1、第 14 讲 圆锥曲线的方程与性质 基础过关 1.若抛物线 y2=4x 上的点 M 到焦点的距离为 10,则 M 点到 y 轴的距离是()A.4 B.6 C.9 D.10 2.已知双曲线22-22=1(a0)的一条渐近线的倾斜角为6,则双曲线的离心率为()A.233 B.263 C.3 D.2 3.已知椭圆 C:22+22=1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为33,过 F2 的直线 l 交 C 于A,B 两点,若AF1B 的周长为 43,则 C 的方程为()A.23+22=1 B.23+y2=1 C.212+28=1 D.212+24=1 4.已知抛物线 C:y2=8x 的焦点
2、为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直线 PF 与 C 的一个交点,若=4,则|QF|=()A.72 B.52 C.3 D.2 5.已知椭圆 E:22+2=1(m0)的右焦点为 F,过点 F 的直线交椭圆 E 于 A,B 两点.若线段 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为()A.218+29=1 B.236+218=1 C.254+227=1 D.272+236=1 6.若抛物线 x2=16y 的焦点到双曲线22-22=1(a0,b0)的渐近线的距离是 22,则该双曲线的离心率为()A.2 B.2 C.3 D.5 7.过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线 l 与抛物线
3、交于 A,B 两点,设点 M(3,0).若MAB 的面积为42,则|AB|=()A.2 B.4 C.23 D.8 8.已知双曲线 C:26-22=1,O 为坐标原点,F 为 C 的右焦点,过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M,N,若OMN 为直角三角形,则|MN|=()A.42 B.4 C.32 D.3 9.已知 F1,F2 分别是椭圆24+23=1 的左、右焦点,点 P 是椭圆上任意一点,以 PF1 为直径作圆N,直线 ON(O 为坐标原点)与圆 N 交于点 Q(点 Q 不在椭圆内部),则1 2=()A.23 B.4 C.3 D.1 10.记曲线 y=2ax-2-1(a0 且
4、a1)所过的定点为 P,若点 P 在双曲线 C:22-22=1(a0,b0)的一条渐近线上,则双曲线 C 的离心率为()A.5 B.52 C.2 D.2 11.已知 F 为双曲线 C:x2-y2=1 的右焦点,M 为双曲线 C 上一点,且 MF 与 x 轴垂直,点 M 关于双曲线的渐近线的对称点为 N,则MNF 的面积为()A.2+12 B.2-12 或3-22 C.2+12 或2-12 D.2+12 或3-22 12.如图 X14-1,已知水平地面上有一半径为 4 的球,球心为 O,在平行光线的照射下,其斜投影的边缘轨迹为椭圆,椭圆的中心为 O,球与地面的接触点为 E,OE=3.若光线与地面
5、所成角为,则 sin=,椭圆的离心率 e=.图 X14-1 13.已知椭圆 C:22+22=1(ab0)的右焦点为 F,点 P 在椭圆 C 上,点 Q 在圆 E:(x+3)2+(y-4)2=4上,且圆 E 上的所有点均在椭圆 C 外,若|PQ|-|PF|的最小值为 25-6,且椭圆 C 的长轴长恰好与圆 E 的直径相等,则下列说法正确的是 .(填序号)椭圆 C 的焦距为 2;椭圆 C 的短轴长为3;|PQ|+|PF|的最小值为 25;过点 F 的圆 E 的切线斜率为-473.14.曲线 C 是平面内到定点 F32,0 和定直线 l:x=-32的距离之和等于 5 的点的轨迹,给出下列三个结论:曲
6、线 C 关于 y 轴对称;若点 P(x,y)在曲线 C 上,则 y 满足|y|4;若点 P(x,y)在曲线 C 上,则 1|PF|5.其中正确结论的序号是 .能力提升 15.设 F1,F2 分别为双曲线22-22=1(a0,b0)的左、右焦点,点 P(x0,2a)为双曲线上一点,若PF1F2 的重心和内心的连线与 x 轴垂直,则双曲线的离心率为()A.62 B.52 C.6 D.5 16.已知双曲线 C:24-y2=1,F1,F2 分别为双曲线 C 的左、右焦点,P(x0,y0)为双曲线 C 上一点,且位于第一象限,若PF1F2 为锐角三角形,则 y0 的取值范围为()A.55,+B.255,
7、+C.55,12 D.12,255 17.已知点 F 为抛物线 x2=2py(p0)的焦点,经过点 F 且倾斜角 为钝角的直线与抛物线交于A,B 两点,OAB(O 为坐标原点)的面积为-8cos3,线段 AB 的垂直平分线与 y 轴交于点 M,则|FM|=()A.1 B.2 C.2 D.4 18.已知点 Q 在椭圆28+24=1 上运动,过点 Q 作圆(x-1)2+y2=1 的两条切线,切点分别为 A,B,则|AB|的最小值为()A.253 B.64 C.63 D.263 19.若焦点为 F 的抛物线 C:y2=4x 的准线与坐标轴交于点 A,点 P 在抛物线 C 上,则|的最大值为 .20.
8、已知双曲线 E:22-22=1(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过原点的直线与 E 的左、右两支分别交于点 B,A,直线 AF2交双曲线 E 于另一点 C(A,C 在 F2的两侧).若|F2C|=2|AF2|,且BF2C=60,则双曲线 E 的渐近线方程为 .限时集训(十四)1.C 解析抛物线 y2=4x的准线方程为 x=-1,根据抛物线的定义可知点 M 到准线的距离也为10,所以点 M 到 y 轴的距离为 9.故选 C.2.A 解析由双曲线22-22=1(a0)的一条渐近线的倾斜角为6,得2=33,解得 a=6,所以c=6+2=22,所以双曲线的离心率 e=226=233.故选
9、A.3.A 解析由椭圆的定义可知|AF1|+|AB|+|BF1|=|AF1|+|AF2|+|BF2|+|BF1|=4a=43,a=3.e=33,c=1,b2=2,C 的方程为23+22=1,故选 A.4.C 解析过点 Q 作 QQl,交 l 于点 Q,设 l 与 x 轴的交点为 H.因为=4,所以|PQ|PF|=34,得|QQ|FH|=34.又|FH|=4,所以|QF|=|QQ|=3.故选 C.5.A 解析由题知 F(,0).设 A(x1,y1),B(x2,y2),则122+12=1,222+22=1,由线段 AB 的中点坐标为(1,-1),得 x1+x2=2,y1+y2=-2.由-得(1-2
10、)(1+2)2+(1-2)(1+2)=0,1-21-2=12.由1-21-2=0+1-1=12,得=3,即 m=9,故 E 的方程为218+29=1.6.B 解析抛物线 x2=16y 的焦点坐标为(0,4),双曲线22-22=1(a0,b0)的渐近线方程为bxay=0.由题得|4|2+2=4=22,得双曲线的离心率 e=2.故选 B.7.D 解析由题知 F(1,0),可设直线 l 的方程为 x=ty+1,代入抛物线方程,可得 y2-4ty-4=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),可得 y1+y2=4t,y1y2=-4,则|AB|=1+2|y1-y2|=1+2(1+2)2-412=1+2
11、162+16.由MAB 的面积为12|MF|y1-y2|=122|y1-y2|=42,得162+16=42,解得 t2=1,所以|AB|=1+116+16=8,故选 D.8.C 解析由题意得 a=6,b=2,则 c=6+2=22,故 F(22,0),双曲线的渐近线方程为y=33 x.因为OMN 为直角三角形,所以直线 MN 必与一条渐近线垂直.由双曲线的对称性不妨取 kMN=3,则直线 MN 的方程为 y=3(x-22).由=3(-22),=33,得=32,=6,由=3(-22),=-33,得=322,=-62,所以|MN|=(32-322)2+(6+62)2=32.故选 C.9.C 解析连接
12、 PF2,因为 N,O 分别是 PF1,F1F2 的中点,所以 NOPF2,|NO|=12|PF2|,则1 2=(+1)(+2)=2-1 2=(|+|)2-1 2=|1|2+|2|22-1 2=4-(4-3)=3.10.B 解析当 x=2 时,y=1,所以 P(2,1),则 C 的一条渐近线的斜率=12,所以双曲线 C 的离心率 e=1+()2=1+14=52.故选 B.11.C 解析不妨设 M 在第一象限,由题知 F(2,0),由 MFx 轴,可得 M(2,1),双曲线 C 的渐近 线 方 程 为y=x.易 知M关 于 直 线y=x的 对 称 点 为N(1,2),此 时S MNF=12|MF
13、|xN-xF|=121(2-1)=2-12;M 关于直线 y=-x 的对称点为 N(-1,-2),此时 SMNF=12|MF|xN-xF|=121(2+1)=2+12.综上,MNF 的面积为2+12 或2-12,故选 C.12.45 35 解析连接OO,OE,则OE垂直于地面,OOAA,则OOE=.由题知OE=4,OE=3,所以 OO=5,则 sin=45.连接 AB,以 O 为原点,的方向为 x 轴的正方向建立平面直角坐标系,设椭圆的方程为22+22=1(ab0),由题知椭圆的短半轴长是球的半径,即 b=4,|OE|=c=3,则 a=2+2=5,所以椭圆的离心率 e=35.13.解析圆 E
14、的圆心 E(-3,4),半径为 2,由椭圆 C 的长轴长恰好与圆 E 的直径相等,得2a=4,则 a=2.设椭圆 C 的左焦点为 F1,连接 PF1,EF1,PE.由椭圆的定义可得|PF|+|PF1|=2a=4,所以|PF|=4-|PF1|,所以|PQ|-|PF|=|PQ|-(4-|PF1|)=|PF1|+|PQ|-4|PF1|+|PE|-2-4|EF1|-6,当且仅当P,Q,E,F1 四点共线,且 P,Q 分别为线段 EF1 与椭圆 C、圆 E 的交点时,等号成立,则|EF1|=(-3+)2+(4-0)2=(-3)2+16=25,因为0ca=2,所以c=1,所以椭圆C的焦距为2c=2,正确;
15、椭圆 C 的短轴长为 2b=22-2=23,错误;连接 EF,|PQ|+|PF|PE|+|PF|-2|EF|-2=(-3-1)2+(4-0)2-2=42-2,当且仅当 P,Q,E,F 四点共线,且 P,Q 分别为线段 EF 与椭圆 C、圆 E 的交点时,等号成立,错误;易知过点 F 的圆 E 的切线的斜率存在,可设切线的方 程 为 y=k(x-1),即 kx-y-k=0,由 题 意 可 得|-3-4-|2+1=4|+1|2+1=2,整 理 得 3k2+8k+3=0,解 得k=-473,正确.故填.14.解析设M(x,y)是曲线C上任意一点,则|MF|+x+32=5,即(-32)2+2+x+32
16、=5,当 x-32时,(-32)2+2=5-x-32,即 x=-14y2+52;当 x0,b0)上,922-422=9-422=1,整理得22=12,双曲线的离心率 e=1+22=1+12=62.故选 A.16.C 解析由题意得F1(-5,0),F2(5,0),因为P位于第一象限,所以PF1F2恒为锐角.因为PF1F2 为锐角三角形,所以PF2F1,F1PF2 均为锐角.由PF2F1 为锐角得 2x00,所 以 y0 0,12.由 F1PF2 为 锐 角 得 1 2 0,所 以(-5-x0,-y0)(5-x0,-y0)=02+02-50,又024-02=1,所以 4+402+02-50,即02
17、15,又 y00,所以y055.综上所述,y055,12.故选 C.17.D 解析抛物线 x2=2py(p0)的焦点为 F 0,2,设直线 AB 的方程为 y=kx+2(k0),代入抛物 线 方 程 x2=2py 得 x2-2pkx-p2=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=2pk,x1x2=-p2.由 S OAB=12|OF|x1-x2|=122(1+2)2-412=4422+42=22 2+1=22 sin2cos2+1=22 1-cos=-8cos3,解得 p=4cos2.设线段 AB 的中点为 Q,则 xQ=pk,代入 y=kx+2得 yQ=pk2+2,所以线段
18、 AB 的垂直平分线的方程为 y-pk2-2=-1(x-pk),令 x=0,得 y=pk2+32,即 M 0,pk2+32,所以|FM|=pk2+32-2=p(k2+1)=4cos2sin2cos2+1=4,故选 D.18.D 解析设 Q(22cos,2sin),圆(x-1)2+y2=1 的圆心为 M(1,0),半径 r=1,连接 MA,MQ,则|MQ|2=(22cos-1)2+(2sin)2=4cos2-42cos+5=4 cos-222+3,当 cos=22 时,|MQ|2有最小值 3,故|MQ|的最小值为3.设 AB 与 QM 交于点 N,根据对称性知|AB|=2|AN|,且 ABQM,
19、故|AB|=2|AN|=2|=2|2-11|=2 1-1|2,故|MQ|最 小 时,|AB|最小,|AB|min=21-13=263.故选 D.19.2 解析由题可知 A(-1,0),不妨设点 P 在第一象限,过 P 作 PM 与准线垂直,垂足为 M.设MPA=02,则PAF=,由抛物线的定义得|=|=1cos,当 cos 取得最小值时,|取得最大值,此时 AP 与抛物线相切.设直线 AP 的方程为 y=k(x+1),由2=4,=(+1),消去 y 得k2(x+1)2=4x,即 x2+2-42 x+1=0,由=2-422-4=0,解得 k=1 或 k=-1(舍去),由 k=tan=1 知=4,
20、所以|的最大值为122=2.20.y=2103 x 解析连接 AF1,BF1,CF1.由 双 曲 线 的 对称 性 得 四边 形 AF1BF2 是 平 行 四边 形,所 以|AF2|=|F1B|,|AF1|=|F2B|.令|AF1|=m,|AF2|=n,则|CF2|=2n,由 双 曲 线 的 定 义,得|CF1|-|CF2|=|AF1|-|AF2|=2a,所 以|CF1|=2a+2n.由 BF2C=60 得 F1AC=60,在 F1AC中,由 余 弦 定 理 得m2+9n2-2m3n12=(2n+2a)2,又 2a=m-n,可得 m=85n,故 n=103 a,m=163 a.在F1AF2 中,由余弦定理得 m2+n2-2mncos60=4c2,即1969 a2=4c2,可得=73,所以 c=73a,可得 b=2103 a,所以双曲线 E的渐近线方程为 y=2103 x.