1、第5章 一元函数的导数及其应用 知识梳理一、导数的概念及运算1.导数的概念(1)如果当x0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称yf(x)在xx0处可导，并把这个确定的值叫做yf(x)在xx0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .(2)当xx0时，f(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，yf(x)就是x的函数，我们称它为yf(x)的导函数(简称导数)，记为f(x)(或y)，即f(x)y.2.导数的几何意义函数yf(x)在xx0处的导数的几何意义就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，相应的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx
2、0).3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(Q，0)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)ax(a0且a1)f(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logax(a0且a1)f(x)f(x)ln xf(x)4.导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有：f(x)g(x)f(x)g(x)；f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(g(x)0)；cf(x)cf(x).5.复合函数的定义及其导数(1)一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成
3、x的函数，那么称这个函数为函数yf(u)与ug(x)的复合函数，记作yf(g(x).(2)复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.常用结论：1.f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值；(f(x0)是函数值f(x0)的导数，则(f(x0)0.2.(f(x)0).3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线
4、在这点处的切线越“陡”.二、导数与函数的单调性1.函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数yf(x)在区间(a，b)上可导f(x)0f(x)在(a，b)上单调递增f(x)0f(x)在(a，b)上单调递减f(x)0f(x)在(a，b)上是常数函数2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导函数f(x)的零点；第3步，用f(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f(x)在各区间上的正负，由此得出函数yf(x)在定义域内的单调性.常用结论：1.若函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f(x)0，所以“f(x)0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上
5、单调递增”的充分不必要条件.2.对于可导函数f(x)，“f(x0)0”是“函数f(x)在xx0处有极值”的必要不充分条件.三、导数与函数极值、最值1.函数的极值(1)函数的极小值：函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0.则a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值.(2)函数的极大值：函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0.则b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x
6、)的极大值.(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.2.函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间a，b上有最值的条件：如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求yf(x)在区间a，b上的最大(小)值的步骤：求函数yf(x)在区间(a，b)上的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.常用结论：1.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.2.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极
7、大值与极小值之间没有必然的大小关系.解压轴题知识拓展（五大类方法技巧）：（指对同构、洛必达法则、极值点偏移、指数、对数均值不等式等机技巧详细解剖）：方法技巧：指对同构在解决指对混合不等式时，如恒成立求参数取值范围或证明不等式，有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型(即不等式两边对应的同一函数)，无疑大大加快解决问题的速度.找到这个函数模型的方法，我们称为同构法.(1)五个常见变形：xexexln x，exln x，eln xx，xln xln xex，xln xln .(2)三种基本模式积型：aeabln b商型：和差型：eaabln b方法技巧 洛必达法则在解
8、决不等式恒(能)成立，求参数的取值范围这一类问题时，最常用的方法是分离参数法，转化成求函数的最值，但在求最值时如果出现“”型或“”型的代数式，就设法求其最值.“”型的代数式，是大学数学中的不定式问题，解决此类问题的有效方法就是利用洛必达法则.洛必达法则法则1若函数和满足下列条件：(1)及；(2)在点的去心内，与可导且；(3)，那么=。法则2若函数和满足下列条件：(1)及；(2)，和在与上可导，且；(3)，那么=。方法技巧 极值点偏移(1)极值点不偏移已知函数f(x)图象的顶点的横坐标就是极值点x0，若f(x)c的两根的中点刚好满足x0，即极值点在两根的正中间，也就是说极值点没有偏移.此时函数f
9、(x)在xx0两侧，函数值变化快慢相同，如图(1).图(1)(无偏移，左右对称，二次函数)若f(x1)f(x2)，则x1x22x0.(2)极值点偏移若x0，则极值点偏移，此时函数f(x)在xx0两侧，函数值变化快慢不同，如图(2)(3).图(2)(左陡右缓，极值点向左偏移)若f(x1)f(x2)，则x1x22x0；图(3)(左缓右陡，极值点向右偏移)若f(x1)f(x2)，则x1x22x0.(3)极值点偏移问题的常见解法(对称化构造法)构造辅助函数：对结论x1x22x0型，构造函数F(x)f(x)f(2x0x)；对结论x1x2x型，构造函数F(x)f(x)f，通过研究F(x)的单调性获得不等式
10、.(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明.方法技巧 指数、对数均值不等式极值点偏移问题是近几年高考的热点问题，求解此类问题的一个重要工具就是指数均值不等式和对数均值不等式.一、对数均值不等式结论1对任意的a，b0(ab)，有.证明不妨设ab0(0ab时同理可得)首先，由等价于ln aln b，即ln .令x1，只要证ln x2，即证2xln xx210.令f(x)2xln xx21(x1)，则f(x)2ln x22x，f(x)20，f(x)在(1，)单调递减，f(x)f(1)0，f(x)在(1，)单调递减，即f(x)f(1)0.故.其
11、次，等价于ln aln b，即ln .令x1，只要证ln x，即证(x1)ln x2x20.设g(x)(x1)ln x2x2(x1)，同理可证g(x)在(1，)单调递增，有g(x)g(1)0.故.二、指数均值不等式结论2对任意实数m，n(mn)，有e.证明在指数均值不等式中，令ema、enb，则mln a，nln b，从而可得对数均值不等式.需注意的是，在实际解题过程中，凡涉及这两个不等式的都需给出证明，以确保考试不被扣分，但本文以下的例题省略该过程.解决函数不等式的转化问题方法技巧1.利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.2.不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，.（1）若，有成立，则；（2）若，有成立，则；（3）若，有成立，则；（4）若，有成立，则的值域是的值域的子集.
