餐量统计日送餐量y/单111314151618天数4512351(1)设A公司外卖配送员月工资为f(X)(单位：元/人)，B公司外卖配送员月工资为g(Y)(单位：元/人)，当XY且X，Y(300,600时，比较f(X)与g(Y)的大小(2)若将甲、乙9月份的日送餐量的频率视为对应公司日送餐量的概率()分别计算外卖配送员甲和乙每日送
14、餐量的数学期望；()请利用你所学的知识为小王作出选择，并说明理由解(1)因为XY且X，Y(300,600，所以g(X)g(Y)，当X(300,400时，f(X)g(X)(1 8004X)(2 1003X)X3000.当X(400,600时，f(X)g(X)(1 8004X)(2 1004X)3000.故当X(300,400时，f(X)g(X)，当X(400,600时，f(X)g(X)(2)()甲的日送餐量x的分布列为：x131416171820P则E(x)13141617182016.乙的日送餐量y的分布列为：y111314151618P则E(y)11131415161814.()E(X)30
15、E(x)480(300,600，E(Y)30E(y)420(400，)估计A公司外卖配送员月薪平均为1 8004E(X)3 720(元)估计B公司外卖配送员月薪平均为2 1004E(Y)3 780(元)因为3 7803 720，所以小王应选择做B公司外卖配送员武汉有“九省通衢”之称，也称为“江城”，是国家历史文化名城其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风景区等等(1)为了解“五一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1 000人，制成了如下的频率分布直方图：现从年龄在42,52内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4
16、人，记这4人中年龄在47,52内的人数为，求P(3)(2)为了给游客提供更舒适的旅游体验，某旅游景点游船中心计划在2022年劳动节当日投入至少1艘至多3艘A型游船供游客乘坐观光由2010年到2019年这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量X(单位：万人)都大于1.将每年劳动节当日客流量分成3个区间整理得下表：劳动节当日客流量X1X33X5X5频数244以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量相互独立该游船中心希望投入的A型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日A型游船最多使用量(单位：艘)要受当日客流量X(单位：万人)的影响
17、，其关系如下表：劳动节当日客流量X1X33X5X5A型游船最多使用量123若某艘A型游船在劳动节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获得利润3万元；若某艘A型游船劳动节当日被投入却不被使用，则游船中心当日亏损0.5万元记Y(单位：万元)表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，Y的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2022年劳动节当日应投入多少艘A型游船才能使其当日获得的总利润最大？解(1)年龄在42,47)内的游客人数为150，年龄在47,52内的游客人数为100.若采用分层抽样的方法抽取10人，则年龄在42,47)内的游客人数为6，年龄在47,52内的游客人数为
18、4.所以P(3).(2)当投入1艘A型游船时，因客流量总大于1，则E(Y)3(万元)当投入2艘A型游船时，若1X3，则Y30.52.5，此时P(Y2.5)P(1X3)；若X3，则Y326，此时P(Y6)P(3X5)P(X5).此时Y的分布列如表：Y2.56P此时E(Y)2.565.3(万元)当投入3艘A型游船时，若1X3，则Y312，此时P(Y2)P(1X3)；若3X5，则Y320.55.5，此时P(Y5.5)P(3X5)；若X5，则Y339，此时P(Y9)P(X5).此时Y的分布列如表：Y25.59P此时E(Y)25.596.2(万元)由于6.25.33，则该游船中心在2022年劳动节当日应投入3艘A型游船才能使其当日获得的总利润最大