1、三角形的“四心”及其向量性质知识与方法1.【重心的概念及向量性质】如图1所示，G为的重心，则：（1）概念：三边中线的交点，即图1中D、E、F分别为所在边的中点；（2）重心分中线的比例性质：；（3）坐标：设，则的重心G的坐标为；（4），其中；（5）与奔驰定理结合：设G为的重心，则.2.【外心的概念及向量性质】如图2所示，O为的外心，则：（1）概念：外接圆的圆心，三角形的三边的中垂线的交点，；（2）；（3）与奔驰定理结合：若是锐角或直角三角形，则.3.【内心的概念及向量性质】如图3所示，I为的内心，则：（1）概念：内切圆的圆心，三角形的三个内角的角平分线的交点；（2），其中；（3）与奔驰定理结合：
2、4.【垂心的概念及向量性质】如图4所示，H为的垂心，则：（1）概念：三角形的三边上的高的交点；（2）若不是直角三角形，则（3）；（4）与奔驰定理结合：若不是直角三角形，则.提醒：三角形“四心”的结论较多，我们在学习的时候，最好能抓住各心的规律，例如，心的关键特征是1:1:1，内心需重点关注，外心则抓住点乘和投影，而垂心往往要分析余弦投影.典型例题【例1】已知点O是所在平面内的一点，且，则O一定是的（ ）A.重心B.外心C.内心D.垂心变式1已知O、A、B、C是平面上的4个定点，A、B、C不共线，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定经过的（ ）A.重心B.外心C.内心D.垂心变式2已知O是平面上的
3、一个定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（ ）A.重心B.外心C.内心D.垂心【例2】已知O是平面上的一个定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（ ）A.重心B.外心C.内心D.垂心【例3】设G为的重心，若，则_变式1设I为的内心，若，则_变式2设O为的外心，若，则_.【例4】在中，O为的内心，若，则（ ）A.B.C.D.【例5】若P为锐角的外心，若，则（ ）A.B.C.D.强化训练1.（）在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若点O满足，则O一定是的（ ）A.重心B.外心C.内心D.垂心2.（）已知O是平面上的一个定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（ ）A.重心B.外心C.内心D.垂心3.（）已知O为所在平面内一点，若，且，则（ ）A.B.C.10D.54.（）M是所在平面上一点，若，则M是的（ ）A.重心B.外心C.内心D.垂心5.（）设G为所在平面内一点，若，且，则实数（ ）A.B.3C.D.26.（）已知O为内一点，且，若，且，则的最小值为（ ）A.B.C.1D.7.（）设I为的内心，若，且，则_.8.（）已知O为的垂心，且，则角A=_.9.（）在中，M是的中点，若，则的面积为_.10.（）已知O是的内心，且，则_.
