1、第1讲坐标系与参数方程 时间:25分钟 分值:40分 1.(2017四川成都第一次诊断性检测)在平面直角坐标系xOy中,倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是cos2-4sin =0.(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)已知点P(1,0).若点M的极坐标为,直线l经过点M且与曲线C相交于A,B两点,设线段AB的中点为Q,求|PQ|.2.(2017广东五校协作体第一次诊断考试)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为s
2、in=4.(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程;(2)设P为曲线C1上的动点,求点P到曲线C2上的点的距离的最小值.3.(2017福建质量检测)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数).在以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=2sin ,曲线C3:=(0),A(2,0).(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)设C3分别交C1,C2于点P,Q,求APQ的面积.4.(2017江西南昌第一次模拟)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1过点P(a,1),其参数方程为(t为参数,aR).以O为极点,x轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方
3、程为cos2+4cos -=0.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)已知曲线C1与曲线C2交于A,B两点,且|PA|=2|PB|,求实数a的值.答案精解精析1.解析(1)直线l的参数方程为(t为参数),直线l的普通方程为y=tan (x-1).由cos2-4sin =0得2cos2-4sin =0,即x2-4y=0.曲线C的直角坐标方程为x2=4y.(2)点M的极坐标为,点M的直角坐标为(0,1).tan =-1,直线l的倾斜角=.直线l的参数方程为(t为参数).代入x2=4y,得t2-6t+2=0.设A,B两点对应的参数分别为t1,t2.Q为线段AB的中点,点Q对应的参
4、数值为=3.又点P(1,0),则|PQ|=3.2.解析(1)由曲线C1的参数方程得曲线C1的普通方程为+y2=1.由曲线C2的极坐标方程sin=4得(sin +cos )=4,即曲线C2的直角坐标方程为x+y-8=0.(2)由(1)知椭圆C1与直线C2无公共点,设点P(cos ,sin ),点P到直线x+y-8=0的距离d=(tan =),所以当sin(+)=1时,d取得最小值.3.解析(1)C1的普通方程为(x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0.所以C1的极坐标方程为2-4cos =0,即=4cos .(2)解法一:依题意,设点P,Q的极坐标分别为,.将=代入=4cos ,得1=2,
5、将=代入=2sin ,得2=1,所以|PQ|=|1-2|=2-1,由题意,点A(2,0)到曲线=(0)的距离d=|OA|sin=1.所以SAPQ=|PQ|d=(2-1)1=-.解法二:依题意,设点P、Q的极坐标分别为,.将=代入=4cos ,得1=2,即|OP|=2,将=代入=2sin ,得2=1,即|OQ|=1,因为A(2,0),所以POA=,所以SAPQ=SOPA-SOQA=|OA|OP|sin-|OA|OQ|sin=22-21=-.4.解析(1)曲线C1的参数方程为其普通方程为x-y-a+1=0.曲线C2的极坐标方程为cos2+4cos -=0,2cos2+4cos -2=0,x2+4x-x2-y2=0,即曲线C2的直角坐标方程为y2=4x.(2)设A,B两点所对应的参数分别为t1,t2,由得2t2-2t+1-4a=0.则有=(2)2-42(1-4a)0,即a0.由根与系数的关系得根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|,|PB|=2|t2|,又|PA|=2|PB|可得2|t1|=22|t2|,即t1=2t2或t1=-2t2.当t1=2t2时,有解得a=0,符合题意.当t1=-2t2时,有解得a=0,符合题意.综上所述,实数a的值为或.
