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2022-2023学年高考数学一轮复习 解题技巧方法 第四章 第7节 三角形的“四心”及其向量性质(学生版).docx

1、三角形的“四心”及其向量性质知识与方法1.【重心的概念及向量性质】如图1所示,G为的重心,则:(1)概念:三边中线的交点,即图1中D、E、F分别为所在边的中点;(2)重心分中线的比例性质:;(3)坐标:设,则的重心G的坐标为;(4),其中;(5)与奔驰定理结合:设G为的重心,则.2.【外心的概念及向量性质】如图2所示,O为的外心,则:(1)概念:外接圆的圆心,三角形的三边的中垂线的交点,;(2);(3)与奔驰定理结合:若是锐角或直角三角形,则.3.【内心的概念及向量性质】如图3所示,I为的内心,则:(1)概念:内切圆的圆心,三角形的三个内角的角平分线的交点;(2),其中;(3)与奔驰定理结合:

2、4.【垂心的概念及向量性质】如图4所示,H为的垂心,则:(1)概念:三角形的三边上的高的交点;(2)若不是直角三角形,则(3);(4)与奔驰定理结合:若不是直角三角形,则.提醒:三角形“四心”的结论较多,我们在学习的时候,最好能抓住各心的规律,例如,心的关键特征是1:1:1,内心需重点关注,外心则抓住点乘和投影,而垂心往往要分析余弦投影.典型例题【例1】已知点O是所在平面内的一点,且,则O一定是的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心变式1已知O、A、B、C是平面上的4个定点,A、B、C不共线,若点P满足,其中,则点P的轨迹一定经过的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心变式2已知O是平面上的

3、一个定点,A、B、C是平面上不共线的三点,动点P满足,则点P的轨迹一定经过的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心【例2】已知O是平面上的一个定点,A、B、C是平面上不共线的三点,动点P满足,则点P的轨迹一定经过的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心【例3】设G为的重心,若,则_变式1设I为的内心,若,则_变式2设O为的外心,若,则_.【例4】在中,O为的内心,若,则( )A.B.C.D.【例5】若P为锐角的外心,若,则( )A.B.C.D.强化训练1.()在中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若点O满足,则O一定是的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心2.()已知O是平面上的一个定点,A、B、C是平面上不共线的三点,动点P满足,则点P的轨迹一定经过的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心3.()已知O为所在平面内一点,若,且,则( )A.B.C.10D.54.()M是所在平面上一点,若,则M是的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心5.()设G为所在平面内一点,若,且,则实数( )A.B.3C.D.26.()已知O为内一点,且,若,且,则的最小值为( )A.B.C.1D.7.()设I为的内心,若,且,则_.8.()已知O为的垂心,且,则角A=_.9.()在中,M是的中点,若,则的面积为_.10.()已知O是的内心,且,则_.

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