1、温馨提示： 此题库为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭Word文档返回原板块。 考点44 几何证明选讲一、 填空题1.(2016天津高考文科T13)同(2016天津高考理科T12)如图,AB是圆的直径,弦CD与AB相交于点E,BE=2AE=2,BD=ED,则线段CE的长为.【解题指南】设圆心为O,连接OD,构造三角形,利用相似三角形对应边成比例求解.【解析】设圆心为O,连接OD,AC,可得BODBDE,所以BD2=BOBE=3,所以BD=DE=.因为AECDEB, ,即,所以EC=.答案:二、 解答题2.(2016全国卷高考文科T22)同(2016全国卷高考理科
2、T22)选修4-1:几何证明选讲如图,OAB是等腰三角形,AOB=120.以O为圆心,OA为半径作圆.(1)证明:直线AB与O相切.(2)点C,D在O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:ABCD.【解析】(1)设圆的半径为r,作OKAB于K,因为OA=OB,AOB=120,所以OKAB,A=30,OK=OAsin 30=r,所以AB与O相切.(2)方法一:假设CD与AB不平行,CD与AB交于F,FK2=FCFD.因为A,B,C,D四点共圆,所以FCFD=FAFB=(FK-AK)(FK+BK).因为AK=BK,所以FCFD=(FK-AK)(FK+AK)=FK2-AK2.由可知矛盾,所以ABCD.
3、方法二:因为A,B,C,D四点共圆,不妨设圆心为T,因为OA=OB,TA=TB,所以OT为AB的中垂线,又OC=OD,TC=TD,所以OT为CD的中垂线,所以ABCD.3.(2016全国卷文科T22)同(2016全国卷理科T22)选修4-1:几何证明选讲如图,在正方形ABCD中,E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合),且DE=DG,过D点作DFCE,垂足为F.(1)证明:B,C,G,F四点共圆.(2)若AB=1,E为DA的中点,求四边形BCGF的面积.【解题指南】(1)要证明四点共圆,需要证明四边形对角互补,显然DCB=90,只需证明GFB=90.(2)把四边形BCGF分成两个直角三角形B
4、CG和BFG,求这两个直角三角形的面积的和.【解析】(1)因为DFCE,所以RtDEFRtCDF,所以GDF=DEF=BCF,.因为DE=DG,CD=BC,所以,所以GDFBCF,所以CFB=DFG,所以GFB=GFC+CFB=GFC+DFG=DFC=90,所以GFB+GCB=180.所以B,C,G,F四点共圆.(2)因为E为AD中点,AB=1,所以DG=CG=DE=,所以在RtGFC中,GF=GC,连接GB,RtBCGRtBFG,所以S四边形BCGF=2SBCG=21=.4.(2016全国卷理科T22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,O中的中点为P,弦PC,PD分别交AB于
5、E,F两点.(1)若PFB=2PCD,求PCD的大小.(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明OGCD.【解析】(1)连接PB,BC,则BFD=PBA+BPD,PCD=PCB+BCD.因为=,所以PBA=PCB,又BPD=BCD,所以BFD=PCD.因为PFB+BFD=180,PFB=2PCD,所以3PCD=180,因此PCD=60.(2)因为PCD=BFD,所以EFD+PCD=180,由此知C,D,F,E四点共圆,其圆心既在CE的垂直平分线上,又在DF的垂直平分线上,故G就是过C,D,F,E四点的圆的圆心,所以G在CD的垂直平分线上,又O也在CD的垂直平分线上,因此OGCD.
6、5.(2016全国卷文科T22)(本小题满分10分)选修41:几何证明选讲如图,O中的中点为P,弦PC,PD分别交AB于E,F两点.(1)若PFB=2PCD,求PCD的大小.(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明OGCD.【解析】(1)连接PB,BC,则BFD=PBA+BPD,PCD=PCB+BCD.因为,所以PBA=PCB,又BPD=BCD,所以BFD=PCD.又PFB+BFD=180,PFB=2PCD,所以3PCD=180,因此PCD=60.(2)因为PCD=BFD,所以EFD+PCD=180,由此知C,D,F,E四点共圆,其圆心既在EC的垂直平分线上,又在FD的垂直平分
7、线上,故G就是过C,D,F,E四点的圆的圆心,所以G在CD的垂直平分线上,又O也在CD的垂直平分线上,因此OGCD.6.(2016江苏高考T21)A.【选修41几何证明选讲】(本小题满分10分)如图,在ABC中,ABC=90,BDAC,D为垂足,E是BC的中点,求证:EDC=ABD.【解题指南】根据直角三角形的性质证明EDC与ABD都等于C.【证明】由BDAC可得BDC=90,由E是BC中点可得DE=CE=BC,则EDC=C,由BDC=90可得DBC+C=90,由ABC=90可得ABD+DBC=90,因此ABD=C,又EDC=C,可得EDC=ABD.7.(2016北京高考理科T17)如图,在四
8、棱锥PABCD中,平面PAD平面ABCD,PAPD,PA=PD,ABAD,AB=1,AD=2,AC=CD=.(1)求证:PD平面PAB.(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.(3)在棱PA上是否存在点M,使得BM/平面PCD?若存在,求的值;若不存在,说明理由.【解题指南】(1)已知PDPA,再证明PDAB即可.(2)建系,用向量法求.(3)方法一:直接从图中找出M后再证明;方法二:利用坐标求M.【解析】(1)因为平面PAD平面ABCD,交线为AD,AB平面ABCD,ABAD,所以AB平面PAD.因为PD平面PAD,所以ABPD.又因为PAPD,PAAB=A,PA,AB平面PAB,所以P
9、D平面PAB.(2)取AD中点O,连接OP,OC.因为PA=PD,所以OPAD.又因为平面PAD平面ABCD,交线为AD,OP平面PAD,所以OP平面ABCD.又因为AC=CD,所以OCAD.因为ABAD,所以OCAB且OC=2AB.如图,分别以OC,OA,OP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.P(0,0,1),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0). =(1,1,-1), =(2,0,-1), =(0,-1,-1).设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则令x=1得,n=(1,-2,2).所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.(3)方法一:过B作BEAD,
10、交OC于H,交CD于E.因为OCAB且OC=2AB,所以OHAB,OH=AB,BH=AO.所以H为OC的中点.所以EHOD,EH=OD.所以BE=AD且BEAD.在PD,PA上分别取点F,M,使得PF=PD,PM=PA,则FMAD,FM=AD.所以FMBE,FM=BE.所以四边形BEFM为平行四边形.所以BMEF.又因为BM平面PCD,EF平面PCD,所以BM平面PCD.因此,在棱PA上存在点M,使得BM平面PCD,且=.方法二:假设存在M点使得BM面PCD,设=,M(0,y,z),由(2)知A(0,1,0),P(0,0,1),=(0,-1,1),B(1,1,0), =(0,y-1,z),有=M(0,1-,),所以=(-1,-,).因为BM面PCD,n为面PCD的法向量,所以n=0,即-1+2+2=0.所以=.综上,存在M点,即当=时,M点即为所求.关闭Word文档返回原板块