1、第4课时任意角的三角函数(2) 教学过程一、 问题情境在前面的学习中,我们知道,角的三角函数值与角的终边上的点P(x, y)的位置是无关的,那么我们就可以在角的终边上取一些特殊的点,让问题研究变得简单些.二、 数学建构(一) 生成概念问题1在角的终边上取什么样的点,可以让我们在研究问题时变得简单呢?(引导学生说出:考虑单位长度,从而引进单位圆的概念)圆心在坐标原点,半径等于单位长度的圆,叫做单位圆.问题2在单位圆中,角的正弦值、余弦值分别是多少?(引导学生得到sin=y,cos=x)问题3x, y分别是角的终边与单位圆的交点的横、纵坐标,我们能将它们用几何量表示出来吗?(引导学生过点P作x轴的
2、垂线,交x轴于点M,从而将线段OM,MP的长度与x, y联系起来,即OM的长度等于|x|,MP的长度等于|y|,为引进有向线段作铺垫)问题4我们能否直接用线段OM,MP的某种形式来表示x, y,也即表示角的余弦值、正弦值呢?(为此,进一步引导学生考虑,请学生讨论解决问题的方法)(图1)结合图1,进行如下思考:当角的终边不在坐标轴上时,若x0,则x即为OM的长度;若x0,则y即为MP的长度;若y0,则y即为MP的长度的相反数.问题5在前面的学习过程中,我们遇到过类似的情境吗?(引导学生与正数、负数及正角、负角的概念进行类比,由此,来规定线段、直线的方向,引进有向线段、有向直线的概念)有向线段是指
3、规定了方向(即规定了起点和终点)的线段.类似地,规定了正方向的直线称为有向直线(如x轴、y轴).(二) 理解概念 1. 有向线段的方向是由起点和终点产生的,有向直线的方向是由正方向产生的. 2. 当有向线段AB在有向直线l上或与有向直线l平行时,若有向线段AB的方向与有向直线l的方向相同,则在它的长度添上正号;若有向线段AB的方向与有向直线l的方向相反,则在它的长度添上负号,这样所得的数,叫做有向线段的数量,记为AB.问题6引进有向线段的数量后,在图1中, x, y分别与哪个有向线段的数量对应?通过讨论,得到x=OM, y=MP,从而有sin=MP, cos=OM.我们把有向线段MP,OM分别
4、叫做角的正弦线、余弦线.问题7类似地,我们能引进正切线的概念吗?(学生讨论,师生共同探讨,引导学生思考这里需要解决什么问题)由于tan=,根据前面正弦、余弦的经验,我们应该让=?,从而找到?所代表的有向线段的数量.由此得正切线(如图2所示).(图2)当角终边在y轴的右侧时,在角终边上取点T(1, y),则tan=y=AT(A为单位圆与x轴正半轴的交点);当角终边在y轴的左侧时,在角终边的反向延长线上取点T(1, y),由于它关于原点的对称点Q(-1, -y)在角的终边上,故有tan=y=AT.因此把有向线段AT叫做角的正切线.3当角终边在不同象限时,其三角函数线如图3所示.(图3)特殊情况:
5、当角的终边在x轴上时,点P与点M重合,点T与点A重合,这时正弦线与正切线都变成了一点,数量为零,而余弦线OM等于1或-1; 当角的终边在y轴上时,正弦线OM等于1或-1,余弦线变成了一点,它表示的数量为零,而正切线不存在.三、 数学运用【例1】分别作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线:(1) ;(2) ;(3) -;(4) -.4(见学生用书P7)处理建议可让学生参见教材P13图1-2-8的作法.规范板书解(例1)图(1)、(2)、(3)、(4)中的MP,OM, AT分别表示各个角的正弦线、余弦线、正切线.题后反思作三角函数线分三步:先画出单位圆,柱注点A(1, 0);准确作出角的终边,找到角
6、的终边与单位圆的交点P,过点P作x轴的垂线交x轴于点M,过点A作x轴的垂线交角的终边(或角的终边的反向延长线)于点T;写出结论:正弦线为有向线段MP、余弦线为有向线段OM、正切线为有向线段AT.【例2】比较下列各组三角函数值的大小:(1) sin35, sin55;(2) cos, cos;(3) tan1, tan2.5(见学生用书P8)处理建议引导学生作出单位圆中的三角函数线来比较大小.解(1)sin35cos;(3) tan1tan2.题后反思三角函数线是有方向的,与x轴、y轴的正方向相反的三角函数线,长度越长,它所表示的有向线段的数量越小,即三角函数值越小.问题1从例2中,我们可以领悟
7、到利用单位圆中的三角函数线可以比较三角函数值的大小,那么,我们能利用它研究正弦函数、余弦函数在区间0, 2上的单调性吗?问题2我们能利用单位圆中的三角函数线研究正切函数在区间上的单调性吗?问题3我们能利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数、正切函数的值域吗?(让学生自主探究,一方面是对例题的加深、拓展,同时,让学生深化对三角函数线的理解;另一方面也可以为研究三角函数的性质作铺垫,并在这个过程中培养学生的探究能力)【例3】利用单位圆分别写出符合下列条件的角的集合:(1) sin=;(2) cos=-;(3) tan=.6(见学生用书P8)处理建议由学生作出相应的三角函数线,互相之间进行讨
8、论,研究,师生共同完成解答.在确定答案时,要引导学生先找出一个满足条件的角,然后写出与该角终边相同的角的集合,从而得到问题的答案.(例3)规范板书解(1) 作出如图所示的图形,则根据图形可得|=2k+或=2k+, kZ;(2) |=2k+或=2k+, kZ(图略);(3) (图略).题后反思要提醒学生注意正弦线平行于y轴或在y轴上,而余弦线在x轴上,这是此题的易错点.变式利用单位圆写出符合不等式cos-的角的集合.7处理建议引导学生正确作图.规范板书解作出如图所示的图形,则根据图形可得,满足条件的角的集合为|2k-2k+, kZ.(变式)题后反思解决此类问题一般可分为三步:(1)求出边界的值;
9、(2)标出满足条件的区域;(3)根据区域写出满足条件的答案.另外,还要注意,是否包括边界,通常情况下,包括边界的,边界用实线表示,不包括边界的,边界用虚线表示.*【例4】已知为锐角,求证:1sin+cosOP,从而sin+cos1.又SPOA=OAPD=sin, SPOB=OBPE=cos,而S扇形OAB=12=,且S扇形OABSPOA+SPOB,故sin+cos,从而1sin+cos成立.题后反思(1)利用单位圆把三角函数值转化为单位圆中某些线段的长;(2)利用整体的面积大于部分的面积证明三角函数的不等关系是证明这类问题的常用方法.四、 课堂练习 1. 已知MP, OM, AT分别是75角的
10、正弦线、余弦线、正切线,则这三条线长从小到大的排列顺序是OM, MP, AT. 2. 如果角(02)的正弦线与余弦线的长度相等,且符号相异,那么的值为或. 3. 设MP和OM分别是角的正弦线和余弦线,给出以下不等式: MPOMMP0; OMMP0OM.其中正确的是(填序号). 4. 利用单位圆比较大小:(1) sin25sin150;(2) cos=cos;(3) tantan.五、 课堂小结 1. 单位圆的概念,有向线段、有向直线的定义,正弦线、余弦线、正切线的定义.三角函数线都是一些特殊的有向线段,一是其与坐标轴平行(或重合),二是其与单位圆有关,这些线段分别都可以表示相应三角函数的值,它们是三角函数的几何表示. 2. 应用单位圆中的三角函数线,解决了一些与三角函数有关的问题,如比较三角函数值的大小,求角或角的范围.这里,关键在于要学会用数形结合的思想来解决问题,同时,也是培养学生数形结合意识的好机会.