1、课后限时集训(三十九)数列求和建议用时：40分钟一、选择题1在等差数列an中，若a3a5a76，a118，则数列的前n项和Sn()AB CDB设等差数列an的公差为d，由a3a5a76，a118，得a52，d1，所以ann3.则an3n，an4n1，所以.所以Sn1.故选B.2数列(1)n(2n1)的前2 020项和S2 020等于()A2 018B2 018 C2 020D2 020DS2 0201357(22 0191)(22 0201)21 0102 020.故选D.3已知数列an的通项公式是an，其前n项和Sn，则项数n()A13B10 C9D6D由an1，得Snnnn1.令n1，即n
2、.解得n6，故选D.4(多选)(2020重庆月考)已知数列an满足a12，(n2，nN*)，an的前n项和为Sn，则()Aa28Ban2nnCS330DSn(1n)2n12ABD由题意可得，2，2，2，2(n2，nN*)，以上式子左、右两边分别相乘得2n1n(n2，nN*)，把a12代入，得an2nn(n2，nN*)，又a12符合上式，故数列an的通项公式为an2nn(nN*)，a28，故A，B正确；Sn(12222n2n)，则2Sn122223(n1)2nn2n1，两式相减，得Sn222232nn2n12n12n2n1(1n)2n12(nN*)，故S334，故C错误，D正确5(2020北京高
3、考)在等差数列an中，a19，a51.记Tna1a2an(n1,2，)，则数列Tn()A有最大项，有最小项B有最大项，无最小项C无最大项，有最小项D无最大项，无最小项B设等差数列an的公差为d，由a19，a51，得d2，an92(n1)2n11.由an2n110，得n，而nN*，可知数列an是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值可知T190，T2630，T33150，T49450为最大项，自T5起均小于0，且逐渐减小数列Tn有最大项，无最小项故选B.6(多选)已知数列an是等差数列，bn是等比数列，a11，b12，a2b27，a3b313.记cn数列cn的前n项和为Sn，则()Aa
4、n2n1Bbn2nCS91 409DS2n2n2n(4n1)ABD设数列an的公差为d，数列bn的公比为q(q0)，依题意有得故an2n1，bn2n，故A，B正确；则c2n1a2n14n3，c2nb2n4n，所以数列cn的前2n项和S2n(a1a3a2n1)(b2b4b2n)2n2n(4n1)，S9S8a9385，故C错误，D正确二、填空题7已知数列an满足1，且a11，则an_，数列bn满足bn，则数列bn的前n项和Sn_.(n1)2n12由1可得1，所以为等差数列，公差、首项都为1，由等差数列的通项公式可得n，an，n2n，Sn12222n2n，2Sn122(n1)2nn2n1，相减得Sn
5、(2222n)n2n1n2n1(n1)2n12.8已知数列an满足a11，an1an2n(nN*)，则S2 020_.321 0103数列an满足a11，an1an2n，n1时，a22，n2时，anan12n1，由得2，数列an的奇数项、偶数项分别成等比数列，S2 020321 0103.9(2020全国卷)数列an满足an2(1)nan3n1，前16项和为540，则a1_.7因为数列an满足an2(1)nan3n1，所以当n2k(kN*)时，a2k2a2k6k1(kN*)，所以(a2a4)(a6a8)(a10a12)(a14a16)517294192.当n2k1(kN*)时，a2k1a2k1
6、6k4(kN*)，所以当k2时，a2k1a1(a3a1)(a5a3)(a7a5)(a2k1a2k3)a128146(k1)4a1a1(3k4)(k1)，当k1时上式也成立，所以a2k1a1(3k4)(k1)(kN*)，即a2k1a13k27k4(kN*)法一：所以a1a3a5a7a158a13(12223282)7(1238)488a137328a1612252328a1392.又前16项和为540，所以928a1392540，解得a17.法二：所以a2k1a1(3k23k1)10k3a1(k1)3k310k3，所以a1a3a5a7a158a1(2313)(3323)(9383)10388a1
7、9313360248a1392.又前16项和为540，所以928a1392540，解得a17.三、解答题10结构不良试题(2020青岛模拟)设数列an的前n项和为Sn，a11，_.给出下列三个条件：条件：数列an为等比数列，数列Sna1也为等比数列；条件：点(Sn，an1)在直线yx1上；条件：2na12n1a22annan1.试在上面的三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn.解选条件：(1)数列Sna1为等比数列，(S2a1)2(S1a1)(S3a1)，即(2a1a2)22a1(2a1a2a3)设等比数列
8、an的公比为q，(2q)22(2qq2)，解得q2或q0(舍)，ana1qn12n1.(2)由(1)知：an2n1，bn，Tn.选条件：(1)点(Sn，an1)在直线yx1，an1Sn1，又anSn11(n2，nN)，两式相减有：an12an，又a11，a2S112，也适合上式，故数列an是首项为1，公比为2的等比数列ana1qn12n1.(2)由(1)知：an2n1，bn，Tn.选条件：(1)2na12n1a22annan1，2n1a12n2a22an1(n1)an(n2)，即2na12n1a222an12(n1)an，(n2)由两式相减可得：2annan12(n1)an，即an12an，又
9、a11，a22a1，也适合上式，故数列an是首项为1，公比为2的等比数列ana1qn12n1.(2)由(1)知：an2n1，bn，Tn.11已知数列an的前n项和Sn3n28n，bn是等差数列，且anbnbn1.(1)求数列bn的通项公式；(2)令cn，求数列cn的前n项和Tn.解(1)由题意知，当n2时，anSnSn16n5.当n1时，a1S111，所以an6n5(nN*)设数列bn的公差为d.由即可解得b14，d3.所以bn3n1.(2)由(1)知cn3(n1)2n1.又Tnc1c2cn，得Tn3222323(n1)2n1，2Tn3223324(n1)2n2，两式作差，得Tn3222232
10、42n1(n1)2n233n2n2.所以Tn3n2n2.1定义在0，)上的函数f(x)满足：当0x2时，f(x)2xx2；当x2时，f(x)3f(x2)记函数f(x)的极大值点从小到大依次记为a1，a2，an，并记相应的极大值为b1，b2，bn，则a1b1a2b2a20b20的值为()A193201B193191C203191D203201A由题意当0x2时，f(x)2xx2(x1)21极大值点为1，极大值为1，当x2时，f(x)3f(x2)则极大值点形成首项为1，公差为2 的等差数列，极大值形成首项为1，公比为3的等比数列，故an2n1，bn3n1，故anbn(2n1)3n1，设Sa1b1a
11、2b2a20b201133153239319，3S13133239320，两式相减得2S12(3132319)393201239320，S193201，故选A.2(2020海南三亚模拟)已知数列an的前n项和Sn10nn2，数列bn满足bn|an|，设数列bn的前n项和为Tn，则T4_，T30_.24650当n1时，a1S19，当n2时，anSnSn110nn210(n1)(n1)22n11，当n1时也满足，所以an2n11(nN*)，所以当n5时，an0，bnan，当n5时，an0，bnan，所以T4S41044224，T30S5a6a7a302S5S302(10552)(1030302)6
12、50.3.为鼓励应届毕业大学生自主创业，国家对应届毕业大学生创业贷款有贴息优惠政策，现有应届毕业大学生甲贷款开小型超市，初期投入为72万元，经营后每年的总收入为50万元，该超市第n年需要付出的超市维护和工人工资等费用为an万元，已知an为等差数列，相关信息如图所示(1)求an；(2)该超市第几年开始盈利？(即总收入减去成本及所有费用之差为正值)(3)该超市经营多少年，其年平均盈利最大？最大值是多少？(年平均盈利)解(1)由图象可知，an是以12为首项，4为公差的等差数列，所以an124(n1)4n8.(2)设超市第n年开始盈利，且盈利为y万元，则y50n722n240n72，由y0，得n220
13、n360，解得2n18，又nN*，故3n17，nN*.所以该超市第3年开始盈利(3)年平均盈利为2n40240224016，当且仅当n，即n6时，取等号，故该超市经过6年经营后年平均盈利最大，最大值为16万元1(2020泉州模拟)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款面向中学生的应用软件为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学题的答案：记集合Akx|xak2kak12k1a121a020，kN*，ak1，a0，a1，ak10或1例如：A12,3，A24,5,6,7，若将集合A4的各个元素之和设为该软件的激活码，则该激活码应为_；定义f(x
14、)(xAk)现指定k5，将集合x|f(x)1，xAk的元素从小到大排列组成数列cn，若将cn的各项之和设为该软件的激活码，则该激活码应为_376760集合A4n|na424a323a222a121a020，当a41，a0a1a2a30时，n16，当a0a1a2a3a41时，n31，所以A416,17,18，31共有16个元素，故激活码为376；结合二进制表示，当k5时，cn的各项可以看成首位为1的六位二进制数，对于a41，符合条件f(x)1的有8个数，同理，对于a31，a21，a11，a01时，符合条件的也分别有8个数，故激活码为16258(2423222120)760.2已知xn是各项均为正
15、数的等比数列，且x1x23，x3x22.(1)求数列xn的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1,1)，P2(x2,2)，Pn1(xn1，n1)得到折线P1P2Pn1，求由该折线与直线y0，xx1，xxn1所围成的区域的面积Tn.解(1)设数列xn的公比为q，由已知知q0.由题意得所以3q25q20.因为q0，所以q2，x11.因此数列xn的通项公式为xn2n1.(2)过P1，P2，Pn1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，Qn1.由(1)得xn1xn2n2n12n1，记梯形PnPn1Qn1Qn的面积为bn，由题意bn2n1(2n1)2n2，所以Tnb1b2bn321520721(2n1)2n3(2n1)2n2，2Tn320521722(2n1)2n2(2n1)2n1.得Tn321(2222n1)(2n1)2n1(2n1)2n1.所以Tn.